Thèmes de recherche
Statistique : Estimation paramétrique pour des données gaussiennes
Champs aléatoires gaussiens à entrées fonctionnelles
Estimation des paramètres de covariance
Normalité asymptotique
Consistance faible
Statistique : Estimation non-paramétrique
Estimation de la densité et de la régression
Estimation récursive
Méthode des noyaux
Normalité asymptotique - Méthode de Lindeberg
Probabilités : Théorèmes limites
Théorèmes Centraux Limite (TCL)
Théorèmes Centraux Limite Fonctionnels / Principe d'invariance
Théorèmes Quenched
Approximations par ortho-martingale
Géométrie Stochastique : Ensemble d'excursion
Courbures de Lipschitz-Killing moyennes
Champs aléatoires gaussiens tronqués multivariés
Géométrie différentielle
Publications
On the Quenched Functional Central Limit Theorem for Stationary Random Fields under Projective Criteria
Titre : On the Quenched Functional Central Limit Theorem for Stationary Random Fields under Projective Criteria
Auteurs : Lucas Reding et Na Zhang
Résumé : In this work, we study and establish some quenched functional Central Limit Theorems (CLTs) for stationary random fields under a projective criteria. These results are functional generalizations of the theorems obtained by Zhang et al. (2020) and of the quenched functional CLTs for ortho-martingales established by Peligrad and Volný (2020) to random fields satisfying a Hannan type projective condition. In the work of Zhang et al. (2020), the authors have already proven a quenched functional CLT, however the assumptions were not optimal as they required the existence of a 2 + δ-moment. In this article, we establish the results under weaker assumptions, namely we only require an Orlicz space condition to hold. The methods used to obtain these generalizations are somewhat similar to the ones used by Zhang et al. (2020) but we improve on them in order to obtain results within the functional framework. Moreover, a Rosenthal type inequality for said Orlicz space is also derived and used to obtain a sufficient condition analogous to that of Theorem 4.4 in the work of Zhang et al. (2020). Finally, we apply our new results to derive some quenched functional CLTs under weak assumptions for a variety of stochastic processes.
Mots clés : Random fields, quenched limit theorem, functional central limit theorem, ortho-martingale approximation, projective condition
Classification AMS : 60G60, 60F05, 60F17, 60G42, 60G48, 41A30
Limit Theorems : Some recent results
Auteurs : Colombani L., Durieu O., Giraudo D., Pilipauskaitep V., Reding L.
Résumé : Cet article présente une série de résultats récents sur le thème des théorèmes limites qui permettent d’apprécier la richesse de la thématique. Les résultats présentés regroupent : l'étude du comportement asymptotique des processus cumulatifs avec des applications aux processus de Hawkes; des inégalités maximales et des théorèmes limites centraux fonctionnels pour des U-statistiques; des limites d'échelles pour des modèles de trafic de réseau révélant un phénomène de transition d'échelle; des théorèmes limites centraux pour des champs aléatoires stationnaires faiblement dépendants.
On a class of recursive estimators for spatially dependent observations
Titre : On the quenched CLT for stationary random fields under projective criteria
Auteurs : Mohamed El Machkouri et Lucas Reding
Résumé : Dans cet article nous étudions l’erreur quadratique moyenne ainsi que la normalité asymptotique d’une classe d’estimateurs récursifs à noyau pour des données spatiales dépendantes. Notre résultat principal fourni des conditions suffisantes afin obtenir un théorème central limite pour l’estimateur de Hall-Patil (1994) dans le cadre des données spatiales. Les résultats obtenus traitent des champs fortement mélangeant au sens de Rosenblatt (1956) ainsi que des champs faiblement dépendant au sens de Wu (2005).
Mots clés : Estimateur récursif, estimateur de la régression, champ de variables aléatoires, normalité asymptotique, erreur quadratique moyenne, mélange fort, dépendance faible, mesure de dépendance physique, m-dépendance, méthode de Lindeberg.
Classification AMS : 60G60, 62G20, 60G08, 62G05
On the Nadaraya-Watson kernel regression estimator for irregularly spaced spatial data
Titre : On the Nadaraya–Watson kernel regression estimator for irregularly spaced spatial data
Auteurs : Mohamed El Machkouri, Xiequan Fan et Lucas Reding
Résumé : Nous nous intéressons à la normalité asymptotique de l’estimateur à noyau de la régression de Nadaraya-Watson pour des données spatiales acquises dans une région finie de la grille Z^d avec d un entier strictement positif. Les résultats obtenus traitent des champs fortement mélangeants de variables aléatoires au sens de Rosenblatt (1956) et des champs faiblement dépendants au sens de Wu (2005). Nous ne requérons que des conditions minimales sur le paramètre de fenêtre ainsi que des conditions simples sur les coefficients de dépendance pour obtenir la normalité asymptotique de l’estimateur.
Mots clés : Estimateur de Nadaraya–Watson, mélange fort, champ de variables aléatoires, normalité asymptotique, mesure de dépendance physique
Classification AMS : 62G05, 60J25, 62G07
Fiche résumé Science Direct HAL
On the Quenched Central Limit Theorem for Stationary Random Fields Under Projective Criteria
Titre : On the quenched CLT for stationary random fields under projective criteria
Auteurs : Na Zhang, Magda Peligrad et Lucas Reding
Résumé : Récemment, Magda Peligrad et Dalibor Volný (2019) ont montré que le théorème central limite est satisfait pour des ortho-martingales stationnaires démarrées en un point fixé. Dans cet article, on étudie ce type de résultats, qui sont aussi connus sous le nom de théorèmes centraux limite quenched, pour une classe de processus plus généraux que celle des ortho-martingales. On donne des conditions projectives suffisantes pour obtenir une approximation par ortho-martingale. Plus précisément, les conditions projectives sont du type Hannan. Nous donnerons aussi des résultats concernant les versions fonctionnelles de ces théorèmes quenched. À des fins d’exemples, nous appliquerons ces théorèmes quenched à des champs de variables aléatoires à la fois linéaires et non linéaires.
Mots clés : Champ de variables aléatoires, théorème central limite quenched, approximation par orthomartingale, critère projectif
Classification AMS : 60G60, 60F05, 60G42, 60G48, 41A30
Thèse
Contributions au théorème central limite et à l’estimation non paramétrique pour les champs de variables aléatoires dépendantes.
Direction : Dalibor Volný (lien 2) et Mohamed El Machkouri (lien 2)
Résumé en français : La thèse suivante traite du Théorème Central Limite pour des champs de variables aléatoires dépendantes et de son application à l’estimation non-paramétrique. Dans une première partie, nous établissons des théorèmes centraux limite quenched pour des champs satisfaisant une condition projective à la Hannan (1973). Les versions fonctionnelles de ces théorèmes sont également considérées. Dans une seconde partie, nous établissons la normalité asymptotique d’estimateurs à noyau de la densité et de la régression pour des champs fortement mélangeants au sens de Rosenblatt (1956) ou bien des champs faiblement dépendants au sens de Wu (2005). Dans un premier temps, nous établissons les résultats pour l’estimateur à noyau de la régression introduit par Elizbar Nadaraya (1964) et Geoffrey Watson (1964). Puis, dans un second temps, nous étendons ces résultats à une large classe d’estimateurs récursifs introduite par Peter Hall et Prakash Patil (1994).
Mots clés : champs de variables aléatoires, théorème central limite quenched, théorème central limite fonctionnel quenched, approximation par ortho-martingale, condition projective, estimation non-paramétrique, estimation de la densité, estimation de la régression, estimateur de Nadaraya-Watson, estimateur récursif, normalité asymptotique, données spatiales, mélange fort, m-dépendance, mesure de dépendance physique, dépendance faible, méthode de Lindeberg.
Classification AMS (2020) : 60G60, 60F05, 60F17, 60G42, 60G48, 41A30, 62G05, 62G07, 62G08.
Exposés
Géométrie des phases d’un modèle gaussien multivarié tronqué. Application à la modélisation de matériaux céramiques (21/06/23)
Lieu : Rencontre autour de l’apprentissage statistique et l’intelligence artificielle, LMA, Poitiers
Résumé : Qu'ils soient multivariés ou non, les champs aléatoires gaussiens occupent une place importante dans la modélisation de toutes sortes de phénomènes physiques (e.g. forme des vagues sur la mer, structure du fond diffus cosmologique, rayonnements gamma solaires, génération de textures synthétiques, usure des plaquettes de frein, etc.). Plus particulièrement, les modèles gaussiens tronqués présentent une utilité avérée pour l'étude des matériaux poreux et/ou composites. En ceci, une connaissance approfondie de la géométrie des phases de tels modèles permet une amélioration des performances et des processus de fabrication de ces matériaux.
Dans cet exposé, nous étudierons certains indicateurs géométriques permettant de décrire, en partie du moins, la géométrie des phases du modèle : les courbures de Lipschitz-Killing. Un des résultats les plus remarquables concernant ce domaines est celui d'Adler et Taylor (2007) dans lequel les auteurs donnent une formule explicite pour la valeur moyenne de ces indicateurs. Nous nous intéresserons plus généralement aux mesures de courbure de Lipschitz-Killing des différentes phases les unes par rapport aux autres en obtenant les valeurs moyennes de ces quantités aléatoires. Ces moyennes faisant apparaître des coefficients appelés fonctionnelles de Minkowski généralisées, nous présentons aussi un outil d'estimation de ces dernières en se basant sur des réalisations répétées et indépendantes du modèle gaussien tronqué. Enfin, nous présenterons une application numérique des résultats obtenus au travers d'un module Python de calcul numérique sur les espaces stratifiés ainsi que des perspectives en terme d'apprentissage statistique qu'offre ce sujet.
Géométrie des phases d’un modèle gaussien multivarié tronqué sur des espaces stratifiés. Application aux piles à combustible à oxyde solide (08/06/23)
Lieu : Séminaire Equations aux dérivées partielles, Modèles aléatoires et Approximation, ULCO
Résumé : Qu'ils soient multivariés ou non, les champs aléatoires gaussiens occupent une place importante dans la modélisation de toutes sortes de phénomènes physiques (e.g. forme des vagues sur la mer, structure du fond diffus cosmologique, rayonnements gamma solaires, génération de textures synthétiques, usure des plaquettes de frein, etc.). Plus particulièrement, les modèles gaussiens tronqués présentent une utilité avérée pour l'étude des matériaux poreux et/ou composites. En ceci, une connaissance approfondie de la géométrie des phases de tels modèles permet une amélioration des performances et des processus de fabrication de ces matériaux.
Sous des hypothèses de régularité du champ gaussien étudié ainsi que de l'espace ambiant, les phases du modèle gaussien tronqué possèdent une bonne régularité et permettent d’entreprendre des calculs de géométrie stochastique. S’intéressant plus particulièrement aux courbures moyennes des phases, on peut mentionner le résultat d’Adler et Taylor (2007) donnant les courbures de Lipschitz-Killing moyennes d’un ensemble d’excursion d’un champ gaussien. Dans cet exposé, nous nous intéresserons plus spécifiquement aux mesures de courbure de Lipschitz-Killing des différentes phases les unes par rapport aux autres en obtenant les valeurs moyennes de ces quantités aléatoires. Ces moyennes faisant apparaître des coefficients appelés fonctionnelles de Minkowski généralisées, nous présentons aussi un outil d'estimation de ces dernières en se basant sur des réalisations répétées et indépendantes du modèle gaussien tronqué. Enfin, afin de faciliter la manipulation de ces outils par les spécialistes issus de différents domaines de recherche, nous avons développé un module Python de calcul numérique sur les espaces stratifiés que nous présenterons.
L’algorithme ”Fast InvSqrt()” et sa constante magique (04/05/23)
Lieu : Café Mathématique, Laboratoire CERAMATHS
Résumé : L'histoire de l'algorithme Fast InvSqrt() débute en mai 1986 à Berkeley lorsque les chercheurs William Kahan et K.C. Ng ont développé deux algorithmes permettant d'une part le calcul de la racine carrée d'un nombre positif et d'autre part celui de son inverse. Ces algorithmes précurseurs utilisaient déjà des méthodes de manipulation de bits mais reposaient toutefois sur la mise en place d'une table de valeurs particulières nécessaires à leur bon fonctionnement. Quelques années plus tard, Cleve Moler (le créateur de MATLAB) et surtout Greg Walsh, tous deux travaillant à Ardent Computer, conçurent l'algorithme Fast InvSqrt() en se basant sur les idées de Kahan et Ng. Ce petit bout de code fut transmis de développeur en développeur durant les années 90 avant d'être incorporé par John Carmack au jeu-vidéo "Quake III Arena" en 1999. Lorsqu'en août 2005, le code source de ce jeu fut publié, l'attention se porta très vite sur ce petit morceau de code tout aussi intriguant qu'obscure et que nous allons étudier durant ce café mathématique.
Géométrie des phases d’un modèle gaussien multivarié tronqué. Application aux piles à combustible à oxyde solide (24/01/23)
Lieu : Séminaire de Probabilité et Statistique, Laboratoire Painlevé
Résumé : On s'intéresse à la géométrie des phases apparaissant dans un modèle de champ gaussien multivarié tronqué sur des espaces stratifiés. En supposant que le champ gaussien et l'espace stratifié sous-jacent soient tous deux suffisamment réguliers, les phases du modèle possèdent une bonne régularité et permettent d'entreprendre des calculs de géométrie stochastique. S'intéressant plus particulièrement aux courbures moyennes des phases, on peut mentionner le résultat d'Adler et Taylor (2007) donnant les courbures de Lipschitz-Killing moyennes d'un ensemble d'excursion d'un champ gaussien. Dans cet exposé, nous nous intéresserons plus particulièrement aux mesures de courbure de Lipschitz-Killing moyennes des différentes phases les unes par rapport aux autres. L'obtention de valeurs moyennes pour ces quantités nous permettrait une meilleure compréhension de la géométrie de la micro-structure des matériaux obtenus par frittage tels que les céramiques utilisées dans les piles à combustible à oxyde solide. Afin de faciliter l'étude de ces dernières, nous présenterons aussi un module Python de manipulation et de calcul des courbures de Lipschitz-Killing sur des espaces stratifiés.
Modélisation mathématique de microstructures obtenues par frittage. Application aux piles à combustible à oxyde solide (29/09/22)
Lieux : Séminaire du CERAMATHS, Valenciennes
Résumé : Le frittage à phase solide est une méthode de fabrication de matériaux céramiques consistant à chauffer une poudre à une température inférieure à celle de fusion afin d'accélérer le phénomène de diffusion des espèces chimiques présentes. Ainsi deux grains contigus vont, sous l'effet de chaleur, coalescer grâce à la migration d'atomes vers l'interface entre les deux grains aussi appelée le "joint de grains". De ce phénomène physico-chimique résulte une microstructure complexe dont la modélisation adéquate se révèle être une question importante pour la compréhension des propriétés chimiques du matériau céramique tant d'un point de vue microscopique que macroscopique. L’intérêt principal des modèles stochastiques repose sur leur relative simplicité aussi bien du point de vue théorique que computationnel en comparaison avec des modèles qui cherchent à simuler les interactions microscopiques de la poudre lors du processus de frittage. La validité du modèle stochastique a été vérifiée par Lanzini et ses co-auteurs (2009) pour le cas des matériaux homogènes et par Moussaoui et ses co-auteurs (2019) pour le cas des matériaux composites. Dans leur article, Moussaoui et ses co-auteurs se concentrent sur une application particulière : les piles à combustible à oxyde solide (ou SOFC pour Solid Oxide Fuel Cell). Contrairement à leurs pendants classiques, les piles à combustible à oxyde solide possèdent un électrolyte qui n'est pas un liquide mais un solide chauffé à haute température afin de permettre le transit des ions oxygènes. Ce solide est le plus souvent une céramique réalisée en zircone stabilisée à l'yttrium ou bien en gadolinium dopé au cérium obtenue par frittage. De l'hydrogène gazeux est injecté au travers de l'anode poreuse ce qui permet une réaction d'oxydation entre l'hydrogène et les ions oxygènes présents dans l'électrolyte ce qui produit de la chaleur, de l'électricité ainsi que de l'eau. Du côté de la cathode, les molécules d'oxygène pénétrant la cathode, elle aussi poreuse, interagissent avec l'oxyde solide provoquant une réaction de réduction et produisant des ions oxygènes. Ces piles à combustible à oxyde solide présentent de nombreux avantages parmi lesquels on pourra mentionner leurs rendements allant jusqu'à 70%, leur faible coût, leur fiabilité ainsi que leur faible impact écologique. Cependant, ces piles souffrent d'un inconvénient majeur : leur température de fonctionnement. En effet la technologie actuelle ne permet pas de les faire fonctionner en dessous de 450°C ce qui rend leur utilisation dans des systèmes embarqués impossible. Un des aspects de la recherche actuelle consiste à essayer de réduire cette température de fonctionnement. Afin d'atteindre cet objectif, une des méthodes mises en place consiste à faire usage d'un matériau composite pour l'anode. Dans cette présentation, nous allons étudier en détail le modèle stochastique multi-phasé proposé par Moussaoui et ses co-auteurs tant au niveau théorique que pratique en obtenant des espérances pour les volumes intrinsèques des ensembles d'excursion multi-phasés ainsi que pour les mesures de courbure de Lipschitz-Killing de ces derniers. Les résultats théoriques obtenus dépendent de quantités appelées les fonctionnelles de Minkowski généralisées dont la détermination explicite peut s'avérer compliquée. Afin de pallier ce problème, nous proposons plusieurs algorithmes afin de déterminer automatiquement la structure différentielle d'un ensemble "lisse" ainsi que les fonctionnelles de Minkowski généralisées. Enfin, nous nous intéressons aussi à l'étude de l'estimation des fonctionnelles de Minkowski à partir de données réelles en obtenant des résultats de consistance forte ainsi que de normalité asymptotique pour ces estimateurs avec pour objectif d'améliorer le modèle stochastique sous-jacent.
Théorèmes centraux limite quenched pour des champs de variables aléatoires (31/08/22)
Lieu : Journées MAS 2022, Rouen
Résumé : Dans cet exposé nous présentons des théorèmes centraux limite quenched pour des champs stationnaires de variables aléatoires satisfaisant à une condition projective. Afin d’obtenir de tels résultats, les méthodes d’approximations fonctionnelles proposées par Gordin (1969) et Rosenblatt (1972) s’avèrent être un outil puissant. Depuis la publication de ces articles fondateurs, de nombreux résultats concernant à la fois les séries temporelles ou bien les champs de variables aléatoires ont été obtenus au travers de cette méthode. Cependant, le cadre quenched a été très peu étudié et c’est seulement récemment que Peligrad et Volný (2020) ont démontré la validité de théorèmes limite quenched pour les ortho-martingales. En faisant usage de ces résultats ainsi que de la méthode d’approximation par ortho-martingales, nous obtenons des théorèmes limite quenched pour des champs de variables aléatoires satisfaisant à différents critères projectifs similaires à la condition de Hannan.
On the Geometry of Multiphase Excursion Sets and their Applications to Solid Oxide Fuel Cells Modeling (3/02/22, 21/02/22 et 31/03/22)
Lieux : Journée ISS 2022, Paris - Groupe de travail du LMRS, Rouen - Mines ParisTech, Fontainebleau
Résumé : Contrairement à leurs pendants classiques, les piles à combustibles à oxyde solide (ou SOFC pour Solid Oxide Fuel Cell) possèdent un électrolyte qui n'est pas un liquide mais un solide chauffé à haute température afin de permettre le transit des ions oxygènes. Ce solide est le plus souvent une céramique réalisée en zircone stabilisée à l'yttrium ou bien en gadolinium dopé au cérium. De l'hydrogène gazeux est injecté au travers de l'anode poreuse ce qui permet une réaction d'oxydation entre l'hydrogène et les ions oxygènes présents dans l'électrolyte ce qui produit de la chaleur, de l'électricité ainsi que de l'eau. Du côté de la cathode, les molécules d'oxygène pénétrant la cathode, elle aussi poreuse, interagissent avec l'oxyde solide provoquant une réaction de réduction et produisant des ions oxygènes. Ces piles à combustibles à oxyde solide présentent de nombreux avantages parmi lesquels on pourra mentionner leurs rendements allant jusqu'à 70%, leur faible coût, leur fiabilité ainsi que leur faible impact écologique. Cependant, ces piles souffrent d'un inconvénient majeur : leur température de fonctionnement. En effet la technologie actuelle ne permet pas de les faire fonctionner en dessous de 450°C ce qui rend leur utilisation dans des systèmes embarqués impossible. Un des aspects de la recherche actuelle consiste à essayer de réduire cette température de fonctionnement. Afin d'atteindre cet objectif, une des méthodes mises en place consiste à faire usage d'un matériau composite pour l'anode. Dans un article récent, Moussaoui et ses co-auteurs (2019) ont établi la validité du modèle stochastique pour la modélisation de la microstructure de l'anode. Dans cette présentation, nous allons étudier en détail le modèle proposé tant au niveau théorique que pratique en obtenant des espérances pour les volumes intrinsèques des ensembles d'excursion multi-phasés ainsi que pour les mesures de courbure de Killing-Lipschitz de ces derniers. Pour cela, nous nous intéresserons à différentes notions de géométrie différentielle et plus particulièrement de géométrie riemannienne. Les résultats théoriques obtenus dépendent de quantités appelées les fonctionnelles de Minkowski généralisées dont la détermination explicite peut s'avérer compliquée. Afin de pallier ce problème, nous proposons deux algorithmes : un qui servira à déterminer automatiquement la structure différentielle d'un ensemble "lisse" muni d'une certaine métrique riemannienne et l'autre servant à déterminer ces fonctionnelles de Minkowski généralisées.
Présentation ISS Présentation Rouen Présentation Mines ParisTech
Normalité asymptotique d'une classe d'estimateurs récursifs pour des données spatiales dépendantes (24/06/2021)
Lieu : Journée de la fédération, Rouen
Résumé : En 1994, Peter Hall et Prakash Patil ont défini une large classe d'estimateurs récursifs à noyau de la densité contenant, notamment, l'estimateur de Wolverton-Wagner (1969), l'estimateur de Deheuvels (1973) ou encore l'estimateur d'Amiri (2010). Dans cet exposé, on se propose d'étudier une classe d'estimateurs récursifs à noyau de la régression construite à partir de l'estimateur de Hall-Patil. Notre résultat principal fournit des conditions suffisantes pour obtenir la normalité asymptotique de cet estimateur pour des données spatiales dépendantes. En particulier, les résultats sont établis pour des champs fortement mélangeants au sens de Rosenblatt (1956) et pour des champs faiblement dépendants au sens de Wu (2005).
Normalité asymptotique d’une classe d’estimateurs récursifs pour des données spatiales dépendantes (11/01/2021 et 17/06/2021)
Lieu : Séminaire de Statistique de l’I2M, Marseille (virtuel) / Séminaire de Statistique de l’université de Poitiers, Poitiers (virtuel).
Résumé : En 1994, Peter Hall et Prakash Patil ont défini une large classe d'estimateurs récursifs à noyau de la densité contenant, notamment, l'estimateur de Wolverton-Wagner (1969), l'estimateur de Deheuvels (1973) ou encore l'estimateur d'Amiri (2010). Dans cet exposé, on se propose d'étudier une classe d'estimateurs récursifs à noyau de la régression construite à partir de l'estimateur de Hall-Patil. Notre résultat principal fournit des conditions suffisantes pour obtenir la normalité asymptotique de cet estimateur pour des données spatiales dépendantes. En particulier, les résultats sont présentés et démontrés pour des champs fortement mélangeants au sens de Rosenblatt (1956) et pour des champs faiblement dépendants au sens de Wu (2005).
Estimation non paramétrique par la méthode des noyaux (11/01/2021)
Lieu : Séminaire de Statistique de l’I2M, Marseille
Résumé : Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l'étude des estimateurs à noyau dans le cadre de l'estimation non paramétrique. Nous aborderons plus particulièrement l'estimation de la densité au travers de l'estimateur de Parzen-Rosenblatt (1956-1962) et l'estimation de la régression au travers de l'estimateur de Nadaraya-Watson (1964). Avec l’avènement de l'informatique, la quantité de données entrant en jeu dans ces estimations devient telle qu'elle pose des problèmes en terme de temps de traitement et de coût de calcul. Une solution à ce problème se trouve dans les estimateurs récursifs à noyau tels que l'estimateur de Wolverton-Wagner (1969) et l'estimateur de Hall-Patil (1994) pour la densité ou encore les estimateurs récursifs de Ahmad-Lin (1976) et de Devroye-Wagner (1980) pour la régression. Nous présenterons différentes propriétés et indicateurs de performances de tous ces estimateurs dans le cas de données indépendantes et identiquement distribuées.
On the Quenched Functional Central Limit Theorem for Stationary Random Fields Under Projective Criteria (06/11/2020)
Lieu : Journée de la fédération, Rouen
Résumé : In this talk we present some quenched functional Central Limit Theorems (CLT) for stationary random fields under a projective criteria. These results are a generalization of the work of Peligrad and Volny (2020) on the quenched functional CLT for ortho-martingales to random fields satisfying a Hannan type projective condition adapted to some Orlicz spaces.
On Kernel Estimation for Spatial Data (13/02/2020)
Lieu : Séminaire du LMBA, Brest
Résumé : In this talk, we present a central limit theorem for the well-known Nadaraya-Watson regression estimator in the context of strongly mixing and weakly dependent random fields in the sense of Rosenblatt (1956) and Wu (2005) respectively. Our main motivation is to provide mild conditions on the mixing coefficients and bandwidth parameters for the estimator to be asymptotically normal. We also give some extensions to a large class of recursive estimators.
On Kernel Regression Estimation for Random Fields (09/07/2019)
Lieu : SPA 41st Conference, Chicago, Illinois, États-Unis d'Amérique
Résumé : We investigate the asymptotic normality of the Nadaraya-Watson kernel regression estimator for irregularly spaced data collected on a finite region of the lattice Z^d where d is a positive integer. The results are stated for strongly mixing random fields in the sense of Rosenblatt (1956) and for weakly dependent random fields in the sense of Wu (2005). Only minimal conditions on the bandwidth parameter and simple conditions on the dependence structure of the data are assumed (joint work with Mohamed El Machkouri and Xiequan Fan).
On Kernel Regression Estimation for Irregularly Spaced Spatial Data (24/05/2019)
Lieu : ALEA Young, Caen.
Résumé : In this talk, we present a new central limit theorem for the well-known Nadaraya-Watson regression estimator in the context of strongly mixing and weakly dependent random fields in the sense of Rosenblatt (1956) and Wu (2005) respectively. Our main motivation is to provide mild conditions on the mixing coefficients and bandwidth parameters for the estimator to be asymptotically normal.
Fondements des mathématiques : Logique, théorie des ensembles et leurs conséquences (05/03/2019)
Lieu : Atelier des doctorants, Université de Rouen
Lindeberg’s Method and Jakubowski’s Conditioning Principle (26/02/2018)
Lieu : Séminaire du laboratoire de Mathématiques de l’Université de Cincinnati, Ohio, États-Unis d’Amérique
Résumé : This presentation will deal with Central Limit Theorems (CLT) and in particular with two methods of proof : the Lindeberg’s method, introduced by Jarl Waldemar Lindeberg in 1922 and the principle of conditioning, introduce in 1986 by Adam Jakubowski. We will discuss both the methods and their applications concerning random fields, martingales and the financial mathematics process of ARCH and GARCH introduced respectively by Robert Engel in 1982 and by Bollerslev in 1986.
This presentation will be divided into two parts : the first one dealing with the Lindeberg’s method and the second one dealing with the conditioning principle. Each of these parts will be applied to a few examples.
The first method, the Lindeberg’s method, let us re-demonstrate the classical CLT (i.e. in the i.i.d. framework) without the need of characteristic functions. This allows us to extend the CLT to more general classes of random variables.
The conditioning principle, also called Jakubowski’s method, rely upon a theorem proved by Adam Jakubowski in 1986. This principle is is still used to find extensions of the CLT.
Of course, other methods of proof exist such as Stein’s method (but this method doesn’t work for martingales). On the other hand the martingale approximation method (presented by Na Zhang two weeks ago) has proven useful in order to demonstrate some CLTs. However we will not discuss these methods in great details during the presentation. The research in this field is mainly concentrated on the extensions of the CLT to random fields (e.g. ortho-martingale).
Posters
On the Quenched Functional Central Limit Theorem for Stationary Random Fields under Projective Criteria
Lieu : 43rd Conference on Stochastic Processes and their Applications, Lisbonne, Portugal
Recently Zhang et al. (2020) proved that the quenched central limit theorem holds for a large class of stochastic processes satisfying a generalized Hannan’s projective criterion (1973). In doing so, the authors provided some tractable conditions on random fields which are sufficient for the central limit theorem to be quenched. A noteworthy issue when dealing with these fields lies in the lack of a canonical interpretation of the notion of past and future; one way to compensate for this lack of ordering is to make use of the notion of commuting filtrations. Here, we present the functional versions of the results obtained by Zhang et al. under similar assumptions. These weak invariance principles were proven via martingale approximations techniques and a Rosenthal type inequality derived for a specific Orlicz space. Our results improve on several aspects the theorems found in the literature, and in particular, the ones presented by Zhang et al. (2020) as well as Peligrad and Volný (2020).
GDR Stochastic Geometry Days (15/11/2021 - 19/11/2021)
La pile à combustible à oxyde solide (ou Solid Oxide Fuel Cell (SOFC) en anglais) est une technologie de conversion d'énergie qui consomme un combustible (ici de l’hydrogène) et produit de l'électricité. Tout comme les accumulateurs classiques (piles), les SOFC sont composés d'une anode, d'une cathode ainsi que d'un électrolyte. Ces piles possèdent de très bonnes propriétés physiques (rendement allant jusqu'à 70%), écologiques (se dégradent peu au cours de leur utilisation, produisent peu d'émissions néfastes pour l’environnement) ainsi qu'économiques (peu coûteuses). Cependant, elles souffrent d'un désavantage majeur : leur température de fonctionnement qui est comprise entre 450°C et 1000°C ce qui rend leur utilisation en dehors d'installations fixes difficile voire impossible.
Un des objectifs de la recherche actuelle consiste à abaisser cette température de fonctionnement afin de permettre une utilisation dans des cadres moins restrictifs (e.g. systèmes embarqués). Pour cela, des matériaux composites pour la construction de l'anode ont été envisagés. La figure 2 montre une section de la pile obtenue à l'aide d'un microscope électronique sur laquelle on peut voir la cathode, l'électrolyte ainsi que l'anode en matériaux composites (Nickel et Yttria Stabilized Zirconia (YSZ))
Les travaux récents de Moussaoui et al. (2019), ont démontré l'adéquation entre les modèles de champs aléatoires gaussiens et les données expérimentales. Afin d'obtenir une meilleure compréhension du comportement des SOFC en fonction de la microstructure du matériau composite, nous nous intéressons aux propriétés géométriques des ensembles d'excursion des champs aléatoires gaussiens à plusieurs phases (voir figure 1).
On définit trois ensembles, appelés zones de sélection, formant une partition de R^k et on considère un champ aléatoire gaussien à valeurs dans R^k sur le pavé K que l'on suppose être suffisamment régulier. A chaque point x de K, on regarde dans quel ensemble de la partition de R^k l'image f(x) se situe et on le colorie en conséquence.
En raison de la régularité du champ f les ensembles ainsi formés, appelés phases, possèdent une bonne régularité et permettent d'entreprendre des calculs de géométrie stochastique dès lors que les zones de sélection sont elles-mêmes suffisamment régulières.
Il nous faut alors définir la notion de régularité plus rigoureusement et c'est ici qu'apparaissent les espaces stratifiés. De nombreux travaux en géométrie stochastique traitent des ensembles convexes ou bien des variétés riemanniennes ; cependant, non seulement les phases de f sont presque sûrement non-convexes mais restreindre les zones de sélection à des variétés riemanniennes nous empêcherait de traiter même les cas les plus simples de partitions tels que celui donné par la figure 1. Par exemple, la zone D_1 ou bien l'interface \partial D_1 \cap \partial D_2 ne sont pas des variétés en raison de l'angle situé à l'origine.
Afin de remédier à ce problème d'irrégularité ponctuelle, un outil de géométrie différentielle semble tout indiqué : la variété à bord. L'ensemble \partial D_1 \cap \partial D_2 en est un exemple, puisque son intérieur (au sens des variétés) est bien une variété sans bord et que son bord (qui n'est constitué que de l'origine) est aussi une variété sans bord. Cependant, l'ensemble D_1 lui-même n'en est pas une. En effet le bord de D_1 (c'est à dire \partial D_1) n'est pas lui-même une variété sans bord (problème à l'origine). Afin de pallier ce problème, on peut définir la notion de variété à coins. Les variétés à coins sont aux variétés à bord ce que les variétés à bord sont aux variétés sans bord. Plus précisément les variétés à coins sont des ensembles dont l'intérieur est une variété sans bord et le bord est lui-même une variété à bord. Un polygone est un exemple de variété à coins mais les polyèdres, tel que le cube, n'en sont pas (voir figure 3, le bord du bord de I_3 correspond à l'union des arrêtes fermées qui ne forme pas une variété sans bord). L'espace stratifié vient combler ce manque en généralisant les constructions précédentes (variété à bord et variété à coins) à n'importe quel ensemble dont il existe un n-ième bord qui soit une variété sans bord. Ils constituent donc le cadre approprié pour l'étude qui nous concerne.
Finalement, on définit la notion de mesure de courbure de Lipschitz-Killing ainsi que de courbure de Lipschitz-Killing d'un espace stratifié. Nous rappelons alors le résultat d'Adler et Taylor (2007) donnant les courbures de Lipschitz-Killing moyennes d'un ensemble d'excursion d'un champ gaussien (Theorem 1). Nous sommes cependant intéressés par les mesures de courbure de Lipschitz-Killing moyennes des différentes phases les unes par rapport aux autres et nous énonçons notre conjecture (Conjecture 1). Nous donnons, à titre d'exemples d'applications des différents résultats, les expressions des fonctionnelles de Minkowski de \partial D_1 \cap \partial D_2 apparaissant dans le théorème ainsi que dans la conjecture et ce dans le cas particulier de la figure 1.
Journée du Pôle Stratégique Normand de Formation et de Recherche Sciences du Numérique (19/10/2019)
Central Limit Theorems (CLTs) are at the heart of probability theory. A big part of this field of study consist in studying and trying to show these theorems under different dependence conditions. Recently a new type of CLTs has been extensively studied : the quenched CLTs (also called CLTs started at a point). When studying and proving such theorems, the main problem that arises is that the previously stationary process loose this property when started from a fixed trajectory. It is therefore required to find a method which does not utilize the stationarity of the process. Another subject of interest for CLTs is spatial data (i.e. data indexed by multi-dimensional indexes). As far as we know, quenched CLTs were seldom researched for stationary random fields. In addition to the lack of stationarity, another difficulty arises when analyzing the asymptotic properties of random fields : the future and the past do not have a unique interpretation. To compensate for the lack of ordering of the filtration, mathematicians make use of the notion of commuting filtrations. A fruitful approach to prove the limit theorems for general random fields is via martingale approximations, which were introduced by Rosenblatt (1972). Using this method, in combination with the newly proved results concerning the quenched CLT for orthomartingales by Peligrad and Volný (2018) allows us to state some interesting results concerning more general random fields under a projective condition.
Journée du Pôle Stratégique Normand de Formation et de Recherche Sciences du Numérique (02/10/2018)
Dans beaucoup de domaines scientifiques, les praticiens cherchent à connaître la relation (régression) entre des variables explicatives et une variable à expliquer. En général, une approche non paramétrique de ce problème statistique est souhaitable. L’estimateur de Nadaraya-Watson reste un outil très populaire en régression non paramétrique et l’étude de ses propriétés asymptotiques pour des données spatiales (champs aléatoires indexés par un réseau) dépendantes fait toujours l’objet d’une recherche soutenue de nos jours. Dans ce travail, nous étudions la normalité asymptotique de l’estimateur de Nadaraya-Watson pour des champs de variables aléatoires indexés par Z^d sous des hypothèses de mélange fort au sens de Rosenblatt (1956) ou de dépendance faible au sens de Wu (2005). L’originalité de nos résultats réside dans des hypothèses minimales sur le paramètre de fenêtre de l’estimateur ainsi que sur des conditions très simples sur les coefficients de dépendance utilisés.
Probabilistic Limit Theorems for Dynamical Systems (29/10/2018-02/11/2018)
On the Nadaraya-Watson Estimator for Irregularly Spaced Spatial Data
In many situations, practicians want to know the relationship between some predictors and a response. In general, a nonparametric approach is necessary. The Nadaraya-Watson estimator is a well-know tool in nonparametric estimation and the study of its asymptotic properties for dependent spatial data (random field indexed by a lattice) is still investigated nowadays. In this work, we study the asymptotic normality of the Nadaraya-Watson estimator for strongly mixing random fields in the sense of Rosenblatt (1956) and weakly dependent random fields in the sense of Wu (2005). We lay emphasis on the fact that our results require minimal conditions on the bandwidth parameter.
On the Quenched Central Limit Theorem for Stationary Random Fields
Central Limit Theorems (CLTs) are at the heart of probability theory. A big part of this field of study consist in studying and trying to show these theorems under different dependence conditions. Recently a new type of CLTs has been extensively studied : the quenched CLTs (also called CLTs started at a point). When studying and proving such theorems, the main problem that arises is that the previously stationary process loose this property when started from a fixed trajectory. It is therefore required to find a method which does not utilize the stationarity of the process. Another subject of interest for CLTs is spatial data (i.e. data indexed by multi-dimensional indexes). As far as we know, quenched CLTs were seldom researched for stationary random fields. In addition to the lack of stationarity, another difficulty arises when analyzing the asymptotic properties of random fields : the future and the past do not have a unique interpretation. To compensate for the lack of ordering of the filtration, mathematicians make use of the notion of commuting filtrations. A fruitful approach to prove the limit theorems for general random fields is via martingale approximations, which were introduced by Rosenblatt (1972). Using this method, in combination with the newly proved results concerning the quenched CLT for orthomartingales by Peligrad and Volný (2018) allows us to state some interesting results concerning more general random fields under a projective condition.