Discutiremos o problema mais clássico da área de Aproximações Diofantinas: como determinar as melhores aproximações de um dado número real por racionais. Apresentaremos o método de representações de números reais por frações contínuas, que dá uma excelente resposta a esse problema, e suas relações com Sistemas Dinâmicos. Mencionaremos alguns resultados clássicos sobre a qualidade das melhores aproximações racionais de números irracionais, e discutiremos propriedades geométricas (algumas relacionadas a Geometria Fractal) do espectro de Lagrange, o conjunto das melhores constantes relacionadas a essas melhores aproximações.

Apresentaremos, de modo acessível a alunos de graduação e pós-graduação, a chamada formulação de valor inicial da Relatividade Geral. Trata-se de um tema que conecta Geometria Diferencial, Análise de Equações Diferenciais Parciais e, obviamente, Física. Após uma exposição panorâmica de resultados clássicos, mostraremos, brevemente, alguns resultados recentes que envolvem quantidades geométricas descritas por funções bi-harmônicas.

Nem todos os que vagueiam estão perdidos. Por exemplo, você pode tentar entender algo sobre o Facebook apenas passeando aleatoriamente sobre sua rede de amigos. Mais exatamente, veremos que andar ao acaso é uma boa maneira de aprender características de um grafo desconhecido à medida que o percorremos. Na verdade, a ideia é mais geral. Se você quer explorar um universo para achar coisas interessantes, ou descobrir características importantes, pode ser boa ideia agir de forma aleatória. A palestra buscará tornar acessíveis alguns resultados nossos com Anna Ben-Hamou (Sorbonne) e Yuval Peres (Kent State University).