Programa

Since the introduction by Gauss of the linking number of two circles, secondary invariants have been ubiquitous in mathematics in general and in topology in particular.  The height pairing is an example of a secondary invariant that encompases artitmetic, analysis and geometry. Its Archimedean component can be seen as a generalization of the crossratio of four points in the projective line and can be interpreted as a class of a biextension of Hodge structures.

In this talk we will show how to extend this idea to define an Archimedean height pairing between higher cycles in the sense of Bloch in terms of mixed Hodge structures.

Many links between Algebraic K-theory and Number Theory are known, perhaps even considered "classical", but I will report on some newer developments (nothing older than 2014).

Los principales temas de esta presentación son los espacios de configuraciones y las categorías de configuraciones. Comenzamos introduciendo brevemente estos objetos y sus compactificaciones de Fulton-MacPherson. Revisamos la prueba de la equivalencia de homotopía entre la categoría de configuraciones de una variedad M y su compactificación de Fulton-MacPherson. Repasamos los resultados recientes de Idrissi, proporcionando un modelo real para los espacios de configuraciones de variedades compactas y simplemente conexas. Luego generalizamos estos resultados para obtener un modelo de homotopia real de la categoría de configuraciones de una variedad M compacta, simplemente conexa y paralelizable. 

La propiedad de ser un haz se puede categorizar para obtener, por ejemplo, que asignar categorias de haces sobre abiertos es un haz de categorías. En otras palabras, U---> Shv(U) satisface descenso. Esto, que en términos más elementales trata de identificar haces sobre ciertos colímites, se puede explotar para describir haces sobre un producto de espacios.

En esta charla veremos como estas ideas se pueden emplear para globalizar el teorema de aditividad de Dunn, que establece una equivalencia entre los espacios de n-lazos punteados y los espacios con n estructuras de 1-lazos punteados compatibles entre sí. Para esta empresa, emplearemos álgebras de factorización constructibles. Explicaremos como dichas álgebras satisfacen descenso y como pasar de aditividad local a global. Esta presentación está  basada en trabajo conjunto con A.Svraka (TUM).

En esta charla presentaremos dos nuevos conjuntos de invariantes asociados a la categoría de complejos simpliciales finitos. El primero de ellos se deriva del concepto de coesqueleto de un complejo simplicial, mientras que el segundo se fundamenta en la interpretación de los complejos simpliciales finitos como espacios topológicos finitos y en la cohomología de haces sobre dichos espacios. Estos conjuntos, que incluyen los números de Betti como casos particulares, ofrecen una información más detallada sobre las componentes conexas y agujeros del complejo. Además, examinaremos cómo la functorialidad de estas construcciones y la noción de persistencia nos proporcionan una mejor interpretación de estos invariantes.

Explicaremos qué son los productos de Massey clásicos para álgebras asociativas. Después, cómo Fernando Muro nos enseñó a entender los productos triples desde un punto de vista operádico. Finalmente, explicaré cómo Oisín y yo nos hemos apoyado en el contexto de Fernando para definir los productos de Massey generalizados para álgebras sobre óperads algebraicos. Trabajo conjunto con Oisín Flynn-Conolly.

A framed polytope is the convex closure of a finite set of points in R^n together with an ordered linear basis. An n-category is a category that is enriched in the category of (n − 1)-categories. Although these concepts may initially appear to be distant peaks in the mathematical landscape, there exists a trail connecting them, blazed in the 90’s by Kapranov and Voevodsky. We will traverse this path, widening and improving it as we address some of their conjectures along the way.

En 1981, Fulton y Mac-Pherson desarrollaron el formalismo de las teorías bivariantes, que permitió unificar distintos teoremas tipo Grothendieck-Riemann-Roch, desarrollados durante el siglo XX , así como, generalizar simultáneamente la homología y la cohomología para variedades no singulares, en las cuales ya no se verifica la dualidad de Poincaré.

En esta exposición introduciremos la noción de teoría bivariante, que asigna un grupo no a un objeto sino a un morfismo y las transformaciones de Grothendieck,   entre  teorías bivariantes.

Finalmente presentaremos dos teorías bivariantes aplicadas a Geometría Algebraica, relacionadas con el complejo de Hochschild, que son parte del trabajo de doctorado dirigido por Leo Alonso y Ana Jeremías.

La noción de álgebra pre-Calabi-Yau generaliza la de Calabi-Yau a álgebras no necesariamente compactas o lisas. Aparecen en topología (dualidad de Poincaré) y en geometría derivada no-conmutativa, entre otros. Veremos que las bialgebras infinitesimales balanceadas, introducidas en combinatoria, están intimamente relacionadas con las álgebras de pre-Calabi-Yau y las álgebras doble Poisson.