LLAL@GSIS (IV)

 Date & Venue

• Date: September 21, 2024.

• Venue: Room 310, Graduate School of Information Sciences, Tohoku University.  

Speakers

• Hajime Ishihara (Toho University)

• Takako Nemoto (Tohoku University)

• Satoru Niki (Ruhr University Bochum)

• Masanobu Toyooka (Hokkaido University)

Program

10:00--11:00 Hajime Ishihara "A constructive theory of uniform spaces and its application to integration theory"

11:10--12:10 Takako Nemoto "Logical consequences from WKL"

12:10--13:20 Lunch

13:20--14:20 Masanobu Toyooka "Routley Star for Empirical Negation"

14:30--15:30 Satoru Niki "Connexive logic, splitted" (j.w.w. S.A. Drobyshevich and H. Wansing)

Abstracts

Hajime Ishihara: We introduce the constructive notion of a uniform space with the spirit of Sambin's notion of a basic pair, and construct a completion of a uniform space and a product of uniform spaces. We show some natural properties of the completion and the product. Then we define topological linear spaces and topological vector lattices as linear spaces and vector lattices equipped with uniform structures, and show that these algebraic and topological structures are preserved under the completion. We introduce the notion of an abstract integration space consisting of a vector lattice and a positive linear functional. By defining two uniform structures on an abstract integration space, we define corresponding topological vector lattices, and spaces of integration and measurable functions as the completion of these topological vector lattices. Finally, we show some convergence theorems on these spaces such as Lebesgue's monotone and dominated convergence theorems and Fatou's lemma.

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Takako Nemoto: WKL "無限二分木はパスを持つ" は$\Sigma^0_1$論理式に対するド・モルガン則 "￢(A∧B)→￢A∨￢B" を導くことは比較的古い構成的逆数学の結果である。実はWKLからはもう少し一般化されたド・モルガン則 "￢∀i<xA(i)→∃i<x￢A(i)" も導出できる。この一般化を可能にしているのがWKLに含まれる選択公理の断片である（ちなみに選択公理以外に、ある程度強い論理式に対する帰納法でも一般化できる）。

ところで、WKLには「パスが高々1本の無限二分木はパスを持つ」などいくつかのバリエーションがある。これらのバリエーションからはどんな論理原理が導けるだろうか？

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Masanobu Toyooka: 経験的否定は(Dummett 1996), (Dummett 2000) における哲学的議論において考案された否定である。この否定は (De 2013) において、意味論的形式化を与えられ、直観主義命題論理のクリプキ意味論に加えられた。この拡大されたクリプキ意味論において妥当なすべての論理式の集合を論理Empと定義する。一方、スター意味論は、否定を解釈する際にスター関数という関数を用いる意味論のことであり、オーストラリアン・プランによる関連性論理で用いられることで知られる (cf. (Routley & Routley 1972), (Routley & Meyer 1973))。直観主義命題論理にスター関数で解釈される否定を加えた論理として、N*があげられる (cf. Cabalar, Odintsov & Pearce 2006)。本発表では、N*に対するスター意味論に、フレームについての条件を加えることで、Empに対するスター意味論が与えられることを示す。また、当該のフレームについての条件が論理式で定義可能であることを示す。

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Satoru Niki: Logical bilateralism, as championed by S. Ayhan and H. Wansing, employs two derivability relations (sequents) as fundamental constituents. This type of framework accommodates systems adjacent to Nelson's constructive logic particularly well. Such systems contain a negation connective which allows one to toggle between the two relations. There have been criticisms (by Ayhan-Drobyshevich-Omori-Wansing), however, as to the existence of such a toggling connective: it perhaps spoils the separation of the two "sides" too much. In this talk, I will provide some contexts to the criticisms by discussing effects of dropping the negation connective from a bilateral calculus for Wansing's connexive logic and its expansions. (j.w.w. S.A. Drobyshevich and H. Wansing)

Acknowledgment

This workshop is partially supported by Japan Society for the Promotion of Science (JSPS) through grant 24K21344.