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La sonata ‘Al chiaro di luna’ di Beethoven è uno dei pezzi più iconici della musica classica che si presenta come un esempio perfetto per analizzare i connubi tra la matematica e la musica grazie alla sua semplice ma affascinante struttura melodica.
Musica e matematica hanno diversi punti in comune, ne analizzeremo alcuni possibili: i concetti di consonanza e dissonanza e le funzioni goniometriche. Le note musicali sono descritte da una funzione sinusoidale del tipo y(t)=sin(2πft) dove f è la frequenza (in Hertz) della nota considerata e t il tempo (in secondi). Si genera un effetto di consonanza tra due suoni quando il rapporto tra le loro frequenze è un numero razionale, come accade considerando una qualsiasi coppia di suoni costituenti la terzina formata dalle note La, Re e Fa della sonata “Al chiaro di luna” di Beethoven.
Terzina composta dalle note La, Re e Fa lette con la chiave di violino o di sol.
Rappresentando graficamente le tre funzioni si ottiene un grafico che presenta punti di intersezione con l’asse delle x, come in figura:
Si genera, invece, un effetto di dissonanza tra due suoni quando il rapporto tra le loro frequenze è un numero irrazionale; nel brano di Beethoven un esempio di dissonanza si ha tra le note Do e Si.
Le note evidenziate in giallo (considerando la chiave di violino o di sol) sono Si e Do.
I grafici delle due funzioni risultano sfasati e non presentano punti di intersezione con l’asse delle x, come in figura:
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