Leandro Del Pezzo: "Fujita en el Régimen Mixto".
En esta charla mostraremos que el exponente de Fujita para la ecuación del calor con operador mixto (laplaciano + laplaciano fraccionario) coincide con el exponente de Fujita del caso fraccionario. Además, estudiaremos las tasas de blow-up para esta ecuación mixta, evidenciando que, en este régimen, el operador local tiene un rol dominante frente al operador no local.
César Torres Ledesma: "Existence of Positive Solutions for Local-Nonlocal Elliptic Problems in Exterior Domains".
In this talk, we deal with the existence of positive solutions for a class of elliptic problems driven by a mixed local-nonlocal operator in exterior domains. Specifically, we consider the problem governed by the Laplacian and the fractional Laplacian, focusing on the critical Sobolev exponent range and the interplay between local and nonlocal terms. Our approach, inspired by variational methods and the foundational work of Benci and Cerami extends classical existence results to a setting where the exterior geometry and fractional effects play a crucial role.
Work in collaboration with Leandro M. Del Pezzo from Universidad de la Repùblica-Uruguay and Giovany M. Figueiredo from Universidad de Brasìlia-Brasil
Julián Fernández Bonder: A non-existence result for the reinforced membrane problem
In this talk we will discuss the so-called Reinforced Membrane Problem, introduced by Henrot and Maillot. We investigate the necessary conditions for existence of a classical solution for the problem and exhibir a somewhat general condition for nonexistence of classical solution. This result was obtained in collaboration with Z. Cheng and H. Mikayelyan.
Jazmin Schmunis: "Maximizando el segundo autovalor del laplaciano conforme en variedades con borde mìnimo".
Dada (M,g) una variedad Riemanniana de dimensiòn n\ge 3 se denomina laplaciano conforme al operador elìptico autoadjunto dado por L_g u = \Delta_g u + c_n S_g u, donde c_n es una constante dimensional, \Delta_g es el operador de Laplace-Beltrami y S_g es la curvatura escalar de (M,g). El espectro de dicho operador es una sucesiòn de autovalores \lambda_1\le\lambda_2\le...\le\lambda_k\rigtharrow+\infty, donde el signo de cada autovalor es un invariante de la clase conforme (la familia de mètricas que se obtiene de multiplicar g por una funciòn suave y positiva). En esta charla hablaremos sobre el problema de maximizar el segundo autovalotr sobre las mètricas conformes a g de volumen 1 cuando \lambda_2<0. Contaremos resultados de M.J. Gursky y S. Pèrez-Ayala para el caso de variedades cerradas, es decir, compactos y sin bordes, y resultados sobre los cuales estamos trabajando con G. Henry para variedades compactas con borde no vacìo, imponiendo condiciones sobre la curvatura media en el borde de la variedad.
Juan Rodrigo Zuccotti: "Funciones isoparamétricas en variedades Riemannianas y soluciones f-invariantes de la ecuación de Yamabe."
Las funciones isoparamétricas, motivadas por la óptica de Somigliana para modelar frentes de onda, inducen una foliación singular cuyas hojas regulares son paralelas y tienen curvatura media constante. Clásicamente fueron estudiadas en espacios de formas por Segre, Cartan, Münzner y otros. Más recientemente se amplió su estudio al marco de variedades Riemannianas completas por autores como Wang, Ge, Tang, Miyaoka y otros. En esta charla presentaremos la teoría de funciones isoparamétricas en variedades compactas con borde, señalando similitudes y diferencias respecto del caso de variedades cerradas. Finalmente veremos cómo estas funciones permiten construir soluciones del problema de Yamabe y de su versión supercrítica en variedades con borde.
Noemi Wolanski: "Existence and uniqueness of weak solutions to a space/time non-local diffusion equation in R^N".
We consider solutions to the following
\partial^\alpha_t u + (-\Delta)^\beta u = 0 , R^N\times (0,\infty)
u=u_0 , R^N
Here (-\Delta)^\beta u is the usual fractional laplacian and \partial^\alpha_t u is the Caputo derivative of order \alpha difined for smooth functions of the time.Up to now there have been 2 notions of solution, strong and mild. We find a notion of weak solution satisfied by strong solutions. This is not an evident notion as there is no integration by parts for Caputo derivatives. Anyway, it is a PDE notion of weak solution whereas mild solution is a real analytic notion. We prove that there is a unique weak solution for every initial datum u0 P L1 pRN q and that mild solutions are in fact weak solutions. We conclude that all the asymptotic results on mild solutions that we found in previous articles apply to weak solutions.
Alexander Quaas: "MIXED LOCAL AND NONLOCAL LAPLACIAN WITHOUT STANDARD CRITICAL EXPONENT FOR LANE-EMDEN EQUATION"
In this talk, we will discuss a mixed elliptic equation involving both local and nonlocal Laplacians with a power-type nonlinearity.
Camilo Rueda: "Aproximación por elementos finitos para el \( (p,s)- \)Laplaciano fraccionario de Bessel".
Esta charla explora el tratamiento numérico del operador $p$-Laplaciano fraccionario (\(p \in (1,\infty)\)), el cual aparece en la interpolación compleja de espacios de Sobolev. Cuando \(p = 2\), coincide con el Laplaciano fraccionario usual; sin embargo, para $p \neq 2$ difiere del \((p,s)\)-Laplaciano que se obtiene mediante interpolación real entre espacios de Sobolev. Presentamos un método de descomposición–coordinación basado en una formulación de Lagrangiano aumentado para calcular soluciones y sus gradientes fraccionarios, junto con un análisis de su convergencia y de su implementación práctica.
Nicolás Frevenza: "Some equations on random geometric graphs".
In this talk, we will explore the probabilistic representation of certain partial differential equations (PDEs) and analyze how these representations contribute to understanding of the PDEs in a discrete setting. Specifically, we will focus on the case where the environment is a random geometric graph. We examine the conditions under which this representation successfully recovers the PDE in the limit.
Gabriel Acosta: "Korn inequalities from local to nonlocal."
In this talk, we review known results for the classical Korn inequalities and their recent non-local variants; then we show a non-local generalization through a new form of the inequality.
Juan Nario: "Variational Methods for Periodic Orbits in Convex Lagrangian Systems".
Let $M$ be a closed manifold and $L:TM\rightarrow \R$ a smooth, convex and quadratic Lagrangian. This allows us to define the action functional on $W^{1,2}(\mathbb{S},M)\times \R^{+}$. More specifically, for a given energy level $k$ and a curve $x$ of period $T$, the action of $x$ is defined as $\mathcal{A}_{k}(x,T) =\int_{0}^{T} (L(x(t),\dot x(t))+k)\, dt $. Under these hypotheses, the critical points of this functional correspond to periodic solutions of the Euler-Lagrange equation with energy $k$.
When $k$ is above Mañé's critical value, the existence of non-contractible periodic orbits is known (if $M$ is not simply connected). The primary tool for establishing this existence is the application of a minimax theorem.
The objectives of this presentation are to review these results and show how, by using them, a similar result can be proved for the abbreviated action.
Juan Pablo Borthagaray: "Modelos locales y no locales acoplados".
Consideramos aspectos teóricos y computacionales de modelos acoplando operadores locales y no locales con difusividad variable. Discutimos el buen planteo y la formulación fuerte de tales problemas, así como la regularidad de soluciones débiles. También nos enfocamos en la aproximación de soluciones mediante un método de elementos finitos conforme.
Cesar Augusto Gómez Sierra: "On some nonlocal problems and generalizations of them".
One of the classic nonlocal problems, is represented for the equation
u_t(x,t)=\int_{\Omega}J(x,y) (u(y,t)-u(x,t)) d y +\int_{\partial \Omega}G(x,y)g(y,t) dS_y
u(x,0)=u_0(x),
where $\Omega$ is an open and connected subset of $\mathbb{R^N}$, $J(x,y)$ and $G(x,y)$ kernels which determinate the jump probabilities of the problem. The Neumann problem was studied from the analytical and numerical point of view. The main idea of the talk, is present some results associate to some variants of this model, a special application, y present others models considered as generalizations of the previous, which are under study.
Francisco Bersetche: A deep first-order system least squares method for the obstacle problem
We propose a deep learning approach to the obstacle problem inspired by the first-
order system least-squares (FOSLS) framework. This method reformulates the problem as a
convex minimization task; by simultaneously approximating the solution, gradient, and Lagrange
multiplier, our approach provides a flexible, mesh-free alternative that scales efficiently to high-
dimensional settings. Key theoretical contributions include the coercivity and local Lipschitz
continuity of the proposed least-squares functional, along with convergence guarantees via Γ-
convergence theory under mild regularity assumptions. Numerical experiments in dimensions up
to 20 demonstrate the method’s robustness and scalability, even on non-Lipschitz domains
Gisela D. Charó: Identificando las huellas topológicas de los sistemas dinámicos
En 1892, Poincaré señaló que buscar soluciones exactas no era el camino más eficaz para comprender el comportamiento de un sistema dinámico. En cambio, propuso analizar cómo evoluciona un conjunto de condiciones iniciales vecinas en el espacio de estados. Mostró, además, que las propiedades de un sistema dinámico dependen de su topología: los mecanismos fundamentales —estiramiento, compresión, desgarramiento, plegado y torsión— que moldean el flujo dejan una huella topológica detectable.
El análisis topológico consiste en identificar una representación topológica de la estructura subyacente y construir una descripción algebraica que permita calcular invariantes topológicos.
En esta charla presentaré avances recientes en la clasificación de la dinámica de sistemas complejos mediante un enfoque de análisis topológico de datos denominado Templex [Chaos 2022, doi:10.1063/5.0092933], que propone capturar la huella del comportamiento no lineal de un sistema a través de un complejo celular y un grafo dirigido.
Francisco Albeiro Gómez Jaramillo: "Generative diffusion process in bioacoustic"
This talk presents recent work on applying generative models to bioacoustic data, with a focus on anuran vocalizations. First, we will introduce the fundamental characteristics and signal properties of bioacoustic recordings, as well as the challenges posed by long-tailed class distributions commonly found in ecological datasets. Following this, the talk provides an overview of denoising diffusion models from a probabilistic perspective, using stochastic differential equations to motivate the forward diffusion of signals toward noise and the corresponding reverse-time process used for generation. Finally, it presents a diffusion-based model developed to generate realistic anuran calls, illustrating how these synthetic samples can support multiclass classification in settings with limited or imbalanced data.
Constanza Sánchez de la Vega: Cristales líquidos nemáticos: control óptimo y simulaciones numéricas
Estudiamos un problema de control óptimo para un sistema de evolución acoplado de tipo Schrödinger-elíptico que describe la propagación de un haz láser en cristales líquidos nemáticos. Consideramos un control bilineal relacionado con un campo eléctrico dependiente del eje óptico que actúa sobre la muestra. Este problema surge del estudio de transformar la señal de entrada en una señal objetivo, en forma óptima, mediante la modificación de un parámetro del sistema relacionado con el campo eléctrico de polarización. Demostramos el buen planteo del problema, la existencia y las condiciones necesarias de primer orden para una solución óptima. También presentamos algunas aproximaciones numéricas de estas soluciones.
Ignacio Bustamante: "A monotonicity formula for a semilinear fractional parabolic equation".
We apply a high-dimensional parabolic-to-elliptic transformation to the fully fractional, semilinear heat equation $(\partial_t -\Delta)^s u = |u|^{p-1}u$, where $0<s<1$ and $p>1$, and establish a monotonicity formula for the corresponding extension problem. This result serves as a fractional analogue of the Giga-Kohn monotonicity formula for the local equation $\partial_t u - \Delta u = |u|^{p-1}u.$ The method of proof may be applicable to other nonlinear and nonlocal settings.
Nahuel de León: "Una formulación mixta para el problema de Poisson fraccionario".
La formulación mixta del problema clásico de Poisson introduce el flujo como una variable adicional, lo que conduce a un sistema de ecuaciones acopladas. Utilizando identidades de cálculo fraccionario, en este trabajo exploramos una formulación mixta del problema de Poisson fraccionario y establecemos su buen planteo. Dado que una discretización directa de este problema parece estar fuera de alcance, adaptamos la estabilización propuesta por Hughes y Masud para el caso clásico, que produce una formulación coerciva y bien planteada. La coercividad garantiza la estabilidad de cualquier discretización por elementos finitos conforme. Además, demostramos la convergencia de esta discretización y derivamos tasas de convergencia. Finalmente, presentamos experimentos numéricos que validan la importancia de la estabilización, así como la precisión de nuestros resultados teóricos.
Mauricio Mendiluce: "Finite element approximation of the stationary Navier–Stokes problem with non-smooth Dirichlet data: a priori and a posteriori error analysis"
In this talk, we present the results obtained for the finite element approximation of the stationary Navier–Stokes equations with nonsmooth Dirichlet boundary data, thus extending the known results for the Stokes problem. The nonlinearity of the Navier–Stokes equations introduces an additional difficulty, which prevents a straightforward generalization of those results. Based on the existence of a very weak solution for the Navier–Stokes system with L^2 boundary data, and on a suitable decomposition of such a solution, we derive a priori error estimates between the approximation of the Navier–Stokes system with nonsmooth data and the finite element solution of the associated regularized problem.
In addition, we introduce an a posteriori error estimator appropriate for this setting.
Finally, we present some numerical experiments for the well-known cavity flow problem, which is considered a classical benchmark for this type of problems.
Cecilia De Vita: "Synchronization in Random Geometric Graphs".
The Kuramoto model is a system of ordinary differential equations that describes the dynamics of coupled oscillators. In this talk, we consider the case where the coupling is determined by a random geometric graph defined on a given manifold. We address the question of whether global synchronization can be ensured (that is, whether for almost all initial conditions the system converges to a state where all phases coincide), or whether other stable equilibria may arise.
When the manifold is the unit circle S^1, we establish the existence, with high probability, of at least one local minimum of the Kuramoto energy functional for each winding number. These states correspond to the twisted states' explicitly identified in cycle graphs, although in thiscase without an explicit formula.
In contrast, when the manifold is the two dimensional sphere S^2, by employing arguments based on its proximity to the heat equation, we prove that the system achieves global synchronization with high probability forsmooth initial conditions.
Diego Rial: