contenidos

Transformaciones canónicas

Principio de Hamilton modificado. Transformaciones canónicas. Funciones generatrices. Ejemplos. Estructura simpléctica del espacio de las fases. Corchetes de Poisson y otros invariantes canónicos. Transformaciones canónicas infinitesimales: integrales y ecuaciones de movimiento mediante corchetes de Poisson. Series de Lie. Grupos de simetrías de los sistemas mecánicos. Teorema de Liouville. Teorema de recurrencia de Poincaré.

Ecuación de Hamilton-Jacobi

Ecuación de Hamilton-Jacobi. Funciones principal y característica de Hamilton. Separación de variables. Sistemas integrables con un grado de libertad: variables de acción-ángulo. Toro invariante. Integrabilidad mediante cuadraturas en sistemas completamente separables. Teorema de Liouville-Arnold. Variables de acción-ángulo para el problema de Kepler. Variables de Delaunay y Poincaré. Relación entre la mecánica clásica, la mecánica cuántica y la óptica.

Teoría de perturbaciones

Teoría perturbativa secular. Teoría perturbativa canónica de sistemas cuasiperiódicos con uno y más grados de libertad. Teorema KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser). Invariancia adiabática. Ángulo de Hannay.

Aspectos geométricos de la Mecánica

Variedades de coordenadas generalizadas. Variedades diferenciables. Objetos geométricos en variedades: funciones y curvas, vectores tangentes, espacio y haz tangente, campos vectoriales, formas exteriores. Cálculo en variedades: curvas integrales de campos vectoriales, producto exterior de 1-formas, derivada exterior. Aplicaciones a los formalismos de Lagrange y de Hamilton: espacios de configuraciones Q, de velocidades TQ, de las fases T*Q. 1-forma canónica y 2-forma simpléctica en el espacio de las fases.