В первом семестре будут проведены несколько контрольных и коллоквиум (в сессию второго модуля).
Формула оценки за семестр = min(30,S+L+K+E)/3 , где
К - средняя оценка за контрольные второго семестра от 0 до 10
Е - оценка за коллоквиум четвертого модуля от 0 до 10
S - оценка за активное участие на семинарах от 0 до 10. Выставляется преподавателем лично
L - оценка за сданные листки
Кондуит
Как и ранее, ЗДЕСЬ.
Основная литература:
Новиков, Тайманов "Современные геометрические структуры и поля",
Зорич "Математический анализ",
Robbin, Salamon - Introduction to Differential geometry.
Lee - Manifolds and differential geometry
Тема 1: Кривые .
Тема 2: Гладкие подмногообразия в R^N .
Тема 3: Многообразия: карты и атласы .
Тема 4: Касательные вектора .
Тема 5: Векторные поля
Тема 6: Расслоения
Тема 7: Тензоры
Тема 8: Дифференциальные формы
Тема 9: Ориентация
Тема 10: Разбиение единицы
Тема 11: Интегрирование
Тема 12: Риманова геометрия
Тема 13: Риманова геометрия-2
Тема 14: Параллельный перенос
Тема 15: Геометрия Лобачевского
Тема 16: Геодезические
Тема 17: Матричные группы Ли
Тема 18: Гауссова кривизна
Тема 1: Кривые
Тема 2: Кривизна поверхностей
Тема 3: Группы Ли
Тема 4: Разбиение единицы (до 31.03)
Тема 5: Симплектическая геометрия (до 30.04) продлен по 08.06
Тема 6: Степень отображения (до 20.06) --- будет опубликован до 19.05
03.09.24 - Кривые. Длина отрезка кривой не зависит от параметризации. Натуральный параметр. Кривизна. Репер Френэ в плоскости. Кривые с равными кривизнами. Личные черновики
12.09.24 - Гладкое подмногообразие в R^n. Прообраз регулярного значения - гладкое подмногообразие. Касательное пространство как образ и ядро дифференциала. Личные черновики
19.09.24 - Гладкое и топологическое многообразие. Гладкая структура. Существование и единственность максимального атласа. Совпадение гладких структур эквивалентна совместности атласов.
26.09.24 - Касательное пространство. Компоненты касательного вектора в карте, их преобразование из карты в карту. Производная по направлению касательного вектора. Дифференциал отображения. Дифференциал композиции. Личные черновики
04.10.24 - Вложение и погружение, теорема о ранге. Гладкое подмногообразие. Подмногообразие подмногообразия - подмногообразие. Теорема о вложении. Теорема о локальном представлении гладкого подмногообразия = эквивалентное определение. Личные черновики
11.10.24 - Касательное расслоение. Определение, структура гладкого многообразия. Векторное поле. Выражение в координатах. Личные черновики.
18.10.24 - КоКасательное расслоение. Определение, структура гладкого многообразия. Ковекторное поле. Выражение в координатах. Спаривание с векторным полем - гладкая функция. Морфизмы прямого и обратного образа. Личные черновики.
25.10.24 - Векторные расслоения. Касательное расслоение - векторное расслоение. Лемма о функциях перехода . Личные черновики.
08.11.24 - Лемма о склейке. Сумма Уитни расслоений. Сечения: глобальные, локальные, ассоциированные с тривиализацией. Лемма о базисе локальных сечений. Критерий тривиальности расслоения. Личные черновики.
15.11.24 - Тензоры на векторном пр-ве. Тензоры типа (p,q). Симметрические, кососимметрические. Пр-ва этих тензоров и их базисы. Тензорное произведение пр-в и тензоров. Операции симметризации и альтернирования. Симметрическое произведение тензоров. Личные черновики.
22.11.24 - Тензорное расслоение, конструкция и функции перехода. Скалярное произведение на сфере. Операции с тензорными полями: свертка, перенос, тензорное произведение. Личные черновики.
29.11.24 - Внешняя алгебра: определение дифференциальной формы, значение k-формы на k векторных полях, запись в карте, базис пр-ва k--форм, изменение k--формы под действием эндоморфизма касательного пр-ва, внешнее произведение. Определение дифференциала k-формы. Личные черновики (вместе со следующей лекцией)
08.12.24 - Свойства дифференциала k-формы, согласованность с обратным образом. Инвариантное определение дифференциала, доказательство согласованности. Оператор подстановки.
15.12.24 - Свойства оператора подстановки. Дивергенция, ротор и градиент в трехмерном пространстве. Форма объёма - определения и примеры, теорема о форме объема гладкой гиперповерхности. Личные черновики.
24.12: Экзамен.
10.01.25 - Ориентация: векторного пр-ва и многообразия. Точечная и непрерывная. Ориентация с помощью топ-формы. Ориентированные карты и атлас. Ориентированность: многообразия с тривиальным касательным расслоением, гиперповерхности в R^n, гладкого накрытия. Ориентируемость проективных пространств. Личные черновики
17.01.25 - Разбиение единицы. Теорема: "у ориентируемого многообразия есть форма объема". Отсекающая функция и функция-шапка. Существование разбиения единицы. Личные черновики
24.01.25 - Интегрирование по многообразиям. Три определения интеграла от дифференциальной формы с компактным носителем. Независимость интеграла от выбора разбиения единицы и покрытия носителя. Свойства интеграла. Личные черновики
31.01.25 - Вычисление интеграла по многообразию без разбиения единицы. Многообразия с краем - определение, гладкая структура. Корректность определения точек края. Личные черновики
07.02.25 - Внешнее векторное поле многообразия с краем. Стоксовская ориентация края. Интеграл по многообразию с краем. Теорема Стокса. Личные черновики
14.02.25 - Риманова метрика на многообразии. Существование. Вычисление длин и углов. Индуцированная метрика. Риманова форма объема. Существование и единственность, выражение в координатах. Личные черновики
21.02.25 - Интеграл по ориентированному римановому многообразию от неотрицательной функции - неотрицательное число. Ограничение римановой формы объема на гиперповерхность. Звезда Ходжа на 0-формах. Дивергенция, обощенная теорема Гаусса-Остроградского. Изоморфизм касательного и кокасательного пространств. Градиент функции. Ротор векторного поля.
28.02.25 - Ковариантное дифференцирование подмногообразий в R^n. Проектор на касательное пр-во подмногообразия - гладкое отображение из этого подмногообразия в GL. Дифференциал отображения проекции. Ковариантное дифференцирование, его свойства, согласованность с метрикой. Личные черновики
07.03.25 - Существование ковариантно постоянного векторного поля, с одним зафиксированным значением. Оператор параллельного переноса. Его свойства, согласованность с метрикой, ортогональность. Личные черновики
14.03.25 - Символы Кристоффеля для подмногообразия в R^n, их связь с метрикой - две леммы. Личные черновики
21.03.25 - Связность Леви-Чивиты. Теорема о существовании и единственности. Функционалы длины и энергии. Вариация пути
04.04.25 - Геодезические. Три эквивалентные характеристики. Формула первой вариации. Расстояние между точками, минимизирующие геодезические. Личные черновики
11.04.25 - Существование геодезических. Экспоненциальное отображение. Примеры. Локальные свойства. Нормальные координаты. Символы Кристоффеля и производные метрического тензора в нормальных координатах. Личные черновики
18.04.25 - Гауссова кривизна. Оператор Вайнгартена. Тензор кривизны. "замечательная теорема" Гаусса. Личные черновики
25.04.25 - Геодезическая кривизна, Локальная теорема Гаусса-Бонне. Личные черновики
16.05.25 - Теорема Гаусса-Бонне. Когомологии дэ Рама. Определения, поведение под действием отображений гладких многообразий. Нулевые когомологии. Умножение, корректность определения. Кольцо когомологий окружности. Личные черновики
23.05.25 - Лемма Пуанкаре. Гладкая гомотопия. Гомотопическая эквивалентность. Гомотопическая инвариантность когомологий дэ Рама. Стягиваемые пространства, их когомологии. Точные последовательности. Личные черновики Доска
30.05.25 - Последовательность Майера-Вьеториса - формулировка. Отображения включения и разности данной последовательности. Короткая точная последовательность форм степени k на многообразии и открытом покрытии U,V. Когомологии двумерной сферы и двумерного тора (без умножения). Личные черновики Доска
06.06.25 - Связывающий гомоморфизм. Точность последовательности Майера-Виеториса. Когомологии компактной поверхности без точки и сферы с двумя ручками. Когомологии сферы с g ручками БЕЗ доказательства. Кольцо когомологий двумерного тора БЕЗ доказательства. Личные черновики Доска
будет последней!
Пройдет до конца учебного года --- переносится с ранее объявленного "12.05 по 17.05"
по темам: геометрия Лобачевского, расстояния, геодезические, Гауссова кривизна. Все в рамках тематики семинаров 15-18 (с возможным и вероятным включением и ранее успешно усвоенного материала). Абсолютно необходимыми являются умения выписать диф.уравнения на геодезические в произвольной метрике, посчитать любые расстояния на плоскости Лобачевского, работать с матричными группами Ли как с гладкими многообразиями.
пройдет в сессию 31.03. Контрольная будет по темам "риманова геометрия, в том числе с интегрированием" и "ковариантное дифференцирование + параллельный перенос". Задачи для подготовки - в точности семинарские листочки по этим темам.
пройдет на семинарах начиная с 06.02. Контрольная будет по темам "ориентация" и "интеграл". Задачи для подготовки.
пройдет на семинарах начиная с 9.12
Список достаточных НОВЫХ умений для успешного написания контрольной следующий:
вычислять значения k--форм на векторных полях
морфизмы обратного и прямого образа для дифференциальных форм
пользоваться внешним умножением дифференциальных форм
вычислять дифференциал координатно и безкоординатно
пройдет на семинарах начиная с 29.11
Список достаточных НОВЫХ умений для успешного написания контрольной следующий:
считать коммутатор векторных полей
вычислять значение ковекторных полей на векторных полях
морфизмы обратного и прямого образа для полей (векторных, ковекторных, тензорных). в том числе для замены координат
вычислять значения тензорных полей как полилинейных функций - на наборе из скольки-то векторных и скольки-то ковекторных полей
пересчитывать компоненты тензора из одной карты в другую
строить простые расслоения (по определению, с помощью леммы о склейки, с помощью функций перехода \tau)
проверять расслоения на тривиальность, строить базисы глобальных сечений для тривиальных
Контрольная будет по задачам первых 4 тем. Вариант для подготовки.