MAA4b

MAA4 ANALYYTTINEN GEOMETRIA ja VEKTORIT

Itseisarvo, yhtälöryhmä ja suoran yhtälö (1 op)

Pistejoukko, paraabeli, ympyrä ja vektorit (2 op)

Kurssin sisältö ja aikataulu 2026 ( 2 op.)

Analyyttisessä geometriassa pistejoukolla (käyrä tai funktio) on aina jokin sääntö (yhtälö), joka kertoo mitkä kaikki koordinaatiston pisteet pistejoukkoon kuuluvat. Sääntö sitoo x- ja y-koordinaatit toisiinsa ja näistä pisteistä (x, y) muodostuu sitten erilaisia käyriä, kuten suoria, paraabeleja tai ympyröitä.

On vaikea määritellä mikä vektori oikeastaan on. Parempi onkin keskittyä vain siihen, mitä ominaisuuksia vektorilla on. Matematiikassa ominaisuuksia on kaksi: suunta ja suuruus (=pituus). Sen sijaan vektorilla ei ole sellaista ominaisuutta kuin sijainti. Vektori pysyy siis samana sijaitsee se missä tahansa, joten sitä on sallittua siirtää paikasta toiseen.

KAPPALEET 3-10 (2 op.)

1. Itseisarvo ja yhtälöryhmä

2. Suoran yhtälö

3. Pistejoukon yhtälö

6. Vektorien perusominaisuudet

6. Tehtävät

7. Vektorin pituus

7. Tehtävät

8. Komponentteihin jako

I VIIKKO

Pistejoukon yhtälö 0 + 15 + 0

Paraabeli 0 + 4 + 6

II VIIKKO (alkaen 23.2.)

Ympyrä 8 + 7 + 7

Opetusvideoita

"No Ville moi!"

Etäpäivät

pe 13.3. (tehtävä)
ke 18.3. (tehtävä)

III-VI VIIKKO (alkaen 2.3.)

Vektorien perusominaisuudet 4 + 8 + 0

Vektorin pituus 5 + 6 + 1

- vektorin avulla liikkuminen

Komponentteihin jako 0 + 4 + 1

- Nspire

Yhdensuuntaisuus 5 + 4 + 1

Pistetulo 5 + 7 + 6

Koe to 26.3.

1. Itseisarvo ja yhtälöryhmä

1.1 Itseisarvo

Positiivisen luvun itseisarvo on sama kuin itse luku, mutta negatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku. Toisin sanoen:

|a| = a, jos a > 0 tai a = 0
|a| = -a, jos a < 0

Itseisarvon tulos on siis AINA positiivinen (tai nolla).

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö |2x-1| = 7.

Lausekkeen, josta itseisarvo otetaan, on oltava joko 7 tai -7.

2x-1 = 7 tai 2x-1 = -7

2x=8 tai 2x=-6

x=4 tai x=-3

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö |x-1| = |3-2x|.

Lausekkeet, joista itseisarvot otetaan, on oltava joko samat tai toistensa vastaluvut.

x-1 = 3-2x tai x-1 = -(3-2x)

x+2x=3+1 tai x-1=-3+2x

3x=4 tai -x=-2

x=4/3 tai x=2

1.2 Yhtälöryhmä

Yhtälössä on yleensä yksi tuntematon x, joka ratkaistaan. Yhtälöparissa on kaksi tuntematonta, usein x ja y, joiden ratkaisemiseksi tarvitaan kaksi yhtälöä. Kun tuntemattomien määrä kasvaa, tarvitaan yhtä monta yhtälöä kuin mikä on tuntemattomien lukumäärä.

Yhtälöparien ja yhtälöryhmien yleisin ratkaisukeino (jos Nspireä ei saa käyttää) on sijoituskeino.

Tavallisen yhtälöparin ratkaisu (x, y) on graafisesti tarkasteltuna kyseisten yhtälöiden muodostamien käyrien leikkauspiste. Näitä ratkaisuja eli leikkauspisteitä voi olla myös useita.

Esimerkki 1

Esimerkki 2

Jos tehtävä tarjoaa mahdollisuuden hyödyntää yhteenlaskukeinoa jossakin kohdassa, se usein helpottaa laskemista.

1. Tehtävät

Vastaukset

Itseisarvo

2. Suoran yhtälö

2.1 Kulmakerroin, kohtisuoruus ja suuntakulma

Kulmakerroin

Kulmakerroin on pystysuoran muutoksen ja vaakasuoran muutoksen suhde.

Kohtisuoruus

Suorat ovat kohtisuorassa, jos niiden kulmakertoimet ovat toistensa käänteislukujen vastalukuja eli niiden kulmakertoimien tulo on -1.

Poikkeus, jos kyseessä on vaaka- ja pystysuora.

- Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla.
- Pystysuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa.

Suuntakulma

Suoran suuntakulma on suoran ja x-akselin välinen kulma.

Jos suora on laskeva, sen suuntakulma on negatiivinen.
Voidaan laskea kulmakertoimen ja trigonometrian avulla.

2.2 Ratkaistu muoto eli kulmakerroinmuoto ja yleinen muoto

Suoran yhtälön muodostaminen

Yhtälön muodostamiseksi pitää siis tietää suoralta yksi piste (x0, y0) ja suoran kulmakerroin. Kulmakerroin saadaan yleensä joko

laskemalla se kahden, suoralta tiedetyn pisteen avulla,
päättelemällä se yhdensuuntaisuudesta tai kohtisuoruudesta jonkin toisen suoran kanssa tai
derivaatan avulla (ei vielä tällä kurssilla).

Esimerkki

Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (3, -4) kautta ja sen kulmakerroin on 2.

Sijoitetaan luvut kaavaan.

y - (-4) = 2(x - 3)

Avataan sulut: y + 4 = 2x - 6

Siirretään termit omille puolilleen, jolloin saadaan kulmakerroinmuodossa y = 2x - 10.

Yleisessä muodossa yhtälö on -2x + y + 10 = 0.

2.3 Pisteen etäisyys suorasta

Huomaa, että kaavaa käytettäessä suoran yhtälön pitää olla yleisessä muodossa

ax + by + c = 0.

2.4 Funktion lausekkeen käyttö y:n tilalla yhtälöissä

Esimerkki 1

Minkä suoran y = 2x-1 pisteen etäisyys pisteestä (5, -1) on 5?

RATKAISU

Merkitään kysyttyä pistettä (x,y) = (x, 2x-1). Kahden pisteen välinen etäisyys lasketaan Pythagoraan lauseella.

Esimerkki 2

Minkä suoran 4x + y = 0 pisteen etäisyys suorasta x + 2y + 1 = 0 on 2? Anna vastaus desimaalilukuna kahden desimaalin tarkkuudella.

RATKAISU

Merkitään kysyttyä pistettä (x,y) = (x, -4x). Pisteen etäisyys suorasta saadaan omalla kaavallaan.

2. Tehtävät

Vastaukset

Suora

3. Pistejoukon yhtälö

3.1 Yleinen yhtälö ja leikkauspisteet

Funktio ja Käyrä

Jos käyrän muoto tunnetaan ja siltä tiedetään riittävästi pisteitä (x, y), käyrän yhtälö voidaan määrittää ratkaisemalla tuntemattomat vakiot yhtälöryhmästä, johon x:n ja y:n paikoille sijoitetaan tunnetut pisteet.

Pisteitä pitää tietää yhtä monta, kuin käyrän yhtälössä on vakioita
Itse yhtälöryhmän voi ratkaista yleensä Nspirellä

Jos kyseessä on funktio, laskimeen kannattaa kirjoittaa ensin funktion lauseke f(x):= ja käyttää sitten sitä.

Funktiossa jokaista mahdollista x:n arvoa vastaa tasan yksi y:n arvo eli funktion arvo.
Jos jotakin x:n arvoa vastaa yksi tai useampi y:n arvo, kyseessä on käyrä. Kaikki funktiot ovat siis myös käyriä, mutta kaikki käyrät eivät ole funktioita.
Suora ja ylös tai alas aukeava paraabeli ovat funktioita, mutta pystysuora viiva, ympyrä tai sivulle aukeava paraabeli eivät ole.
Hyperbelin ja ellipsin yhtälöä ei lukiossa käsitellä

Leikkauspisteet

Akselien leikkauspisteissä toinen koordinaatti on nolla eli pisteet ovat muotoa (x, 0) ja (0, y).
Kahden käyrän leikkauspisteet saadaan yhtälöparilla.

Suora

y = kx + a

(tai ax + by + c = 0)

Yleensä käytetään ylempää eli kulmakerroinmuotoa. Tällöin yhtälön määrittämiseen riittää kaksi pistettä (x, y), koska vakioitakin on vain kaksi (k ja a).

Paraabeli

y = ax² + bx + c

(x = ay² + by + c)

Alempi on oikealle tai vasemmalle aukeava paraabeli.

Ympyrä

(x - p)² + (y - q)² = r²

(tai x² + y² + ax + by + c = 0)

Ylempi muoto on ympyrän keskipistemuoto ja siitä nähdään suoraan ympyrän keskipiste (p, q) ja säde r.

NSPIRE: Yhtälön muodostaminen

Esimerkki: Paraabeli

Pystysuuntaisen paraabelin yhtälössä voi käyttää f(x):=, koska paraabeli ON FUNKTIO.

Kahden kirjaimen väliin on laskimessa laitettava kertomerkki.

Esimerkki: Ympyrä

Ympyrän yhtälössä, f(x) ei toimi, koska ympyrä EI OLE FUNKTIO.

Koska r on ympyrän säde, voidaan rajata |r > 0.

GEOGEBRA: Yhtälön muodostaminen

Kun tunnetaan kolme pistettä, ympyrän tai paraabelin yhtälön voi tehdä myös Geogebralla. Geogebra tekee laskut kuitenkin likiarvoina (desimaalilukuina), joten jos kyseessä ei ole kokonaisluvut, käytä Nspireä.

Ei-funktion piirtäminen

NSPIRE

Valitse Implisiittinen. Sillä voi piirtää myös funktioita, mutta yleensä ei kannata.

GEOGEBRA

Geogebra valitsee käyrä- tai funktiomuodon tilanteesta riippuen.

Monta funktion arvoa

Vakioiden sijoittaminen

3.2 Janan pituus ja keskipiste

Pituus ➡️ Pythagoraan lause

Kahden pisteen välinen etäisyys eli janan pituus lasketaan Pythagoraan lauseella, jossa toinen kateetti on x-koordinaattien erotus (muutos) ja toinen y-koordinaattien erotus.

(Myöhemmin kurssilla lasketaan vektorin pituus aivan samalla tavalla.).

Keskipiste ➡️ Keskiarvo

Janan keskipiste saadaan ottamalla sen päätepisteiden koordinaattien keskiarvo. Keskiarvo lasketaan erikseen x-koordinaateista ja erikseen y-koordinaateista.

3. Tehtävät

Vastaukset

Pistejoukon yhtälö

4. Paraabeli

Yleistä

Muotoa y = ax² + bx + c oleva paraabeli aukeaa

ylös, jos a > 0
alas, jos a < 0.

Muotoa x = ay² + by + c oleva paraabeli aukeaa

oikealle, jos a > 0
vasemmalle, jos a < 0.

Paraabeli on aina symmetrinen.

Paraabeli koostuu pisteistä, joiden etäisyys tietystä pisteestä (=paraabelin polttopiste) ja tietystä suorasta (=paraabelin johtosuora) on sama.

Paraabelin huippu

Helpoin keino paraabelin huipun määrittämiseen on derivointi (ei vielä tällä kurssilla). Joskus voidaan kuitenkin hyödyntää paraabelin symmetrisyyttä, jolloin huippu löytyy esimerkiksi paraabelin nollakohtien puolivälistä.

Paraabelin yhtälö voidaan esittää myös huippumuodossa

Jotta vakio a saadaan ratkaistua, pitää huippupisteen lisäksi tietää myös jokin toinen paraabelin piste.

4. Tehtävät

Vastaukset

Paraabeli

5. Ympyrä

Jokaisen ympyrän kehällä olevan pisteen (x, y) etäisyys ympyrän keskipisteestä on sama (=r eli ympyrän säde). Tämä etäisyys voidaan laskea Pythagoraan lauseella, josta muodostuu ympyrän yhtälö keskipistemuodossa.

Esimerkki

Ympyrän (x - 4)² + (y + 5)² = 9 keskipiste on (4, -5) ja sen säde on 3.

Huomaa, että keskipisteen koordinaatit ovat yhtälössä esiintyvien lukujen vastaluvut.

Yleinen muoto

Ympyrän yhtälö voidaan esittää myös avattuna eli yleisessä muodossa, jolloin se on x² + y² + ax + by + c = 0, missä a, b ja c ovat lukuja.

NSPIRE

#Hyperbeli

#Ellipsi

5. Tehtävät

Vastaukset

Ympyrä

6. Vektorien perusominaisuudet

Pro Tip - Komponentit erikseen

Vektoreiden helppous laskemisessa tulee usein siitä, että voit katsoa erikseen mitä x-akselilla tapahtuu ja mitä y-akselilla tapahtuu.

Suunta ja suuruus (pituus)

Kahden pisteen välinen vektori (GG)

Vektorien summa (GG)

Poikkeuksena nollavektori on vektori, jonka pituus on 0 ja jolla ei ole suuntaa

Koordinaatisto

Paikkavektori

Yleisesti vektorilla EI OLE sellaista ominaisuutta kuin sijainti eli vektoria saa vapaasti siirrellä paikasta toiseen. Poikkeuksena termi paikkavektori tarkoittaa origosta (0, 0) lähtevää vektoria.

Suunta 3:lla eri tavalla

Esimerkki

Ratkaisu

6. Tehtävät

Vastaukset

Vektorien perusominaisuudet

7. Vektorin pituus

Vaikka kyse on Pythagoraan lauseesta, neliöjuuri otetaan yleensä heti.
Pituutta merkitään itseisarvomerkeillä.
Pituutta laskiessa miinusmerkit katoavat aina.
Yksikkövektori on vektori, jonka pituus on 1.
Kolmiulotteisen vektorin pituus lasketaan samalla tavalla:

Esimerkkejä

7. Tehtävät

Vastaukset

Vektorin pituus

8. Komponentteihin jako

Yhtälöpari

Kuinka monta punaista vektoria ja kuinka monta vihreää vektoria tarvitaan, että niistä saadaan yhteensä keltainen vektori?

Nspire

8. Tehtävät

Vastaukset

Komponentteihin jako

9. Yhdensuuntaisuus

Pro Tip - Älä pelkää kirjaimia

Myös vektoreilla laskiessa vastaan tulee usein yhtälöitä tai yhtälöpareja. Yhtälöissä voi olla x:n ja y:n lisäksi muitakin kirjaimia, kuten a, b ja c tai p ja t. Älä pelkää kirjaimia ja yhtälöitä, vaan käytä niitä avuksi ongelman ratkaisemiseen!

Vektorien omia kirjaimia i, j ja k sen sijaan EI kannata laittaa yhtälöihin mukaan, koska Nspire ei ymmärrä mitä ne tarkoittavat.

Sama vai vastakkainen suunta

Vektorit v, u ja w ovat kaikki yhdensuuntaisia. Lisäksi v ja u ovat samansuuntaisia ja vektori w on niiden kanssa vastakkaissuuntainen.

Yhtälön avulla

Koska yhdensuuntaiset vektorit ovat toistensa monikertoja, yhdensuuntaisuutta voi tutkia yhtälön avulla. Jos kerroin x on olemassa, vektorit ovat yhdensuuntaisia.