論文とその概要

複素数体上に定義されたアフィン平面の極小コンパクト化は，[Koj01], [KT09] 等により研究されている．特に，[KT09] では，複素数体上に定義された高々対数的標準特異点をもつアフィン平面の極小コンパクト化は，「反標準因子が数値的豊富」であり「高々有理特異点しかもたない」事が示されている．この論文では，より悪い特異点をもつアフィン平面の極小コンパクト化を考察した．結果として，複素数体上に定義されたアフィン平面の極小コンパクト化に対し，標準因子がネフならば，有理特異点でない特異点をもつ事を示した．

以下，証明の概要を述べる．(X, Γ) をアフィン平面の極小コンパクト化とし，π: V --> X を極小特異点解消とし，D を π の被約例外因子とし，C を Γ の π による固有変換像とする．このとき，(V, C+D) はアフィン平面の極小コンパクト化であり，[Koj01], [KT09] の議論から C+D はSNC因子である事が分かる．更に，V 上のある有効 Q-因子 D^# が一意的に存在して，K_V + D^# ≡ π^*(K_X) をみたす．K_X がネフと仮定すると，[KT09] の結果より，X は対数的標準特異点より悪い特異点 P をもつ．このとき，K_X は数値的自明または数値的豊富のいずれかである事に注意し，次の２つのケースに分けて考える：

ケース１ (K_X が数値的自明であるとき)． D^# はZ-因子である事を示す．特に [Art62] の結果より，P は有理特異点でない事が従う．

ケース２ (K_X が数値的豊富であるとき)． 曲面の非特異性を保つように C+D に含まれる曲線の収縮を繰り返すと，標準因子が数値的自明であるようなアフィン平面の極小コンパクト化の極小特異点解消 (V', C'+D') が必ず現れる事を示す．更に，収縮列 f: V --> V' を援用して，V 上のZ-因子 Z で「p_a(Z) = 1」かつ「Supp (Z) が P の引き戻しに一致する」をみたすものを具体的に構成する．これより [Art62] の結果によって，P は有理特異点でない事が従う．

参考文献

[Art62] M. Artin, "Some numerical criteria for contractability of curves on algebraic surfaces", Amer. J. Math. 84 (1962), 485--496.

[Koj01] H. Kojima, "Minimal singular compactifications of the affine plane", Nihonkai Math. J. 12 (2001), 165--195. 

[KT09] H. Kojima and T. Takahashi, "Notes on minimal compactifications of the affine plane", Ann. Mat. Pura Appl. 188 (2009), 153--169. 

この論文では，標数０の代数閉体上に定義された次数３以上の（特異点をもつ）Du Val del Pezzo曲面に対し，任意の豊富Q-因子 H について H-偏極シリンダーが存在する事を示した．なお，Du Val del Pezzo曲面における反標準偏極シリンダーという特殊な偏極シリンダーの存在条件は，[CPW16] により解明されている．また，次数３以上の非特異del Pezzo曲面における偏極シリンダーの存在条件は，[CPW17] により研究されている．従って，今回の結果は，[CPW16], [CPW17] の結果の一般化を与えたと言える．また，この論文の手法は，Du Val特異点よりも特異点を悪くした一部の正規有理曲面（del Pezzo曲面である必要はない）についてもパラレルに機能するため，例えばDu Val特異点より悪い特異点をもつdel Pezzo曲面（log del Pezzo曲面など）を調べる際に，応用が期待できると思われる．

参考文献

[CPW16] I. Cheltsov, J. Park and J. Won, "Cylinders in singular del Pezzo surfaces", Compos. Math. 152 (2016), 1198--1224.

[CPW17] I. Cheltsov, J. Park and J. Won, "Cylinders in del Pezzo surfaces", IMRN 2017 (2017), 1179--1230. 

この論文では，任意標数の完全体上に定義された非特異射影代数曲面に対し，シリンダーの有無を効果的に判定する方法を与えた．より詳細には，次の２つの結果がこの論文の主結果である：

(1): 任意標数の完全体上に定義された非特異射影代数曲面で極小なものに対し，シリンダーを含むための必要十分条件を与えた．特に，del Pezzo曲面でないならば，シリンダーを含む事と標準因子の自己交叉数が８に等しい事が同値である事を示した．この結果は，論文 [DK18] および過去の研究 [1] の結果を拡張している．

(2): 任意標数の完全体上に定義された双有理同値であるような２つの非特異射影代数曲面に対し，片方がシリンダーを含む事ともう片方がシリンダーを含む事が同値である事を示した．証明には，[Isk96] にある完全体上に定義された非特異幾何学的有理曲面間のSarkisovリンクの分類を用いる．

従って，任意標数の完全体上に定義された非特異射影代数曲面 S を与えたとき，S がシリンダーを含むかどうかは次のように判定できる：

S に極小モデルプログラムを実行し，出力される極小な曲面を V とする．S と V は双有理同値であるから，(2)より，S に含まれるシリンダーの有無の判定は，V に含まれるシリンダーの有無の考察に帰着される．更に，V は極小であるから，V がシリンダーを含むかどうかは(1)（または [DK18], [1] ）の結果を援用する事により判定できる．

参考文献

[DK18] A. Dubouloz and T. Kishimoto, "Cylinders in del Pezzo fibrations", Israel J. Math. 225 (2018), 797--815. 

[Isk96] V.A.Iskovskikh, "Factorization of birational maps of rational surfaces from the viewpoint of Mori theory", Russ. Math. Surv. 51 (1996), 585--652. 

この論文では，標数０の体上に定義されたピカール数１のlc del Pezzo曲面（つまり，基礎体を代数閉包へ係数拡大したものが高々対数的標準特異点をもつような正規del Pezzo曲面）でアフィン平面を含むものを分類した．

方針は，標数０の体上に定義されたアフィン平面の極小コンパクト化で（基礎体を代数閉包へ係数拡大したとき）高々lc特異点をもつものを分類する事にある．複素数体上に定義されたアフィン平面の極小コンパクト化は [MZ88], [Koj01], [KT09] 等の論文で研究されており，更に高々対数的標準特異点をもつものは，これらの論文により分類されている．この論文では，[Koj01], [KT09] の手法を標数０の非代数閉体の場合に拡張し，得られた手法を用いて分類を行った．

アフィン平面は特殊なシリンダーと見做せる．標数０のピカール数１のDu Val del Pezzo曲面でシリンダーを含むものは，[2] により分類されている．この論文では，主結果の系として，標数０のピカール数１のDu Val del Pezzo曲面でアフィン平面を含むものを分類した．

参考文献

[Koj01] H. Kojima, "Minimal singular compactifications of the affine plane", Nihonkai Math. J. 12 (2001), 165--195. 

[KT09] H. Kojima and T. Takahashi, "Notes on minimal compactifications of the affine plane", Ann. Mat. Pura Appl. 188 (2009), 153--169. 

[MZ88] M. Miyanishi and D.-Q. Zhang, "Gorenstein log del Pezzo surfaces of rank one", J. Algebra 118 (1988), 63--84. 

基礎体を代数閉包に係数拡大したときに高々Du Val特異点をもつような正規del Pezzo曲面をDu Val del Pezzo曲面と呼ぶ事にする．

この論文では，標数０の体上に定義されたピカール数１のDu Val del Pezzo曲面がシリンダーを含むための必要十分条件を与え，更にシリンダーを含むような標数０の体上に定義されたピカール数１のDu Val del Pezzo曲面を分類した．（また，ピカール数１のDu Val del Pezzo曲面のうち，次数３以上のものは，シリンダーの有無に限らず分類している．）この論文の結果は，以下の２つの方向性の一般化を与えている：

(1): 標数０の体上に定義されたピカール数１の非特異del Pezzo曲面がシリンダーを含むための条件は [DK18] により決定されている．この論文では，[DK18] の結果を特異点のクラスを標準特異点クラスまで拡張した．

(2): 標数０の代数閉体上に定義されたピカール数１のDu Val del Pezzo曲面がシリンダーを含むための条件は [CPW16] により決定されている．この論文では，[CPW16] の（ピカール数１の場合の）結果を基礎体が代数閉体という仮定を外した場合に結果を拡張した．

また主結果の応用として，２つのピカール数１のDu Val del Pezzo曲面で，基礎体を代数閉包に係数拡大すると同型となるが，（係数拡大する前の体上では）片方しかシリンダーを含まないような具体例を構成した．

参考文献

[CPW16] I. Cheltsov, J. Park and J. Won, "Cylinders in singular del Pezzo surfaces", Compos. Math. 152 (2016), 1198--1224. 

[DK18] A. Dubouloz and T. Kishimoto, "Cylinders in del Pezzo fibrations", Israel J. Math. 225 (2018), 797--815. 

この論文では，標数０の（代数閉体とは限らない）体上に定義されたweak del Pezzo曲面について，「(1): del Pezzo曲面でないweak del Pezzo曲面が極小となる条件」，「(2): 極小なweak del Pezzo曲面がシリンダーを含むための条件」を解明した．以下で，詳細を述べる：

(1): （Del Pezzo曲面でない）weak del Pezzo曲面の次数とDynkinタイプに着目し，極小であるための必要十分条件を与えた．なお，次数が４以上の場合には極小なweak del Pezzo曲面は論文 [CT88] で分類されている．今回の結果は，特に次数３以下のweak del Pezzo曲面が極小であるための条件を決定した．Weak del Pezzo曲面は，次数とDynkinタイプに関して，約150ケースに分類される（例えば，[CT88], [Dol12], [Ura83] 等に分類リストがある）．今回の結果を用いると，極小になり得るのはうち７ケースしかない事が従う．（ちなみに，これら７ケースが極小になるための必要十分条件は，ピカール数が２となる事である．）

(2): ピカール数２の極小なweak del Pezzo曲面（del Pezzo曲面でも良い）がシリンダーを含むための必要十分条件を与えた．特に，シリンダーを含むには次数８である必要がある事を示した．極小なweak del Pezzo曲面のピカール数は１または２であり，ピカール数１のweak del Pezzo曲面（これは自動的にdel Pezzo曲面になる）がシリンダーを含むための条件は，[DK18] により解明されている．従って，極小なweak del Pezzo曲面におけるシリンダーの存在条件は完全に解明された事になる．なお，後の論文 [4] では，今回の結果の更なる一般化を与えている．

参考文献

[CT88] D. F. Coray and M. A. Tsfasman, "Arithmetic on singular Del Pezzo surfaces", Proc. Lond. Math. Soc. (3) 57 (1988), 25--87. 

[Dol12] I. V. Dolgachev, "Classical Algebraic Geometry: A Modern View", Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012. 

[DK18] A. Dubouloz and T. Kishimoto, "Cylinders in del Pezzo fibrations", Israel J. Math. 225 (2018), 797--815. 

[Ura83] T. Urabe, "On singularities on degenerate del Pezzo surfaces of degree 1, 2", In: "Singularities, Part 2 (Arcata, California, 1981)", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. 40, American Mathematical Society, Providence, RI, 1983, 587--591.