บทที่1

โครงสร้างของระบบจำนวน

 จำนวนจริง

• • จำนวนอตรรกยะ

  • จำนวนตรรกยะ

    • จำนวนเต็ม

      1. จำนวนเต็มลบ

      2. จำนวนเต็มศูนย์

      3. จำนวนเต็มบวก

    • ไม่เป็นจำนวนเต็ม

ส่วนประกอบของจำนวนจริง

จำนวนจริง ( Real Number ) จะประกอบไปด้วย 

1. จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้

2. จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้

จำนวนตรรกยะ ( RATIONAL NUMBER )

จากที่ได้กล่าวไปแล้วว่า จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ซึ่งจำนวนตรรกยะนั้น จะมีส่วนประกอบอยู่ด้วยกัน 2 ส่วน คือ 

1. จำนวนเต็ม

2. ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม

ซึ่งทั้งสองส่วนก็ยังมีส่วนย่อยลงไปได้อีก ส่วนตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนได้ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนที่มีทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนได้นั้น จะถือเป็นจำนวนอตรรกยะโดยทันที

• จำนวนตรรกยะที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม

        เช่นเดียวกัน จำนวนตรรกยะก็มีส่วนที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถแบ่งเป็นส่วนย่อยได้ดังนี้

1. เศษส่วน

2. ทศนิยมซ้ำ

• จำนวนเต็ม (INTEGER)

จากหัวข้อก่อนหน้านี้ จำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ ซึ่งในจำนวนเต็มก็ยังสามารถแบ่งส่วนย่อยลงไปได้อีกเป็น

1. จำนวนเต็มบวก

2. จำนวนเต็มลบ

3. จำนวนเต็มศูนย์

ข้อควรรู้ :

• ไม่มีจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด

• ไม่มีจำนวนเต็มลบที่่น้อยที่สุด

•  0 ไม่ใช่ทั้งจำนวนเต็มบวก และ จำนวนเต็มลบ 

• จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด คือ 1

• จำนวนเต็มลบที่มากที่สุด คือ -1

สมบัติของจำนวนจริง

กำหนดให้ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ

1. สมบัติการบวกในจำนวนจริง

• สมบัติปิดการบวก

ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ a + b จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง

• สมบัติการสลับที่การบวก

a + b = b + a

• สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก  

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

• การมีเอกลักษณ์การบวก

0 + a = a + 0 = a

• การมีอินเวอร์สการบวก 

a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0

2.  สมบัติการคูณในจำนวนจริง

• สมบัติปิดการคูณ

ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว ab จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง

• สมบัติการสลับที่การคูณ

ab = ba

• สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ

a × ( bc ) = ( ab ) × c

• การมีเอกลักษณ์การคูณ

1 × a = a × 1 = a

• การมีอินเวอร์สการคูณ

a × ( 1/a ) =  ( 1/a ) × a = 1  

• สมบัติการแจกแจง

a ( b+c  ) = ab + ac