Información sobre los cursos
Curso 1
Renato Calleja y Pedro Porras (IIMAS-UNAM)
Nombre del curso: Métodos numéricos en Teoría KAM por el método de la parametrización.
Información sobre el curso:
La teoría KAM es una área fundamental de la física matemática que se enfoca en la existencia y persistencia de soluciones cuasi-periódicas en Sistemas Hamiltonianos, [4, 5]. Estos sistemas modelan el movimiento de cuerpos celestes o partículas dentro de un reactor de fusión, entre otros fenómenos. El método de la parametrización introducido en teoría KAM en [1], se enfoca en buscar un toro que satisface una ecuación de invarianza y tiene propiedades dinámicas y geométricas, [2]. Explicaremos el método de la parametrización en formato a posteriori para probar un teorema KAM para toros en sistemas Hamiltonianos no autónomos utilizando técnicas desarrolladas en [3]. Obtendremos pruebas explícitas utilizando expresiones simples de la
dinámica interna y expresiones geométricas asociadas a los sistemas en cuestión.
Una ventaja de este método es que los esquemas que se derivan de las pruebas, proporcionan métodos numéricos eficientes y confiables para calcular los toros. Es importante recalcar que no es necesario comenzar del caso integrable y los métodos funcionan cuando los toros están cerca de su rompimiento. Presentaremos algunas implementaciones numéricas que se pueden deducir de los teoremas constructivos. Si el tiempo lo permite, hablaremos de los criterios de rompimiento de los toros invariantes.
Este curso consistirá de 4 horas. Un temario tentativo de las clases se enuncia a continuación.
1 Teoría KAM para sistemas conservativos.
2 Integración y métodos numéricos preliminares.
3 De las pruebas constructivas a los métodos numéricos
4 Algunas aplicaciones.
Bibliografía
[1] Rafael de la Llave, Alejandra González, Àngel Jorba, and Jordi Villanueva. KAM theory without action-angle variables. Nonlinearity, 18(2):855, 2005.
[2] Haro, A. , Canadell, M., Figueras, J-Ll., Luque, A. Mondelo, J.-M. [2016], The Parameterization Method for Invariant Manifolds: From Rigorous Results to Effective Computations. Applied Mathematical Sciences, 195. Springer, [Cham], 2016.
[3] Alex Haro and Alejandro Luque. A-posteriori KAM theory with optimal estimates for partially integrable systems. Journal of Differential Equations, 266(2-3):1605–1674, 2019.
[4] de la Llave, R.,[2001], A tutorial on KAM theory. Smooth ergodic theory and its applications (Seattle, WA, 1999), 175–292, Proc. Sympos. Pure Math., 69, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
[5] Moser, J., Zehnder, E.J., [2005], Notes on dynamical systems. Courant Lecture Notes in Mathematics, 12. New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI.
Curso 2
Luis Fernando Aragón (ICN-UNAM)
Nombre del curso: ¿Cómo usar las simetrías de un sistema para modelarlo estadísticamente? Aplicaciones de la termodinámica de grupos de Lie en espacio-tiempo estáticos.
Información sobre el curso:
En este curso revisaremos la llamada "Termodinámica de grupos de Lie", originalmente propuesta por el físico francés Jean Marie Souriau [1] como parte de su programa para establecer un marco común para toda la física, a partir de la geometría simpléctica y dando especial énfasis en las simetrías de los sistemas. Específicamente estudiaremos el concepto esencial de la acción hamiltoniana de un grupo de Lie sobre un sistema hamiltoniano, y analizaremos sus consecuencias: la existencia de un objeto geométrico, conocido como el momentum map, que almacena las integrales de movimiento del sistema hamiltoniano (en la relación simetría-integral de movimiento, del teorema de Noether), y el papel que juega para la construcción de funciones de densidad de probabilidad con respecto a la medida natural del sistema hamiltoniano (medida de Liouville). Como motivación para este estudio veremos cómo, de forma efectiva, podemos emplear la termodinámica de grupos de Lie para construir un modelo estadístico para un gas ideal con un espacio-tiempo estático de fondo [2].
El curso constará de dos sesiones de dos horas, y estará dividido de la siguiente manera:
En la primera sesión se introducirán los conceptos de variedad simpléctica, sistema hamiltoniano y acciones suaves e izquierdas de grupos de Lie, para culminar con el concepto del momentum map y su interpretación en términos del teorema de Noether. Se recurrirá a sistemas físicos para ejemplificar el concepto y entender sus propiedades.
En la segunda sesión se introducirán los elementos principales de la termodinámica de grupos de Lie para conectar los conceptos desarrollados en la primera sesión con los modelos estadísticos construidos sobre la variedad simpléctica de un sistema hamiltoniano, y se presentará un modelo de gas ideal donde las partículas libres e independientes se modelan como geodésicas sobre un espacio-tiempo estático. Empleando las simetrías de dicho sistema, heredadas del espacio-tiempo de fondo, se construirá un modelo estadístico y se analizarán sus características en los casos particulares del espacio-tiempo de Minkowski y de Schwarzschild.
El curso se presentará de la forma más autocontenida posible, partiendo de algunos conceptos de geometría diferencial como base, que pueden revisarse en [3, capítulo 5]. Bibliografía y referencias recomendadas incluyen [4,5,6].
Bibliografía
[1] Jean-Marie Souriau and Ch Cushman. Structure of dynamical systems: a symplectic view of physics, volume 149. Springer Science & Business Media, 1997
[2] Luis Aragon-Munoz and Hernando Quevedo. Study of ideal gases in curved spacetimes. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, DOI:10.1142/ S0219887823501505, 2023.
[3] Mikio Nakahara. Geometry, topology and physics. CRC press, 2018.
Información sobre el momentum map en sistemas clásicos:
[4] Jerrold E Marsden and Tudor S Ratiu. Introduction to mechanics and symmetry: a basic exposition of classical mechanical systems, volume 17. Springer Science & Business Media, 2013. Información sobre la termodinámica de grupos de Lie:
[5] Frédéric Barbaresco. Lie groups thermodynamics & Souriau-Fisher metric. In SOURIAU 2019 conference, Institut Henri Poincaré, 31st May, 2019.
[6] Charles-Michel Marle. On Gibbs states of mechanical systems with symmetries. Journal of Geometry and Symmetry in Physics, 57:45–85, 2020.