Bilangan dan Faktorisasi Prima

Untuk mencari KPK dan FPB yang perlu dipelajari sebelumnya adalah bilangan prima dan faktorisasinya.

a.       Bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki dua faktor yaitu bilangan itu sendiri dan satu. Contohnya yaitu, 2, 3, 5, 7, 11, …

b.      Faktorisasi prima

Langkah mencari faktor prima suatu bilangan sebagai berikut :

1.      Bagilah bilangan dengan bilangan 2

2.      Ulangi langkah (1), jika memungkinkan

Jika sisa bilangan sudah tidak bisa dibagi dengan 2, maka bagilah dengan 3, 5, 7, dan seterusnya. Untuk mempermudah melakukan faktorisasi prima dapat menggunakan bantuan pohon faktor. 

2.  KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)

KPK adalah singkatan dari Kelipatan Persekutuan terkecil. KPK adalah nilai terkecil dari kelipatan persekutuan dua atau lebih bilangan. Kelipatan persekutuan adalah kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih. Untuk mencari KPK adalah dengan memilih kelipatan terkecil dari dua atau lebih bilangan yang ditanyakan. 

Contoh :

KPK dari 3 dan 5 adalah …

Penyelesaian :

Kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …

Kelipatan 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, …

Kelipatan persekutuan 3 dan 5 adalah 15, 30, …

Jadi, KPK dari 3 dan 5 adalah 15

Mencari KPK dengan pohon faktorisasi prima dengan cara :

1. Semua dari bilangan faktor dikalikan

2. Apabila ada yang sama, maka diambil yang terbesar, dan apabila keduanya sama, maka diambil dari salah satunya.

Contoh :

KPK dari 8 dan 12 adalah …

Penyelesaian :

Mencari bilangan faktor dengan menggambar pohon faktor bilangan 8 dan 12, dan didapatkan :

8 = 2^3(2 pangkat 3)   dan 12 = 2^2(2 pangkat 2) × 3

Jadi, KPK dari 8 dan 12 adalah 2^3(2 pangkat 3) × 3 = 8 × 3 = 24

3.  FPB (Faktor Persekutuan terbesar)

FPB adalah kepanjangan dari Faktor Persekutuan terbesar. FPB adalah nilai terbesar dari faktor persekutuan dua atau lebih bilangan. Faktor persekutuan adalah faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih. Untuk  mencari FPB adalah dengan memilih faktor terbesar dari dua atau lebih bilangan yang ditanyakan.

Contoh :

FPB dari 12 dan 18 adalah …

Penyelesaian :

Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12

Faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18

Faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, 6 (nilai yang paling besar yaitu 6)

Jadi, FPB dari 12 dan 18 adalah 6

Jika diselesaikan dengan cara faktorisasi prima, maka harus mencari bilangan faktor dengan menggambar pohon faktor bilangan 12 dan 18, dan didapatkan : 

12 = 2^2(2 pangkat 2) × 3 dan 18 = 2 × 3^2(3 pangkat 2)

Mencari FPB dengan pohon faktorisasi prima dengan cara mengambil bilangan faktor yang sama dan diambil yang terkecil dari dua atau lebih bilangan yang di dapat dari pemfaktoran yang dicari.   

4.  Penerapan KPK dan FPB

Konsep KPK dan FPB banyak dimanfaatkan dalam permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Konsep KPK dapat digunakan untuk menentukan sebuah jadwal, menghitung orbit planet, menentukan jumlah barang yang disusun dalam baris dan kolom, dan sebagainya. Sedangkan konsep FPB dapat digunakan untuk menyederhanakan pecahan, menentukan banyak barang yang terbesar, membagi kue dengan sama banyak ke beberapa bagian, dan sebagainya. Konsep KPK dan FPB juga dapat dituangkan dalam soal cerita. 

Untuk memudahkan menemukan konsep KPK atau konsep FPB dalam soal cerita ada beberapa kata kunci.

Kata kunci soal cerita dengan konsep KPK yaitu setiap … sekali, bersama-sama, bersama lagi, dan bersamaan. 

Contoh :

1. Luluk menabung setiap 4 hari sekali, Ali menabung setiap 7  hari sekali. Pada tanggal 1 Desember 2020 keduanya menabung bersama. Kapan mereka akan menabung bersama lagi ?

Penyelesaian :

Pada soal terdapat kata kunci setiap … sekali, dan bersama lagi, maka menggunakan konsep KPK

Mencari bilangan faktor dengan menggambar pohon faktor bilangan 4 dan 7, dan didapatkan :

4 = 2^2(2 pangkat 2)  dan 7 = 7

KPK dari 4 dan 7 yaitu 2^2(2 pangkat 2) × 7 = 4 × 7 = 28

Bersamaan lagi = tanggal awal + KPK = 1 Desember + 28 hari = 29 Desember 2020

Jadi, mereka akan menabung bersama lagi pada tanggal 29 Desember 2020.

Sedangkan kata kunci soal cerita dengan konsep FPB yaitu paling banyak, sama banyak, sebanyak-banyaknya, jumlah yang sama, dan sama rata.

Contoh :

2. Ani memiliki 30 mangga dan 45 apel. Ani akan memasukkan kedua buah tersebut kedalam kantong plastik dengan jumlah yang sama banyak. Berapakah kantong plastik yang dibutuhkan Ani ?

Penyelesaian :

Pada soal terdapat kata kunci sama banyak, maka menggunakan konsep FPB.

Mencari bilangan faktor dengan menggambar pohon faktor bilangan 30 dan 45, dan didapatkan :

30 = 2 × 3 × 5 dan 45 = 3^2(3 pangkat 2) × 5

FPB dari 30 dan 45 yaitu 3 × 5 = 15

Jadi, banyak kantong plastik yang dibutuhkan oleh Ani sebanyak 15 kantong plastik.