MAA5

MAA5 FUNKTIOT ja YHTÄLÖT II

Kurssin sisältö ja aikataulu 2025

Trigonometrisella funktiolla voidaan mallintaa toistuvaa aaltoliikettä.

Eksponenttifunktiolla voidaan mallintaa toistuvaa prosentuaalista muutosta.

1. Radiaani ja yksikköympyrä

1. Tehtävät

2. Trigonometrinen yhtälö

2. Tehtävät

3. Trigonometrinen funktio

3. Tehtävät

4. Sinin ja cosinin yhteys toisiinsa

4. Tehtävät

5. Negatiivinen eksponentti

5. Tehtävät

6. Murtopotenssi

6. Tehtävät

7. Eksponenttifunktio

7. Tehtävät

8. Logaritmi

8. Tehtävät

I-II VIIKKO

Radiaani ja yksikköympyrä 7 + 0 + 1

Trigonometrinen yhtälö 0 + 12 + 3

Tyypin II yhtälö
Tyypin III yhtälö (+ taulukkokirja)

II-III VIIKKO

Trigonometrinen funktio 2 + 9 + 0

Vakioiden a, b, c ja d vaikutus funktioon

Sinin ja cosinin yhteys toisiinsa 0 + 4 + 2

Pistetehtävä 7.9.

IV-VI VIIKKO

Negatiivinen eksponentti 6 + 2 + 0

Murtopotenssi 2 + 6 + 4

Eksponenttifunktio 0 + 13 + 1

Regressioanalyysi

Logaritmi 5 + 9 + 3

KOE pe 19.9.

EXTRA-tehtäviä:

Opetusvideoita

"Noo, se on Ville terve!"

1. Radiaani ja yksikköympyrä

1.1 Kulma, aste ja radiaani

Radiaani

Kulma tarkoittaa kaaren pituuden suhdetta ympyrän säteeseen.

Yksikköympyrässä (r = 1) kulma on siis täsmälleen sama kuin kaaren pituus. Tällöin yksikkönä ei ole aste, vaan radiaani.

Muunnokset menevät useimmiten tavallisina jako- ja kertolaskuina, mutta tarvittaessa voi käyttää verrantoa.

Esimerkkejä

1.2 Yksikköympyrä

Yksikköympyrä

Kulma alkaa aina positiiviselta x-akselilta, missä sijaitsee nolla astetta.

Positiivinen kiertosuunta on vastapäivään.
Voidaan kiertää myös myötäpäivään, jolloin kulma on negatiivinen.

SINI on kehäpisteen y-koordinaatti

COSINI on kehäpisteen x-koordinaatti.

Neljännekset

Sini

Cosini

1. Tehtävät

Vastaukset

Aste ja radiaani

2. Trigonometrinen yhtälö

Pro Tip - Näpit irti

Kun sinulla on lauseke kuten sin(2x):

Älä. Koske. Sulkujen. Sisältöön.

Se kakkonen ei lähde sieltä pois, sini "omistaa" sen.

Sama ohje pätee myös derivoinnissa, sulkujen sisältö (=sisäfunktio) EI muutu.

2.1 Yhtälötyypit

I Yksikköympyrän avulla

Yhtälön toiselle puolelle saadaan luku 0, 1 tai -1.

sin(3x) = 0

Esimerkki I

II Arcusfunktion avulla

Yhtälön toiselle puolelle saadaan jokin muu luku kuin 0, 1 tai -1.

cos(x) = 0,5

Esimerkki II

III Droppaus

Yhtälön molemmilla puolilla on sama trigonometrinen funktio.

tan(x) = tan(4x)

Esimerkki III

MAFY-taulukot

Myös taulukosta löytyy kaksi sivua eri kulmien sinin ja cosinin tarkkoja arvoja (sekä asteina että radiaaneina).

2.2 Peilikuvat ja jaksollisuus

I Sini

Kulmien peilikuvia tutkitaan lisää pistetehtävässä.

II Cosini

#Tangentti

Tangenttifunktio ei kuulu OPSiin.

2. Tehtävät

Vastaukset

Trigonometrinen yhtälö

3. Trigonometrinen funktio

Arvojoukko

Sinin/cosinin suurin mahdollinen arvo on aina 1 ja pienin -1 eli toisin sanoen arvojoukko on [-1, 1].

Jos funktio on monimutkainen, pienimmän ja suurimman arvon laskemiseen joudutaan käyttämään derivaattaa.

Esimerkkejä

Funktion muuntelu

Trigonometrinen funktio on jaksollinen eli samat arvot toistuvat tietyin välein uudestaan ja uudestaan.

A:n itseisarvo on amplitudi eli aallon korkeus perustasosta ("vedenpinnasta")

B vaikuttaa jakson- eli aallonpituuteen

C siirtää funktiota oikealle (tai vasemmalle)

D siirtää funktiota ylös (tai alas)

C ja D toimivat samoin kaikilla funktioilla

Esimerkki

3. Tehtävät

Vastaukset

Trigonometrinen funktio

4. Sinin ja cosinin yhteys toisiinsa

Kaava

Kyseessä on Pythagoraan lause yksikköympyrään sovitettuna:

Jos tunnetaan jonkin kulman sinin arvo, voidaan laskea myös saman kulman cosinin arvo tai toisinpäin.

Kulman x arvoa EI tarvitse tietää, ainoastaan sin(x):n tai cos(x):n arvo.
Vaikka kulman x tarkkaa arvoa ei tiedetäkään, tehtävissä usein kulman tiedetään sijaitsevan jollakin välillä, jolloin pitää valita toisen asteen yhtälöstä oikea etumerkki (+/-).

Esimerkki

Laske sin(x):n tarkka arvo, kun cos(x) = 1/3 ja kulmasta x tiedetään, että se on välillä [180o, 360o].

RATKAISU

4. Tehtävät

Vastaukset

Sinin ja cosinin yhteys toisiinsa

5. Negatiivinen eksponentti

Määritelmä

Negatiivinen eksponentti on yleinen hyvin pieniä lukuja esitettäessä ns. 10-potenssimuodossa eli muodossa

Esimerkkejä

5. Tehtävät

Vastaukset

Kopio tiedostosta Negatiivinen eksponentti

6. Murtopotenssi

Määritelmä

Murtopotenssin nimittäjä on siis vaihtoehtoinen tapa juurimerkinnälle.

Nimittäjän luku 2 vastaa neliöjuurta (toinen juuri), luku 3 kuutiojuurta (kolmas juuri), luku 4 neljättä juurta jne.
Osoittajassa oleva luku on tavallinen potenssi.

Esimerkkejä

6. Tehtävät

Vastaukset

Kopio tiedostosta Murtopotenssi

7. Eksponenttifunktio

7.1 Kantaluku ja eksponentti

Eksponenttifunktiossa muuttuja x on eksponentissa eikä kantalukuna, kuten potenssifunktiossa.

Yleisesti eksponenttifunktio on siis muotoa

Jos kantaluku a on suurempi kuin 1, funktio on kasvava ja jos 0 < a < 1, funktio on vähenevä/laskeva.
Eksponenttifunktion arvot ovat aina suurempia kuin nolla eli sen kuvaaja on aina x-akselin yläpuolella eli sillä ei ole nollakohtia.

7.2 Prosentit

Pro Tip - Prosentuaalinen muutos kertolaskulla

Muutoskertoimen vertailukohtana on luku 1, koska ykkösellä kertominen pitää luvun ennallaan.

25 % kasvu saadaan kertoimella 1 + 0,25 = 1,25
25 % pieneneminen saadaan kertoimella 1 - 0,25 = 0,75.

Prosentuaalinen muutos

Toistuva prosentuaalinen muutos on eksponentiaalista.

Jos kyseessä on eksponentiaalinen kasvu, usein puhutaan kiihtyvästä kasvusta, "korkoa korolle" -ilmiöstä tai jopa räjähdysmäisestä kasvusta.

Kasvava

Vähenevä

7.3 Regressioanalyysi

Regressioanalyysissä käytettävän funktiotyypin EI tarvitse olla nimenomaan eksponenttifunktio, vaan usein se on myös esimerkiksi lineaarinen tai trigonometrinen funktio. Analyysissä laskin muodostaa funktion, joka menee suunnilleen annettujen pisteiden kautta.

1. Syötä arvot

Kirjoita A:n ja B:n viereen myös sarakkaiden otsikot.

2. Data & Tilastot

3. Aseta x-akseli

4. Aseta y-akseli

5. Valitse funktion tyyppi

Analysoi - Regressio

6. Kopioi funktio talteen

Copy-Paste ei toimi :(

7. Tehtävät

Vastaukset

Kopio tiedostosta Eksponenttifunktio

8. Logaritmi

Pro Tip - Lue logaritmin kysymys ääneen

"Mihin potenssiin (kantaluku) a on korotettava, jotta tulos olisi b?" Jos kyseessä on yhtälö, vastaus on yhtäsuuruusmerkin toisella puolella.

8.1 Yleistä

Triangle of Power

Määrittelyjoukko

Logaritmilla on AINA jokin kantaluku, mutta on sovittu, että jos kantaluku on 10, sitä ei tarvitse merkitä näkyviin. Kymmenkantainen logaritmi voidaan siis kirjoittaa muodossa log(x) tai joskus käytetään vielä lyhyempää muotoa lg(x).

8.2 Logaritmikaavat

Pro Tip - Käytä kaavoja

Monimutkaisissa logaritmilausekkeissa usein riittää, kun muistaa että logaritmeille ON OLEMASSA omia kaavoja, joilla niitä voi sievennellä tai muunnella muodosta toiseen. Ota kaavat tehtävän viereen (yhtälö, sievennys) ja katso niiden avulla, mitä voisit tehdä.

Kaavat

Erikoistilanteita

8. Tehtävät

Vastaukset

Kopio tiedostosta Logaritmi

SpeedCrunch / Abicus

SpeedCrunch

Google Sites

Report abuse