Embedded Files
07.06.2022
Докладчик: Дарья Полякова (Университет Южной Дании)
Название: Операдные диагонали и самодвойственные цветные операды по многогранникам
Аннотация: Имеется (решённая) задача построения тензорного произведения А-бесконечность алгебр (или А-бесконечность модулей, или А-бесконечность морфизмов чего-нибудь...). Такие тензорные произведения обычно неассоциативны, и с этим хочется чего-нибудь сделать. Я расскажу, как это связано с довольно неожиданным сюжетом: постоением по многограннику цветной самодвойственной операды, чей ряд Пуанкаре-Гильберта включает в себя и клеточную диагональ, и много старших данных. This is work in progress.
Speaker: Daria Poliakova (University of Southern Denmark)
Title: Operadic diagonals and self-dual coloured operads from polytopes
31.05.2022
Докладчик: Леонид Рыбников (ВШЭ)
Название: Подалгебры Бете в антидоминантно сдвинутых янгианах (совместно с Василием Крыловым)
Аннотация: Подалгебры Бете образуют семейство максимальных коммутативных подалгебр в янгиане Y(g) простой комплексной алгебры Ли g, параметризованное соответствующей присоединенной группой Ли G. Это семейство коммутативных подалгебр можно рассматривать как универсальный источник квантовых интегрируемых магнитных цепочек типа XXX Гейзенберга. Мы распространяем определение подалгебр Бете на сдвинутые янгианы типа A с антидоминантным параметром сдвига и описываем некоторые интересные свойства этих подалгебр. В частности, мы даем независимое от типа описание классического предела этих подалгебр Бете.
Speaker: Leonid Rybnikov (HSE)
Title: Bethe subalgebras in antidominantly shifted Yangians (joint with Vasily Krylov)
Abstract: Bethe subalgebras form a family of maximal commutative subalgebras in the Yangian Y(g) of a complex simple Lie algebra g, parameterized by the corresponding adjoint Lie group G. This family of commutative subalgebras can be regarded as the universal source for the XXX quantum integrable magnet chains. We extend the definition of Bethe subalgebras to the shifted Yangians of type A with the shift parameter being antidominant and describe some nice properties of these subalgebras. In particular, we give a type-independent description of the classical limit of these Bethe subalgebras.
24.05.2022
Speaker: Igor Makhlin (Skoltech)
Title: Semitoric degenerations and relative poset polytopes
Abstract: The two best known toric degenerations of a Grassmannian are those given by the corresponding Gelfand-Tsetlin and FFLV polytopes. It is also well known that each of these can be degenerated further to obtain a monomial degeneration given by the respective standard monomial theory. In this talk I will discuss the problem of describing degenerations intermediate between the toric and the monomial ones. An elegant result of Zhu shows that such degenerations are semitoric with components given by a regular subdivision of the polytope. It turns out that these subdivisions consist of relative poset polytopes: a new family of polytopes interpolating between order and chain polytopes with many nice properties. This is a joint work with Evgeny Feigin (https://arxiv.org/abs/2112.05894) and can be viewed as an updated approach to the to the topics I discussed at our seminar last year.
Докладчик: Игорь Махлин (Сколтех)
Название: Полуторические вырождения и относительные многогранники ЧУМов
Аннотация: Два наиболее известных торических вырождения грассманиана задаются соответствующими многогранниками Гельфанда-Цетлина и ФФЛВ. Также известно, что каждое из этих вырождений может быть дальше вырождено в мономиальное, задающееся соответствующей теорией стандартных мономов. Я рассмотрю задачу описания вырождений промежуточных между торическими и мономиальными. Красивый результат Жу показывает, что каждое такое вырождение -- полуторическое, и его компоненты задаются регулярным разбиением многограника. Оказывается, эти разбиения составлены из относительных многогранников ЧУМов -- это новое семейство многогранников, интерполирующих между порядковыми и цепными и обладающих рядом приятных свойств. Это совместная работа с Евгением Фейгиным (https://arxiv.org/abs/2112.05894), дающая новый взгляд на вопросы, обсуждавшиеся в моем прошлогоднем докладе.
17.05.2022
Speaker: Dmitry Kubrak (MPIM)
Title: Rational cohomology, characteristic classes and p-adic Hodge theory (part 2)
Докладчик: Дмитрий Кубрак (МИМП)
Название: Рациональные когомологии, характеристические классы и p-адическая теория Ходжа (часть 2)
26.04.2022
Докладчик: Дмитрий Кубрак (МИМП)
Название: Рациональные когомологии, характеристические классы и p-адическая теория Ходжа (часть 1)
Аннотация: см. англ.
Speaker: Dmitry Kubrak (MPIM)
Title: Rational cohomology, characteristic classes and p-adic Hodge theory (part 1)
Abstract: Computing the F_p-cohomology ring of BG for a Lie group G is a classical problem in topology. While for groups like GL_n(C) the answer is easy and is given by the polynomial ring in Chern classes, in general the answer is still not known even as an abelian group. Recently, Totaro initiated the study of de Rham and Hodge cohomology of the classifying stacks BG for reductive groups G in characteristic p, and related them to a representation theoretic data for G: namely, to the cohomology of G as an algebraic group (standardly called rational cohomology) in certain explicit modules, like Sym^i g^*. Given a Chevalley model G over Z, he also conjectured an inequality of dimensions between Hodge cohomology of BG_{F_p} and singular F_p-cohomology of BG(C). I will talk about my joint work with Artem Prikhodko where among other things we prove Totaro's conjecture using some recent advances in p-adic Hodge theory. Our result not only establishes the inequality but describes the difference between the two sides in terms of prismatic cohomology of BG. If time permits, I will also talk about new computations of the cohomology that one can make using this (this is a series of works in progress with Federico Scavia and Anlong Chua).
19.04.2022
Докладчик: Тимофей Логвиненко (Кардиффский университет, МИМП)
Название: Скейн-триангулированные представления обобщенных кос (часть 2)
Аннотация: см. англ.
Speaker: Timothy Logvinenko (Cardiff University, MPIM)
Title: Skein-triangulated representations of generalised braids (part 2)
Abstract: The braid group Br_n encodes configurations of n non-touching vertical strands (“braids”) up to continious transformations. There are many examples where Br_n acts on the derived category of an algebraic variety: the minimal resolutions of Kleinian singularities, the cotangent bundles of flag varieties, etc.
In this talk, I introduce a new structure: the category GBr_n of generalised braids. These are the braids whose strands are allowed to touch in a certain way. For triangulated categories, it is natural to impose certain relations which result in the notion of a skein-triangulated representation of GBr_n. These relations generalise the famous skein relation used to define oriented link invariants such as Jones polynomial.
We give two examples of skein-triangulated actions of GBr_n: on the cotangent bundles of varieties of full and partial flags in C^n and on categorical nil-Hecke algebras. The latter example shows that any categorical action of Br_n can be lifted to a skein-triangulated action of GBr_n, generalising a result of Ed Segal for n=2. This is a joint work with Rina Anno.
12.04.2022
Speaker: Timothy Logvinenko (Cardiff University, MPIM)
Title: Skein-triangulated representations of generalised braids (part 1)
Abstract: The braid group Br_n encodes configurations of n non-touching vertical strands (“braids”) up to continious transformations. There are many examples where Br_n acts on the derived category of an algebraic variety: the minimal resolutions of Kleinian singularities, the cotangent bundles of flag varieties, etc.
In this talk, I introduce a new structure: the category GBr_n of generalised braids. These are the braids whose strands are allowed to touch in a certain way. For triangulated categories, it is natural to impose certain relations which result in the notion of a skein-triangulated representation of GBr_n. These relations generalise the famous skein relation used to define oriented link invariants such as Jones polynomial.
We give two examples of skein-triangulated actions of GBr_n: on the cotangent bundles of varieties of full and partial flags in C^n and on categorical nil-Hecke algebras. The latter example shows that any categorical action of Br_n can be lifted to a skein-triangulated action of GBr_n, generalising a result of Ed Segal for n=2. This is a joint work with Rina Anno.
Докладчик: Тимофей Логвиненко (Кардиффский университет, МИМП)
Название: Скейн-триангулированные представления обобщенных кос (часть 1)
Аннотация: см. англ.
05.04.2022
Докладчик: Андрей Ляшик (Математический институт Макса Планка)
Название: Изоморфизм Динга-Френкеля и связь с векторами Бете на примере янгиана Y(gl_n) (часть 1)
Аннотация: На примере янгиана я попробую рассказать о том, как устроено гауссово
разложение матрицы монодромии. Используя токи, я попробую описать конструкцию для векторов Бете и описать
некоторые полезные их свойства.
Speaker: Andrii Liashyk (Max Planck Institute for Mathematics)
Title: The Ding-Frenkel isomorphism and its relation to Bethe vectors: the Y(gl_n) case (part 1)
Abstract: With the Yangian case as an example I will try to explain how the Gaussian decomposition of the monodromy matrix works. Using currents I will present the construction of Bethe vectors and discuss some of their helpful properties.
29.03.2022
Докладчик: Максим Смирнов (Аугсбургский университет, Математический институт Макса Планка)
Название: Квантовые когомологии и вычетные категории грассманианов
Аннотация: Мы начнем с напоминания гипотезы Дубровина и понятий квантовых когомологий и исключительных наборов которые необходимы для их формулировок. Потом мы определим исключительные наборы Лефшеца и их вычетные категории и обсудим некоторые дальнейшие предположительные соотношения между структурой квантовых когомологий и вычетными категориями. Проиллюстрируем эту связь на примере некоторых грассманианов G/P в различных типах. Доклад основан на совместных работах с Александром Кузнецовым и Николя Перреном.
Speaker: Maxim Smirnov (University of Augsburg, Max Planck Institute for Mathematics)
Title: Quantum cohomology and residual categories of Grassmannians
Abstract: We will begin by recalling Dubrovin's conjecture and the notions of quantum cohomology and exceptional collections that are indispensable in its formulation. Then we will define Lefschetz exceptional collections and their residual categories and discuss some further conjectural relations between the structure of quantum cohomology and residual categories. We will illustrate this relationship in the case of some Grassmannians G/P in different Dynkin types. Based on joint works with Alexander Kuznetsov and Nicolas Perrin.
22.03.2022
Докладчик: Александр Иомдин (Еврейский университет в Иерусалиме)
Название: Об умеренных представлениях
Аннотация: см. англ.
Speaker: Alexander Yom Din (Hebrew University of Jerusalem)
Title: On tempered representations
Abstract: Given a locally compact group G, the decomposition of the space of square integrable functions on G into irreducible unitary representations of G (“irreps”) is one of the basic desires in harmonic analysis. Not all irreps appear in such a decomposition; those which do are called tempered. The decomposition has a discrete as well as a continuous parts; the irreps which appear in the discrete part are called square integrable, and are much simpler analytically than general tempered irreps. Loosely speaking, tempered irreps can be thought of as “on the verge” of being square integrable. Although this intuition is rather classical, we discuss a new possible formal interpretation of it. This is joint work with D. Kazhdan.
15.03.2022
Докладчик: Иван Чередник (Университет Северной Каролины в Чапел-Хилле)
Название: DAHA и мотивные подходы к особенностям плоских кривых
Аннотация: см. англ.
15.03.2022
Speaker: Ivan Cherednik (UNC-Chapel Hill)
Title: DAHA and motivic approachеs to plane curve singularities
Abstract: We will briefly describe the DAHA approach to superpolynomials of torus iterated links (presumably coinciding with Khovanov-Rozansly polynomials for uncolored iterated knots). Then the motivic superpolynomials of plane curve singularities will be defined in detail, which conjecturally coincide with Khovanov-Rozansky ones for algebraic knots and with Galkin-Stohr L-functions. The connection with Landau-Ginzburg theory for superpotentials that are equations of plane curve singularities will be outlined. The superpolynomials presumably satisfy the Riemann hypothesis. Hopefully, a counterpart of this theory for surface singularities will lead to the Dirichlet L-functions, but this direction is in the beginning.
01.03.2022
Докладчик: Киумарс Каве (Питтсбургский университет)
Название: Здания и эквивариантные расслоения на торических многообразиях
Аннотация: см. англ.
Speaker: Kiumars Kaveh (University of Pittsburgh)
Title: Buildings and equivariant bundles on toric varieties
Abstract: A building is a certain abstract simplicial complex associated to a (semisimple) linear algebraic group which encodes the relative position of maximal tori and parabolic subgroups in it. After an introduction to buildings and discussing some examples from linear algebra, I will talk about some recent results as well as work in progress on classification of torus equivariant principal G-bundles on toric varieties (over a field) and toric schemes (over a discrete valuation ring). For this we introduce the notions of piecewise linear map to the Tits building and piecewise affine map to the Bruhat-Tits building of a linear algebraic group.
22.02.2022
Докладчик: Николай Богачев (ИППИ, МФТИ)
Название: Геометрия, топология и арифметика дискретных групп в пространствах Лобачевского
Абстракт: Я дам широкий обзорный доклад про взаимосвязи между геометрией, топологией и арифметикой дискретных групп, действующих изометриями в (гиперболическом) пространстве Лобачевского. В частности, мы обсудим ключевые моменты и этапы развития теории Винберга групп отражений, а также недавние результаты, связывающие арифметичность фундаментальных групп гиперболических многообразий с поведением их вполне геодезических подпространств.
Доклад основан на следующей серии недавних работ: https://arxiv.org/abs/2002.11445 (Bogachev and Kolpakov, IMRN 2021), https://arxiv.org/abs/2003.11944 (to appear in Transformation Groups), https://arxiv.org/abs/2105.06897 (Belolipetsky, Bogachev, Kolpakov, and Slavich)
22.02.2022
Speaker: Nikolay Bogachev (IITP, MIPT)
Title: Geometry, topology and arithmetic of discrete groups in hyperbolic spaces
Abstract: I will give a broad survey talk on interactions between geometry, topology and arithmetic of discrete groups acting by isometries in hyperbolic spaces. In particular, we will discuss the highlights of Vinberg’s theory of reflection groups, and recent results connecting arithmeticity of fundamental groups of hyperbolic manifolds with the behavior of their totally geodesic subspaces.
The talk is based on the following recent papers: https://arxiv.org/abs/2002.11445 (Bogachev and Kolpakov, IMRN 2021), https://arxiv.org/abs/2003.11944 (to appear in Transformation Groups), https://arxiv.org/abs/2105.06897 (Belolipetsky, Bogachev, Kolpakov, and Slavich)
15.02.2022
Докладчик: Кристофер Мэнон (Университет Кентукки)
Название: Торические расслоения, пространства мечты Мори и представленческая стабильность
Аннотация: см. англ.
15.02.2022
Speaker: Christopher Manon (University of Kentucky)
Title: Toric Bundles, Mori Dream Spaces, and Representation Stability
Abstract: A Mori dream space is a normal, projective variety whose Cox ring is finitely generated. Many familiar spaces from algebraic geometry (flag varieties, complete symmetric spaces, toric varietes) end up being Mori dream spaces. On the other hand, results of Castravet, Tevelev, Mukai, Karu, Gonzalez, and others show that it's possible to do "nice" things to Mori dream spaces and break this property. Determining just what goes wrong in a given case can be a subtle mixture of commutative algebra, algebraic geometry, and combinatorics.
Along these lines, Hering, Payne, and Mustata asked if the projectivization of a toric vector bundle is always a Mori dream space. Su\ss and Hausen, and Gonzales showed that the answer is "yes" for tangent bundles of smooth, projective toric varieties, and rank 2 vector bundles, respectively. Then Hering, Payne, Gonzales, and Su\ss showed the answer in general must be "no" by constructing an elegant relationship between toric vector bundles and various blow-ups of projective space, in particular the blow-ups of general arrangements of points studied by Castravet, Tevelev, and Mukai. In this talk we'll review some of these results, and then present a new description of toric vector bundles by tropical information. This description allows us to characterize the Mori dream space property in terms of tropical and algebraic data, and find large families of new Mori dream spaces.
Any vector bundle has an associated collection of flag variety bundles. The resulting "relative flag varieties," along with the relative versions of the distinguished subvarieties of flag varieties, have made recent appearances in Brill-Noether theory. We'll describe some preliminary results on the Mori dream space property for toric flag bundles and its relationship to the tropical flag variety. In type A, this story is related to a question about certain objects from representation stability called twisted commutative algebras. We'll also present results concerning bundles of flag varieties for more general connected reductive groups.
This is joint work with Courtney George and Kiumars Kaveh.
08.02.2022
Докладчик: Роман Гонин (Еврейский университет Иерусалима)
Название: Твистованный модуль Фока квантовой тороидальной gl_1
Аннотация: В этом докладе я расскажу о явной конструкции твистованного фоковского представления квантовой тороидальной gl_1 через вертексные операторы квантовой аффинной gl_n. Эта конструкция может быть рассмотрена как твистованная версия (gl_1, gl_n)-дуальности в тороидальном случае. Технически, представление получается пределом представлений алгебры ДАХА для gl_N при N к бесконечности. Также я расскажу, что данная работа связана с гипотезой Горского-Негуца о базисах стабильных оболочек в эквивариантной К-теории схем Гильберта точек на С^2.
Speaker: Roman Gonin (Hebrew University of Jerusalem)
Title: Twisted Fock module of quantum toroidal gl_1
Abstract: In this talk, I will explain an explicit construction of twisted Fock module of quantum toroidal gl_1 via vertex operators of quantum affine gl_n. The construction can be considered as a twisted version of (gl_1, gl_n)-duality in the toroidal case. Technically, the representation is obtained as a limit of representations of DAHA for gl_N as N tends to infinity. Also, I will talk on the connection of the construction with Gorsky-Negut conjecture on stable envelope bases in equivariant K-theory of Hilbert schemes of points in C^2.
01.02.2022
Докладчик: Евгений Македонский (Сколтех)
Название: Приведенные кольца арок над торическими кольцами.
Аннотация: Мы изучаем кольца арок над некоторыми классами квадратичных торических колец. Эти кольца имеют много общих свойств с кольцами модулей Вейля, некоторые из этих свойств мы доказываем. Мы вычисляем характеры этих колец методами близкими к теории базисов Гребнера.
01.02.2022
Speaker: Ievgen Makedonskyi (Skoltech)
Title: Reduced arc rings over toric rings
Abstract: We study arc rings over some classes of quadratic toric varieties. These rings have a lot of similar properties with rings of Weyl modules. We compute the characters of these arc rings by methods similar to Groebner theory.
25.01.2022
Докладчик: Лара Боссингер (Институт математики НАУМ)
Название: Теория Грёбнера для кластерных алгебр грассманианов
Аннотация: см. англ.
Speaker: Lara Bossinger (Institute of Mathematics UNAM)
Title: Gröbner theory of Grassmannian cluster algebras
Abstract: In this talk I will report on joint work with Fatemeh Mohammadi and Alfredo Nájera Chávez. For a (multi-)homogeneous ideal inside a polynomial ring we generalize classical Gröbner degenerations to define a multi-parameter family combining all Gröbner degenerations associated with a maximal cone in the Gröbner fan and all its faces. When this construction is applied to the homogeneous coordinate ring of the Grassmannians Gr(2,n) and Gr(3,6) (presented compatible with their cluster structure) the algebra defining the family for a certain maximal Gröbner cone coincides with the universal coefficient cluster algebra. I will review the basic notions needed from Gröbner theory and cluster algebras, explain our general construction and our (computational) results for the Grassmannians.
21.12.2021
Докладчик: Наоки Генра (Альбертский университет)
Название: Двойственности для W-алгебр и гипотезы Фейгина-Семихатова
Speaker: Naoki Genra (University of Alberta)
Title: Dualities of W-algebras and Feigin-Semikhatov conjectures
Abstract: The Feigin-Semikhatov algebras $W_n^{(2)}$ are a family of vertex algebras defined as the common kernels of screening operators associated to $sl(n|1)$, and also as generalizations of affine vertex algebras of $sl_2$ and Bershadsky-Polyakov algebras. The vertex algebras $W_n^{(2)}$ are isomorphic to the subregular W-algebras of $sl_n$, and Feigin and Semikhatov suggested the conjectural dualities between $W_n^{(2)}$ and W-superalgebras associated to $sl(n|1)$ (e.g. $N=2$ super conformal vertex superalgebras). Their conjectures were checked in some examples by Creutzig and Ridout.
In this talk, we prove their conjectures. More precisely, we show that (1) Heisenberg cosets of the subregular W-algebras are isomorphic to Heisenberg cosets of the principal W-superalgebras of $sl(n|1)$, (2) the subregular W-algebras are related to the principal W-superalgebras along the Kazama-Suzuki type dualities, and (3) there exist blockwise correspondences of the module categories through the relative semi-infinite cohomologies.
These results can be considered as the special cases of Gaiotto-Rapčák conjectures, called trialities of W-algebras. While Creutzig-Linshaw recently proved lots of parts of the conjectures by using $W_{1+\infty}$-algebras, we use screening operators to prove our cases. We will explain the relationship between them if time permits.
This is joint work with Thomas Creutzig, Shigenori Nakatsuka and Ryo Sato.
14.12.2021
Докладчик: Рё Фудзита (Киотский университет)
Название: Деформированные матрицы Картана и обобщенные предпроективные алгебры
Speaker: Ryo Fujita (Kyoto University)
Title: Deformed Cartan matrices and generalized preprojective algebras
Abstract: In their study of deformed W-algebras associated with complex simple Lie algebras, E. Frenkel-Reshetikhin (1998) introduced certain two parameter deformations of the Cartan matrices. They play an important role in the representation theory of quantum affine algebras. In this talk, we explain a representation-theoretic interpretation of these deformed Cartan matrices and their inverses in terms of the generalized preprojective algebras recently introduced by Geiss-Leclerc-Schröer (2017). We also discuss its application to the representation theory of quantum affine algebras in connection with the theory of cluster algebras. This talk is based on a joint work with Kota Murakami (arXiv:2109.07985).
07.12.2021
Докладчик: Григорий Ольшанский (ИППИ РАН, Сколтех и ВШЭ)
Название: Централизаторная конструкция: старое и новое.
Аннотация: Т. н. централизаторная конструкция возникла в 80-е годы. В своей первоначальной версии она связывала янгианы алгебр Ли серии A c универсальными обертывающими алгебрами. Затем конструкция была распространена на классические серии B-C-D, в результате чего появились т. н. скрученные янгианы, не подпадающие под общее определение янгианов в смысле Дринфельда. Я сперва вкратце расскажу об этом (подробное изложение можно найти в книге А. И. Молева "Янгианы и классические алгебры Ли", МЦНМО, 2009: перевод с английского издания, AMS, 2007).
В основной части доклада я расскажу об обобщении централизаторной конструкции, которое приводит к новым алгебрам и ставит ряд открытых вопросов.
Speaker: Grigori Olshanski (IITP RAS, Skoltech and HSE)
Title: The centralizer construction: old and new
Abstract: The so-called centralizer construction arose in the 80s. In its initial version, it linked the Yangians of the Lie algebras of the series A to universal enveloping algebras. Then the construction was extended to the classical B-C-D series. This led to the so-called twisted Yangians, which do not fall under the general definition of Yangians in the sense of Drinfeld. First, I will briefly talk about this (a detailed exposition can be found in A. I. Molev's book "Yangians and classical Lie algebras", AMS, 2007; Russian translation: MCCME, 2009).
In the main part, I will talk about a generalization of the centralizer construction, which leads to some new algebras and raises a number of open questions.
30.11.2021
Докладчик: Дэниел Орр (Политехнический университет Виргинии)
Название: Разностные операторы для веночных полиномов Макдональда
Аннотация: см. англоязычный вариант.
Speaker: Daniel Orr (Virginia Tech)
Title: Difference operators for wreath Macdonald polynomials
Abstract: The subject of Macdonald theory began with the Macdonald polynomials themselves, and with very concrete algebraic structures used to define them. Later, after Haiman’s proof of the Macdonald positivity conjecture, the scope of the subject widened to include the geometry of Hilbert schemes of points on the plane.
Wreath Macdonald polynomials, a cyclic quiver generalization of Macdonald polynomials, were born in reverse, starting from deep results on the geometry of cyclic quiver Nakajima varieties. Only recently has direct understanding of wreath Macdonald polynomials begun to emerge, through methods based on the quantum toroidal algebra. In this talk, I will review the origins of (wreath) Macdonald theory and discuss new explicit results on wreath Macdonald polynomials, and anticipated applications, from joint work in progress with Mark Shimozono and Joshua Wen.
23.11
Докладчик: Антон Назаров (СПбГУ)
Название: Кососимметрическая двойственность Хау и предельная форма диаграмм Юнга классических групп Ли
Аннотация: По совместной работе с Ольгой Постновой и Тревисом Скримшоу. Группа перестановок действует на тензорной степени фундаментального представления SU(N). Если разложить тензорную степень на неприводимые, то можно ввести вероятностную меру на диаграммах Юнга, которые параметризуют неприводимые представления, как отношение произведения размерности неприводимого представления и его кратности к размерности тензорной степени. Благодаря двойственности Шура-Вейля кратность равна размерности представления группы перестановок, задающегося той же диаграммой Юнга. С. Керов рассмотрел эту меру в пределе бесконечной тензорной степени и бесконечного ранга, и показал, что предельная форма совпадает с предельной формой Вершика-Керова. Позднее Ф. Биан уточнил этот результат на случай роста степени, как квадрата ранга и получил предельные формы, зависящие от параметра.
Для обобщения на другие серии групп Ли мы пользуемся кососимметрической двойственностью Хау, связанной с действием пары групп Ли на внешней алгебре $\bigwedge(\mathbb{C}^{n}\otimes\mathbb{C}^{k})$. Тогда внешняя алгебра раскладывается без кратностей в прямую сумму тензорных произведений представлений двойственных групп $(GL_{n},GL_{k})$, $(SO_{n},Pin_{2k})$ и $(Sp_{n},Sp_{2k})$, где представление одной группы параметризуется диаграммой Юнга, а представление второй -- транспонированной дополнительной диаграммой. С точки зрения одной из групп, такое разложение является разложением тензорной степени представления, в котором кратности равны размерностям представлений второй группы. Мы рассматриваем вероятностную меру на диаграммах, заданную этими разложениями. Для этих тензорных степеней были предложены алгоритмы, обобщающие вставку Шенстеда, которые позволяют эффективно порождать случайные диаграммы по нашей мере.
Чтобы найти предельную форму в пределе $n,k\to\infty$, нам надо записать кратность представления через длины строк его диаграммы Юнга. Мы покажем, что эта кратность равна числу путей в замощении трапеции ромбиками, а затем воспользуемся леммой Линдстрема-Гесселя-Вьено и рекурсией детерминантов, чтобы получить формулы для кратностей. В результате вероятностные меры на диаграммах записываются в форме детерминантных точечных ансамблей и предельные формы находятся из решения вариационной задачи. Для серии GL это ансамбль Кравчука, а предельные формы для серий SO и Sp являются "половинками" предельной формы для GL. Предельная форма для GL отличается от предельной формы Вершика-Керова, но совпадает с линией уровня предельной формы таблиц прямоугольных диаграмм Юнга, полученной Б. Питтелем и Д. Ромиком. Это совпадение объясняется работой П. Сняды и Г. Пановой.
Speaker: Anton Nazarov (SPbU)
Title: Skew Howe duality and limit shape of Young diagrams for classical Lie groups
Abstract: Based on joint work with Olga Postnova and Travis Scrimshaw. The permutation group acts on a tensor power of the SU(N) defining representation. If one decomposes this tensor power into irreducibles, he can introduce a probability measure on Young diagrams, that parameterize the irreducible representations, as a ratio of a product of the dimension of an irreducible representation and its multiplicity to the total dimension of the tensor power. Due to Schur-Weyl duality the multiplicity is equal to the dimension of the permutation group representation, that is parameterized by the same Young diagram. S.Kerov considered this measure in the limit of infinite tensor power and infinite rank of the group and demonstrated that limit shape coincides with Vershik-Kerov-Logan-Shepp limit shape. Later, P.Biane refined this result to the case when tensor power grows as a square of the rank and obtained parameter-dependent limit shapes.
We use skew Howe duality, that is connected to the action of a pair of Lie groups on the exterior algebra $\bigwedge(\mathbb{C}^{n}\otimes\mathbb{C}^{k})$, to generalize this problem to other classical series of Lie groups. The exterior algebra is decomposed multiplicity-free into a direct sum of tensor products of representations for dual groups $(GL_{n},GL_{k})$, $(SO_{n},Pin_{2k})$ and $(Sp_{n},Sp_{2k})$, where a representation of the first group is parameterized by Young diagram and of the second one by the conjugate of the complement diagram. From a point of view of one of the groups such a decomposition is a tensor power decomposition, where the multiplicities are equal to the dimensions of the another group representations. We consider the probability measure on diagrams that is defined by this decomposition. The algorithms that generalize Schensted insertion for these tensor powers and can be used to sample the diagrams from our measure efficiently, were previously presented in literature.
To derive the limit shape as $n,k\to\infty$ we need to express the multiplicity of a representation in terms of its diagram row lengths. We demonstrate that this multiplicity is equal to the number of paths in a lozenge tiling of a trapezoid and then use Lindström-Gessel-Viennot lemma and recursion on the determinants to derive the multiplicity formulas. Therefore the probability measures on the diagrams are written as the determinantal point processes and limit shapes are obtained from the variational problems. For the series GL we obtain Krawtchouk ensemble, while the limit shapes for the series SO and Sp are "halves" of the GL limit shape. Limit shape for GL differs from Vershik-Kerov-Logan-Shepp limit shape, but coincides with the level line of limit shape for Young tableaux of the rectangular Young diagrams, that was obtained by B.Pittel and D.Romik. This coincidence is explained using the paper by P.Sniady and G.Panova.
16.11
Докладчик: Джованни Черулли Ирелли (Ла Сапиенца)
Название: О вырождениях и расширениях симплектических и ортогональных представлений колчанов
Speaker: Giovanni Cerulli Irelli (La Sapienza)
Title: On degeneration and extensions of symplectic and orthogonal quiver representations
Abstract: Motivated by linear degenerations of flag varieties, and the study of 2-nilpotent B-orbits for classical groups, I will review the representation theory of symmetric quivers, initiated by Derksen and Weyman in 2002. I will then focus on the problem of describing the orbit closures in this context and how to relate it to the orbit closures for the underlying quivers. In collaboration with M. Boos we have recently given an answer to this problem for symmetric quivers of finite type. I believe that this result is a very special case of a much deeper and general result that I will mention in the form of conjectures and open problems. The talk is based on the preprint version of my paper with Boos available on the arXiv as 2106.08666.
09.11
Докладчик: Антон Айзенберг (ФКН ВШЭ)
Название: Топология многообразий Хессенберга, их двойников, и их обобщений
Аннотация: Многообразие Хессенберга - это некоторое специальное алгебраическое подмногообразие в многообразии полных флагов (рассматривается только классический тип Ли А). Многообразие Хессенберга Hess(A,h) определяется (nxn)-матрицей A и функцией Хессенберга h:[n]-->[n], которая кодирует форму хессенберговой матрицы. Исследование когомологий многообразий Хессенберга связано теорией представлений группы перестановок. Я дам обзор некоторых известных результатов про общие многообразия Хессенберга, но в дальнейшем ограничусь полупростыми регулярными многообразиями Хессенберга - случай, когда матрица A диагонализуема с различными собственными значениями. Эти многообразия - гладкие проективные - оказываются неочевидным образом связанными с многообразиями изоспектральных ступенчатых эрмитовых матриц. Эту связь можно развить, что привело нас к интересному классу (неалгебраических) многообразий с действием компактного тора, обладающих сложной топологией. Я сформулирую несколько результатов из своих недавних работ с В.М.Бухштабером и с М.Масудой и Т.Сато.
Speaker: Anton Ayzenberg (Faculty of Computer Science, HSE)
Title: Topology of Hessenberg varieties, their twins, and generalizations
Abstract: Hessenberg variety is a certain subvariety in a full flag variety (we only consider the classical Lie type A case). Hessenberg variety Hess(A,h) is determined by an (nxn)-matrix A and a Hessenberg function h:[n]-->[n], which encodes the shape of staircase Hessenberg matrices. The study of cohomology of Hessenberg varieties is related to the representation theory of the symmetric group. I will give a short overview of some known results about general Hessenberg varieties, and then switch to the case of regular semisimple Hessenberg varieties, where A is diagonalizable with distinct eigenvalues. These are smooth projective varieties, related in a non-obvious way to the manifolds of isospectral staircase Hermitian matrices. This relation can be extended to produce an interesting class of (nonalgebraic) manifolds with compact torus action, - their topology is the object of our interest. I will formulate several results from my recent joint works with V.M.Buchstaber, and M.Masuda, T.Sato.
02.11.2021
Докладчик: Владимир Доценко (Страсбургский университет)
Название: Бриллиантовая лемма и дифференциальные градуированные алгебры Ли
Аннотация: Я расскажу о недавней работе с Педро Тамаровым, проясняющей связь между "бриллиантовой леммой" Бергмана (описывающей ситуации, когда из представления алгебры образующими и соотношениями легко извлечь базис алгебры как векторного пространства) и уравнением Маурера-Картана в дифференциальных градуированных алгебрах Ли.
Speaker: Vladimir Dotsenko (University of Strasbourg)
Title: Diamond lemma and differential graded Lie algebras
Abstract: I shall explain a recent result from my joint work with Pedro Tamaroff which clarifies the relationship between Bergman's "Diamond lemma" (describing situations where a presentation of an algebra by generators and relations easily leads to a vector space basis for that algebra) and the Maurer-Cartan equation in differential graded Lie algebras.
26.10.2021
Докладчик: Симон Жак (Университет Лотарингии)
Название: Нормальность замыканий Z-орбит в многообразиях флагов в случае двух столбцов и типов A, B, D
Speaker: Simon Jacques (University of Lorraine)
Title: Normality of Z-orbit closures in flag varieties for the two columns case and types A, B, D
Abstract: Let G a classical algebraic group of type A, B or D, and e a nilpotent element of its Lie algebra with centralizer Z:=Z_G(e). We suppose the characteristic zero and that e corresponds to a nilpotent endomorphism of order two. We sketch a proof of the following result: all Z-orbit closures Y in the flag variety X of G are normal. It extends a work of N.Perrin and E.Smirnov which deals with Y an irreducible component of the Springer fiber X(e) in types A, D. We use the same main arguments, namely an induction based on (1): the existence of a suitable birationnal morphism onto Y, and (2): the surjectivity of sections restrictions of an ample line bundle. For us (1) will be obtained thanks to good Weyl group elements and Schubert varieties whereas (2) follows a theorem due to due to X.He and J-F.Thomsen which states Frobenius splittings of Y-like varieties. It thus implies (2) in positive characteristic and we just have to pass it through the zero : we then merely produce an example of the reduction modulo p method.
19.10.2021
Докладчик: Глеб Кошевой (ИППИ)
Название: Полиэдральная параметризация канонических базисов и декорированные графы
Аннотация: Тропикализация потенциала Гросса-Хокинга-Кила-Концевича как и функции декорации геометрических кристаллов Беренштейна-Каждана даёт параметризацию струнного конуса. Я расскажу про алгоритмическую конструкцию декорированных графов, вершины которых индексируются многомам потенциала Беренштейна-Каждана. Для типа А имеется алгоритм Глейзера-Постникова дающий мономы потенциала Беренштейна-Каждана. Наш алгоритм работает в большей общности для типов АВСД, сложность его линейна по сложности записи потенциала, и в типе А он быстрее алгоритма Глейзера-Постникова. Если позволит время я расскажу про применение этого алгоритма к анализу многогранников Ньютона потенциала Гросса-Хокинга-Кила-Концевич. Доклад по совместной работе с Ю.Канакубо и Т.Накашима.
Speaker: Gleb Koshevoy (IITP)
Title: Polyhedral parametrization of canonical bases and decorated graphs
Abstract: Parametrizations of the string basis can be obtained by the tropicalization of the Gross-Hacking-Keel-Kontsevich potential and Berenstein-Kazhdan decoration function.
I will explain an algorithmic construction of decorated graphs, vertices of such graphs are labeled by monomials of the Berenstein-Kazhdan potential. The complexity of our algorithm is linear in time of writing the monomials of the potential. For type A, there is an algorithm to construct monomials of the Berenstein-Kazhdan potential due to Gleizer and Postnikov. Our algorithm works for types ABCD, and conjecturally for E. For type A, our algorithm uses simpler combinatorics and is faster than the Gleizer-Postnikov algorithm. If time permits I will report on applications of decorated graphs to analysis of the Newton polytopes of the Gross-Hacking-Keel-Kontsevich potentials. This is joint work with Yuki Kanakubo and Toshiki Nakashima.
12.10.2021
Докладчик: Сергей Архипов (Орхусский университет)
Название: Логарифмические дифференциальные формы на многообразиях Ботта-Самельсона и соотношения кос
Аннотация: Соотношения между образующими группы кос, реализованными внутри когерентной версии аффинной категории Гекке, получену Безрукавниковым и Ришем, довольно сложным алгебро-геометрическим вычислением. В моем докладе я расскажу про альтернативный подход к доказательству соотношений кос в версии аффинной катеогии Гекке - подход моего аспиранта Себастьяна Орстеда.
Мы определим ``нечетную`` версию аффинной категории Гекке (в смысле линейной Кошулевой двойственности) - некоторую эквивариантную категорию модулей над DG алгеброй дифференциальных форм на редуктивной алгебраической группе G, снабженную операцией конволюции. Мы рассмотрим кандидатов в образующие группы кос - это DG модули логарифмических дифференциальных форм на минимальных параболических подгруппах в G. Проверка соотношений кос основана на изучении логарифмических дифференциальных форм на многообразиях Ботта-Самельсона и вытекает из следующего утверждения.
Пусть Х - разрешение особенностей многообразия Y, такое что прообраз в Х дивизора в Y, содержащего особенности, является дивизором с нормальными пересечениями. Тогда прямой образ на Y логарифмических дифференциальных форм на Х не зависит от выбора разрешения особенностей.
Мы наметим вычисление, доказывающее это утверждение.
Speaker: Sergey Arkhipov (Aarhus University)
Title: Logarithmic differential forms on Bott-Samelson varieties and braid relations.
Abstract: Braid relations in the coherent verision of the affine Hecke category were established via a delicate study of Steinberg variety, by Bezrukavnikov and Riche. The talk is devoted to an alternative approach to establishing braid relations in a version of affine Hecke category developed in the thesis of my student Sebastian Orsted.
We begin with proposing a realization of affine Hecke category Koszul dual to the one of Bezrukavnikov-Riche: we define a category of equivariant modules over the ring of differential forms on a reductive algebraic group G, equipped with convolution monoidal structure. Then we introduce the candidates for the braid group generators given by DG-modules of logarithmic differential forms on the minimal parabolic subgroups. The proof of braid relations goes via the study of logarithmic differential forms on large Bott-Samelson varieties and is based on the following observation.
Let X be a desingularization of the variety Y such that the preimage of a divisor containing singularities of Y in X is a divisor with normal crossings. Then the direct image of the sheaf of logarithmic differential forms on X to Y depends on Y, not on the resolution of singularities X.
We outline the calculation leading to the proof of this statement.
05.10.2021
Докладчик: Александр Перепечко (ИППИ, ВШЭ)
Название: Обобщённая гибкость аффинных конусов над кубическими поверхностями.
Аннотация: Действие группы называется бесконечно транзитивным, если оно транзитивно на m-наборах различных точек для произвольного натурального m.Обобщённо гибкие аффинные алгебраические многообразия характеризуются следующим свойством:подгруппа автоморфизмов, порождённая унипотентными подгруппами, бесконечно транзитивно действует на открытом подмножестве.Для гибких многообразий это подмножество совпадает с множеством гладких точек.
Мы обсудим примеры гибких многообразий, признаки гибкости аффинных конусов и докажем обобщённую гибкость аффинных конусов над кубическими поверхностями относительно произвольной неантиканонической поляризации (по очень обильному дивизору). В частности, мы рассмотрим цилиндрические подмножества кубических поверхностей и подразбиения их конуса эффективных дивизоров.
Speaker: Alexander Perepechko (IITP, HSE)
Title: Generic flexibility of affine cones over cubic surfaces.
Abstract: An action of a group is called infinitely transitive if it is transitive on m-tuples of distinct points for any m. Generically flexible affine algebraic varieties are characterized by the following property: the subgroup of the automorphism group generated by unipotent subgroups acts infinitely transitively on an open subset. For flexible varieties, this subset coincides with the smooth locus.
We will discuss examples of flexible varieties and flexibility criteria of affine cones. We will prove the generic flexibility of affine cones over cubic surfaces with respect to arbitrary non-anticanonical polarization (by a very ample divisor). In particular, we consider cylindrical subsets of cubic surfaces and subdivisions of the nef cone.
Notes: Google Drive
28.09.2021
Докладчик: Евгений Фейгин (ВШЭ, Сколтех)
Название: Вполне положительные грассманианы и колчанные грассманианы (продолжение)
Speaker: Evgeny Feigin (HSE, Skoltech)
Title: Totally positive Grassmannians and quiver Grassmannians (continued)
Notes: Google Drive
21.09.2021
Докладчик: Евгений Фейгин (ВШЭ, Сколтех)
Название: Вполне положительные грассманианы и колчанные грассманианы
Аннотация: Вполне положительные грассманианы были определены и изучены Александром Постниковым. Эти объекты обладают рядом замечательных комбинаторных свойств и согласованы с общей конструкцией Люстига. В частности, клетки в клеточном разбиении вполне положительных грассманианов параметризуются позитроидами или грассмановыми ожерельями. В совместной работе с Мартиной Ланини и Александром Пютцем нами были изучены специальные колчанные грассманианы для циклических колчанов. Они обладают рядом интересных алгебро-геометрических свойств, напоминающих свойства грассманианов Постникова. В частности, у наших колчанных грассманианов есть клеточное разбиение, клетки которого параметризуются грассмановыми ожерельями. Мы начнём с напоминания конструкции Постникова, а затем сформулируем наши результаты из работы https://arxiv.org/abs/2108.10236
Speaker: Evgeny Feigin (HSE, Skoltech)
Title: Totally positive Grassmannians and quiver Grassmannians
Abstract: Totally nonnegative Grassmannians were introduced and studied by Alexander Postnikov. Many nice properties of the tnn Grassmannians were established. In particular, Postnikov's construction agrees with the general approach of Lusztig. Postnikov proved that the tnn Grassmannians admit cellular decomposition and the cells are labeled by positroids or Grassmann necklaces. In a joint paper with Martina Lanini and Alexander Puetz we introduce a family of quiver Grassmannians for cyclic quivers. Our quiver Grassmannians enjoy many interesting algebro-geometric properties, similar to that of the tnn Grassmannians. In particular, they admit cellular decompositions with the cells naturally labeled by Grassmann necklaces. In the talk we will first review the Postnikov construction and then describe our results from the preprint https://arxiv.org/abs/2108.10236
Notes: Google Drive
08.06.2021
Докладчик: Андрей Горницкий (Тель-Авивский Университет)
Название: Когомологии Галуа вещественных квазисвязных редуктивных групп.
Аннотация: Доклад основан на совместной работе с Михаилом Боровым (https://arxiv.org/abs/2103.04654). Мы вводим естественное понятие квазисвязной редуктивной группы и описываем множество первых вещественных когомологий Галуа для таких групп в терминах определенного действия подгруппы группы Вейля на множестве первых когомологий Галуа фундаментального квазитора.
Speaker: Andrei Gornitskii (Tel-Aviv University)
Title: Galois cohomology of real quasi-connected reductive groups.
Abstract: The talk is based on a joint work with Mikhail Borovoi (https://arxiv.org/abs/2103.04654). We introduce the notion of a quasi-connected reductive group and describe the first real Galois cohomology set in terms of a certain action of a subgroup of the Weyl group on the first Galois cohomology set of a fundamental quasi-torus.
25.05.2021
Докладчик: Инна Машанова-Голикова (ВШЭ)
Название: Простота спектра подалгебр Бете в Янгиане Y(\mathfrak{gl}_2)
Аннотация: Я буду рассказывать про действие максимальных коммутативных подалгебр в Янгиане Y(\mathfrak{gl}_2) --- подалгебр Бете --- на конечномерных представлениях. Подалгебры Бете появляются при решении задачи ХХХ цепочки. Семейство подалгебр Бете можно пополнить и показать, что все алгебры этого семейства действуют с циклическим вектором в некоторых конечномерных представлениях Янгиана. Вещественные подалгебры Бете действуют в этих представлениях с простым спектром.
Speaker: Inna Mashanova-Golikova (HSE)
Title: Simplicity of spectra for Bethe subalgebras of Y(\mathfrak{gl}_2)
Abstract: I will talk about the action of Bethe subalgebras, the maximal commutative subalgebras in the Yangian Y(\mathfrak{gl}_2) on finite dimensional representations of the Yangian. Bethe subalgebras come from solving the XXX chain problem. The family of Bethe subalgebras can be completed and one can show that all algebras in the completed family have a cyclic vector in some set of finite dimensional irreducible representations of the Yangian. The real subalgebras of this family act in these representations with simple spectrum.
18.05.2021
Докладчик: Евгений Мухин (Университеты Индианы и Пурдью в Индианаполисе)
Название: Характеры, q-характеры и qq-характеры
Аннотация: q-характеры конечномерных представлений квантовых аффинных алгебр описывают сокращение полюсов трансфер матриц в аналитическом анзатце Бете. qq-характеры это комбинаторные объекты, которые аналогичным образом описывают коммутирование деформированных W-токов с экранирующими операторами. Я попытаюсь рассказать начала теории q-характеров и qq-характеров на элементарном уровне и обсудить основные идеи и задачи в этой области.
Speaker: Evgeny Mukhin (IUPUI)
Title: Characters, q-characters, and qq-characters
Abstract: The q-characters of finite dimensional modules of affine quantum groups describe the cancellation of apparent poles of transfer matrices in analytic Bethe ansatz. The qq-characters are combinatorial objects which describe the commutation of deformed W-currents with screening charges in a similar way.
In this talk I will try to give an elementary introduction to the theory of q- and qq-characters, discuss the related combinatorics and outline the main ideas and challenges in the area.
11.05.2021
Докладчик: Александр Попкович (Матфак ВШЭ)
Название: Сагби вырождения полубесконечного грассманниана
Аннотация: Одним из способов описания базисов в координатных кольцах алгебраических многообразий метод сагби-вырожений. В случае классических многообразий флагов, когда задача в сущности состоит в описании базисов неприводимых представлений sl_n, с его помощью можно получить как базис полустандартных таблиц так и таблиц Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Я кратко напомню эти конструкции и расскажу о том, как продолжить их до сагби-вырождений полубесконечных грассманианов - многообразий, параметризующих некоторые кривые на обычных грассманианах и тесно связанных с теорией представлений алгебр токов sl_n[t].
Speaker: Alexander Popkovich
Title: Sagbi degenerations of semi-infinite grassmannian
Abstract: One of the ways to describe a basis in a coordinate ring of an algebraic variety is the method of sagbi degenerations. In the case of classical flag varieties,when the problem is equivalent to obtaining the bases for the irreducible sl_n representations, this method allows to obtain both the basis of semi-standard tableaux and PBW tableaux. After briefly reviewing these constructions I am going to discuss their generalizations to the case of semi-infinite Grassmannians - varieties which parametrize certain curves in ususal Grassmannians and whichh are closely related to representation theory of the current algbra sl_n[t].
27.04.2021
Докладчик: Мартина Ланини (Римский университет Тор Вергата)
Название: Представления группы перестановок на когомологиях колчанных грассманианов
Аннотация: см. англоязычный вариант.
Speaker: Martina Lanini (Tor Vergata University of Rome)
Title: Permutation representations on cohomology of quiver Grassmannians
Abstract: In this talk, I will recall the classical (left) permutation group action on the (equivariant) cohomology of the flag variety and explain how moment graph techniques can make it very concrete thanks to Tymoczko's work. Afterwards, I will describe how to generalise such a construction to a big class of quiver Grassmannians, which gets equipped in this way also with an action of a nil Hecke ring. This is joint work with Alexander Puetz.
20.04.2021
Докладчик: Раджендран Венкатеш (Индийский научный институт)
Название: Разложение аффинных модулей Демазюра высших уровней во фьюжн-произведение
Аннотация: см. англоязычный вариант.
Speaker: Rajendran Venkatesh (Indian Institute of Science)
Title: The fusion product decomposition of higher-level affine Demazure modules
Abstract: We will discuss some known results on the fusion product decomposition of higher-level affine Demazure modules.
This talk is based on the two papers Chari et al. (J. Algebra, 2016) and Venkatesh et al. (arXiv:2102.01334).
13.04.2021
Докладчик: Дмитрий Артамонов (МГУ)
Название: 3-j символы для алгебры $gl_3$
Аннотация: Задача нахождения коэффициентов Клебша-Гордана для тензорного произведения двух неприводимых представлений алгберы $gl_2$ хорошо изучена и ее решение играет важную роль в квантовой механики. Аналогичная задача для $gl_3$ также важна (в теории кварков), однако она гораздо более сложная. В неявном виде эта задача была решена еще в 60-е годы в работах Биденхарна, Лаука, Бэрда и др. Однако полученное ими решение невероятно сложно, поэтому продолжались поиски по настоящему явного и как можно более простого решения.
В доклаже будет дана явная и простая формула для произвольного коэффициента Клебша-Гордана. Ответ будет дан в терминах значений в единице $A$-гипергеометрической функции.
В качестве промежуточного результата будет получено явное описание всех инвариантов в тройном тензорном произведении и описание проекции на соотвествующее тривиальное представление.
Speaker: Dmitry Artamonov (MSU)
Title: $3j$-symbols for the algebra $gl_3$
Abstract: The problem of caculation of Clebsh-Gordan coefficients for a tensor product of two irreducible representations of the Lie algebra $gl_2 $ is well-investigated. It's solution plays an importan role in quantum mechanics. Analogous problem for the algebra $gl_3$ is also improtant (in the theory of quarks), but it it much l more difficult. In some sence it was solved in the 60-s in a series of papers by Biedenharn, Louck, Baird. But their solution is very cumbersome and not explicit. Thus the problem of findind of an explicit and simple formula for a Clebsh-Gordan coefficient remained unsolved.
In the talk an explicit and simple formula for a Clebsh-Gordan coefficient for the algebra $gl_3$ will be presented. The answer will be given as a value at $1$ of some $A$-hypergeometric function.
As a byproduct I shall give an explicit description of invariants in triple tensor product and a projection on the corresponding trivial representation.
06.04.2021
Докладчик: Михаил Горский (Штутгартский университет)
Название: Точные структуры, алгебры Холла и квантовые группы
Аннотация: Алгебры Холла точных категорий играют важную роль в современной теории
представлений. В нынешнем виде они впервые появились в серии работ
Рингеля по квантовым группам. После того как я дам все необходимые
определения, я объясню связь между различными точными структурами на
аддитивной категории и вырождениями соответствующих алгебр Холла. Для
категорий представлений колчанов Дынкина эта конструкция дает вырождения
нильпотентной части соответствующей квантовой группы.
Чтобы реализовать всю квантовую группу как некоторую версию алгебры
Холла, необходимо рассмотреть более сложную категорию. Я объясню, как
восстановить коумножение на квантовой группе, взяв некоторую
нетривиальную точную структуру на этой категории. Если позволит время,
мы обсудим некоторые связанные с этой конструкцией гипотезы.
Доклад основан на совместном проекте с Шинем Фаном.
Speaker: Mikhail Gorsky (University of Stuttgart)
Title: Exact structures, Hall algebras, and quantum groups
Abstract: Hall algebras of exact categories play a prominent role in the modern
representation theory. In their present form, they first appeared in a
series of papers by Ringel on quantum groups. After giving all the
necessary definitions, I will explain the interplay between different
exact structures on an additive category and degenerations of the
associated Hall algebras. For the categories of representations of
Dynkin quivers, this recovers degenerations of the nilpotent part of the
corresponding quantum group.
To realize an entire quantum group as a version of Hall algebra, one has
to consider a more complicated category. I will explain how to recover
the comultiplication of the quantum group by taking a certain unexpected
exact structure on this category. If time permits, we will discuss
several related conjectures.
Based on joint work and an ongoing project with Xin Fang.
30.03.2021
Докладчик: Джислан Фурье (Университет Ахена)
Название: Насколько сильно нужно/можно ПБВ-вырождать многообразие?
Speaker: Ghislain Fourier (Aachen University)
Title: How far should/could we PBW-degenerate a variety?
Abstract: This is joint work and an ongoing project with Xin Fang and Rocco Chirivi.
The PBW degeneration of flag varieties has been introduced by E.Feigin a decade ago. Induced by the natural PBW filtration of the universal enveloping algebra, the PBW degenerate is a flat degeneration of the flag variety. In the past decade, an ever growing framework of PBW degenerate varieties has been developed. One particular interesting result by G.Cerulli Irelli and M.Lanini recovers the degenerate variety (as well as their symplectic analogue) as a Schubert variety of a partial (symplectic) flag variety. This has been generalized to a class of Schubert varieties in type A.
There are two question arising here: which PBW degenerate (generalized) flag or Schubert varieties are naturally Schubert varieties? And second, in case these are not Schubert varieties, what is the maximal partially PBW degenerate variety, which is still a Schubert variety? In other words, how far should/could we PBW degenerate a flag or Schubert variety?
We provide answers to this in type B and D, using monomial bases provided by I.Makhlin and conjectures even for exceptional types F and G.
23.03.2021
Докладчик: Дмитрий Тимашёв (МГУ)
Название: Вещественные орбиты на сферических однородных пространствах
Аннотация: Доклад посвящён совместному продолжающемуся проекту со Стефани Кюпит-Футу.
Пусть X -- однородное многообразие комплексной алгебраической группы G,
определённое над полем действительных чисел. Как правило, вещественная
группа Ли G(R) уже действует на множестве вещественных точек X(R) не
транзитивно (но с конечным числом орбит). Естественная проблема, к
которой сводятся многие классификационные задачи в алгебре и геометрии,
-- описать орбиты группы G(R) на множестве X(R). Мы исследуем эту
проблему в случае, когда G -- связная редуктивная группа, а X --
сферическое однородное многообразие. Напомним, что G-многообразие X
называется сферическим, если борелевская подгруппа группы G действует на
X с открытой орбитой. Класс сферических многообразий включает в себя
многообразия флагов, симметрические пространства, торические
многообразия и многие другие важные классы многообразий.
В докладе мы сосредоточимся на двух случаях: (1) X -- симметрическое
пространство; (2) группа G расщепима над R. Ответ в обоих случаях
выглядит сходным образом: G(R)-орбиты классифицируются орбитами конечной
группы, совпадающей или близкой к так называемой "малой группе Вейля"
W_X, которая действует своеобразным образом на множестве T(R)-орбит на
Z(R), где T -- максимальный тор в G, а Z -- так называемый "слайс
Бриона-Луны-Вюста" в X. Это последнее множество орбит имеет простое
комбинаторное описание.
Мы используем в двух рассматриваемых случаях разные инструменты:
когомологии Галуа в случае (1) и действия минимальных параболических
подгрупп на борелевских орбитах вместе с теорией Кнопа поляризованных
кокасательных расслоений в случае (2). Мы ожидаем, что второй подход
можно будет обобщить на нерасщепимый случай.
Speaker: Dmitry Timashev (MSU)
Title: Real orbits in spherical homogeneous spaces
Abstract: The talk is based on a joint work in progress with Stéphanie Cupit-Foutou.
Given a homogeneous variety X for a complex algebraic group G defined
over real numbers, the real Lie group G(R) usually acts non-transitively
(but with finitely many orbits) on the real locus X(R). A natural
problem, to which many classification problems in algebra and geometry
reduce, is to describe the orbits of G(R) on X(R). We address this
problem for spherical homogeneous spaces, G being a connected reductive
group. Recall that a G-variety X is called spherical if a Borel subgroup
of G acts on X with an open orbit. The class of spherical varieties
includes flag varieties, symmetric spaces, toric varieties, and many
other important cases.
In this talk I'll concentrate on two cases: (1) X is a symmetric space;
(2) G is split over R. The answer is similar in both cases: the
G(R)-orbits are classified by the orbits of a finite group, which
coincides or is closely related to the so-called "little Weyl group"
W_X, acting in a fancy way on the set of orbits of T(R) in Z(R), where T
is a maximal torus in G and Z is a "Brion-Luna-Vust slice" in X. The
latter orbit set can be described combinatorially.
We use different tools: Galois cohomology in (1) and action of minimal
parabolic subgroups on Borel orbits together with Knop's theory of
polarized cotangent bundle in (2). We expect that the second approach
can be extended to the non-split case.
16.03.2021
Докладчик: Руслан Максимов (Университет Монпелье)
Название: КЛР-алгербы для кривых и полукаспидальные представления
Аннотация: см. англоязычный вариант.
Speaker: Ruslan Maksimau (University of Montpellier)
Title: KLR algebras for curves and semi-cuspidal representations
Abstract: The talk is based on the preprint arXiv:2010.01419. This is a joint work with Alexandre Minets.
The KLR algebras (also called quiver Hecke algebras) are known to have the following geometric construction: they are isomorphic to the (equivariant) Borel-Moore homology of the Steinberg variety. A point of this variety is given by a representation of a quiver and two full flags of subrepresentations.
We define and study analogues of KLR algebras for curves (curve Hecke algebras). We define these algebras geometrically, similarly to usual KLR algebras. But we replace representations of a quiver by torsion sheaves on a smooth curve C. In particular, for C=P1, we get a geometric realization of the affine zigzag algebra of type A1. The case C=P1 is particularly interesting because it allows us to describe the imaginary semi-cuspidal category for the KLR algebra for affine sl2.
09.03.2021
Докладчик: Каринэ Куюмжиян (ВШЭ)
Название: Бесконечная транзитивность группы автоморфизмов многообразия Калоджеро-Мозера
Аннотация: Рассмотрим алгебраическое многообразие X и группу всех его регулярных автоморфизмов. Нас интересует, для каких многообразий X можно перевести любые m точек в любые m других для любого натурального m (т.н. бесконечная транзитивность действия). Такие многообразия достаточно редки.
В работе Береста-Эшматова-Эшматова (Transformation Groups, 2016) было изучено простейшее многообразие Калоджеро-Мозера. На этом многообразии естественно действует группа, изоморфная группе унимодулярных автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры от двух переменных. Берестом-Эшматовым-Эшматовым была доказана 2-транзитивность данного действия и сформулирована гипотеза о том, что данное действие является бесконечно транзитивным. Мы доказываем бесконечную транзитивность этого действия ( Infinite transitivity for Calogero-Moser spaces // Proceedings of the American Mathematical Society. 2020)
Speaker: Karine Kuyumzhiyan (HSE)
Title: Infinite transitivity of the automorphism group of the simplest Calogero-Moser space
Abstract: Consider an algebraic variety X and the group of all its regular automorphisms. We are interested in the following question: for which varieties X can one send any of its m points to any other m points for each integer m (we call this property infinite transitivity)? Such varieties are quite rare.
In the work of Berest-Eshmatov-Eshmatov (Transformation Groups, 2016) the simplest Calogero-Moser space was studied. It carries the natural action of the group isomorphic to the group of unimodular automorphisms of the free associative algebra on two variables. Berest-Eshmatov-Eshmatov prove 2-transitivity of this action and make a conjecture that this action is infinitely transitive. We prove infinite transitivity of this action ( Infinite transitivity for Calogero-Moser spaces // Proceedings of the American Mathematical Society. 2020)
02.03.2021
Докладчик: Никита Сафонкин (Сколтех, ВШЭ)
Название: Алгебра квазисимметрических функций QSym и граф Гнедина—Кингмана
Аннотация: Мономиальному базису m_{\lambda} в алгебре симметрических функций Sym соответсвует некоторый градуированный граф — граф Кингмана. Его вершины — это диаграммы Юнга, а ребра задаются при помощи простейшего правила Пиери. Описание гармонических функций в смысле Вершика—Керова на этом графе было получено Кингманом (Kingman) в работе 1978 года. Его мотивация происходила из задач популяционной генетики.
Можно изменить постановку задачи. А именно, вместо алгебры симметрических функций Sym рассматривать алгебру квазисимметрических функций QSym вместе с базисом из мономиальных квазисимметрических функций M_{\lambda}. Тогда простейшему правилу Пиери будет отвечать некоторый градуированный граф, вершины которого состоят из композиций (упорядоченных разбиений). Этот граф предлагается называть графом Гнедина—Кингмана. Гармонические функции на нем были описаны А.Гнединым в работе 1997 года.
Доклад будет посвящен полуконечным гармоническим функциям на графе Гнедина—Кингмана. Условие полуконечности предполагает, что функция принимает бесконечное значение в некоторых вершинах, но при этом является не слишком «сингулярной». Я также опишу свойство мультипликативности полуконечных неразложимых гармонических функций и, если останется время, расскажу про их связь с полуконечными гармоническими функциями на графе Кингмана. Последние были описаны А.Вершиком и С.Керовым в 1980-ых.
Speaker: Nikita Safonkin (Skoltech, HSE)
Title: The algebra of quasisymmetric functions and the Gnedin-Kingman graph
Abstract: The basis of monomial symmetric functions m_{\lambda} in the algebra of symmetric functions Sym leads to a graded graph (the Kingman graph) whose vertices are labelled by Young diagrams and edges are determined by the simplest Pieri rule for monomial functions. A description of harmonic functions on this graph (in the sense of Vershik and Kerov) was obtained by J.Kingman in 1978. His motivation came from some problems in population genetics.
We may switch to another problem and consider the algebra of quasisymmetric functions QSym instead of Sym. Then the monomial symmetric functions m_{\lambda} are replaced by their quasisymmetric analogs M_{\lambda}. The simplest Pieri rule for this basis allows us to consider another graded graph whose vertices are parametrized by compositions (ordered partitions). Harmonic functions on this graph were described by A.Gnedin in 1997, that's why this graph will be called the Gnedin-Kingman graph.
The talk is devoted to semifinite harmonic functions on the Gnedin-Kingman graph. The semifinitness property means that the values of a function on some vertices equal infinity, but at the same time the function is not too "singular". We will also discuss the multiplicativity property for indecomposable semifinite harmonic functions, and if time permits I will mention how they are linked to semifinite harmonic functions on the Kingman graph. The latter were classified by A.Vershik and S.Kerov in the 1980's.
16.02.2021
Докладчик: Егор Доценко (ВШЭ)
Название: Цепочка Тоды и супералгебры Ли
Аннотация: Я расскажу о цепочке Тоды, ассоциированной с супералгебрами Ли. Наблюдение состоит в том, что гамильтонианы суперцепочки (которые зависят от выбора простых образующих) дают соотношения на волновые функции Тодовской системы, ассоциировнной с четной частью рассматриваемой супералгебры. Основными примерами будут алгебры osp(1|2) и sl(2|1), также я скажу немного о том, что происходит в старшем ранге.
Speaker: Egor Dotsenko (HSE)
Title: Toda chain and Lie superalgebras
Abstract: I will talk about Toda chain associated with Lie superalgebras. The observation is that Hamiltonians of the superchain (which depend on the chosen set of simple generators) produce relations among wave functions of Toda system associated with even part of the Lie algebra under consideration. Main examples are osp(1|2) and sl(2|1) algebras also I will say a little about higher rank.
09.02.2021
Докладчик: Шинь Фан (Кёльнский университет)
Название: Конусы Грёбнера для квантовых групп
Speaker: Xin Fang (University of Cologne)
Title: Gröbner cones from quantum groups
Abstract: For a commutative algebra with a straightening law, one can associate to this structure a polyhedral object — the Gröbner cone. In the first part of this talk I will explain how to associate such cones to quantum groups, describe their facets and the corresponding degenerations. In the second part of the talk we will have a closer look to one special cone in type A which appears in different context in Lie theory and algebraic combinatorics. This talk bases on different joint works with E. Feigin, G. Fourier, M. Gorsky, I. Makhlin and M. Reineke.
19.01.2021
Докладчик: Илана Калашников (ВШЭ, Гарвард)
Название: Конструкции зеркал для многообразий флагов и колчанных многообразий флагов
Speaker: Elana Kalashnikov (HSE, Harvard)
Title: Mirror constructions for flag varieties and quiver flag varieties
Abstract: I'll discuss joint work with Wei Gu on the quantum cohomology ring of Fano quiver flag varieties, and applications to two different mirror constructions. Our work shows that the critical locus of the Gu--Sharpe mirror computes the quantum cohomology of a quiver flag variety. Via rim-hook removals, it also provides the key insight in generalizing the Pl\"ucker coordinate mirror of Marsh--Rietsch from Grassmannians to type A flag varieties. I'll explain how these two proposals can be seen to originate from different perspectives on the quantum cohomology ring of the flag variety: either via the Abelian/non-Abelian correspondence or via quantum Schubert calculus.
22.12.2020
Докладчик: Валентина Кириченко (ВШЭ, ИППИ)
Название: Операторы Гизина и многогранники Ньютона-Окунькова
Аннотация: Классический результат исчисления Шуберта - это индуктивное описание циклов Шуберта с помощью операторов разделённых разностей (или операторов Гизина) в кольцах Чжоу проективных расслоений. Мы определим выпукло-геометрические аналоги операторов разделённых разностей, заменив кольца Чжоу на кольца многогранников (кольца Пухликова-Хованского). В качестве приложения мы опишем многогранники Ньютона-Окунькова многообразий Шуберта и многообразий Ботта-Самельсона. В частности, кубы Гроссберга-Каршон и суммы по Минковскому многогранников Винберга-Литтельманна-Фейгина-Фурье можно построить индуктивно с помощью выпукло-геометрических операторов разделённых разностей. Все определения будут даны в докладе.
Speaker: Valentina Kiritchenko (HSE, IITP)
Title: Push-pull operators and Newton-Okounkov polytopes
Abstract: A classical result of Schubert calculus is an inductive description of Schubert cycles using divided difference (or push-pull) operators in Chow rings of projective bundles. We define convex geometric analogs of push-pull operators by replacing Chow rings with polytope rings (Khovanskii-Pukhlikov rings). We apply push-pull operators to describe Newton-Okounkov polytopes of Schubert varieties and of Bott-Samelson varieties. In particular, Grossberg-Karshon cubes and Minkowski sums of Fegin-Fourier-Littelmann-Vinberg polytopes can be constructed inductively using convex grometric push-pull operators. All definitions will be given in the talk.
15.12.2020
Докладчик: Михаил Игнатьев (Самарский университет)
Название: Автоморфизмы бесконечномерных инд-грассманианов
Аннотация: Описание группы автоморфизмов грассманиана в конечномерном случае хорошо известно. Мы описываем группу автоморфизмов бесконечномерного грассманиана в счётномерном комплексном пространстве. Оказывается, что это нулевая компонента (относительно некоторой градуировки) в группе Макки пары пространств специального вида, зависящих от грассманиана.
Speaker: Mikhail Ignatyev (Samara University)
Title: Automorphisms of infinite-dimensional ind-Grassmannians
Abstract: The automorphism group of a Grassmannian in the finite-dimensional setting is well known. We describe the automorphism group of an infinite-dimensional Grassmannian in a countable-dimensional complex space. It turns out that this group coincides with the zero component (with respect to a certain grading) in the Mackey group of a pair of spaces of special type depending on the Grassmannian.
08.12.2020
Докладчик: Маркус Райнеке (Рурский университет)
Название: Когомологическая алгебра Холла колчана Кронекера
Speaker: Markus Reineke (Ruhr-University Bochum)
Title: The Cohomological Hall algebra of the Kronecker quiver
Abstract: We review the definition of Cohomological Hall algebras of quivers and their main structural properties. We then derive the structure of the Cohomological Hall algebra of the Kronecker quiver in relation to a Yangian-type algebra.
24.11.2020
Докладчик: Александр Сергеев (СГУ)
Название: Супергруппа OSP(2,2n) и супермногочлены Якоби
Speaker: Alexander Sergeev (SSU)
Title: Supergroup OSP(2,2n) and super Jacobi polynomials
Abstract: The coefficients of the super Jacobi polynomials of BC1,n- type are rational functions in three parameters k, p, q. At the point (−1,0,0) these coefficients may have poles. Let us set q = 0 and consider a pair (k,p) as the point of A2. If we apply blow up procedure at the point (−1,0) then we get a new family of polynomials. This family depends on one parameter t ∈ P. If t = ∞ then we get Euler supercharacters for Lie supergroup OSP (2, 2n). The supercharacters of finite dimensional irreducible modules can be also obtained by a specialization of the parameter t. But in such a case the specialization depends on the highest weight of the corresponding irreducible module.
17.11.2020
Докладчики: Илья Думанский (ВШЭ, НМУ) и Евгений Фейгин (ВШЭ, Сколтех)
Название: Глобальные модули Демазюра и многообразия Шуберта в грассманианах Бейлинсона-Дринфельда
Аннотация: Глобальные модули Демазюра являются обобщениями на старшие уровни глобальных модулей Вейля. Они естественным образом возникают при изучении вложений Веронезе полубесконечных многообразий флагов. Одним из ключевых свойств глобальных модулей Демазюра является наличие свободного действие ассоциативной алгебры с пространством образующих изоморфным аффинному модулю Демазюра. Как известно, проективизация модуля Демазюра содержит многообразие Шуберта в качестве орбиты группы токов. Более того, прямая сумма двойственных модулей Демазюра разных уровней является однородным координатным кольцом многообразия Шуберта. Мы опишем глобальные аналоги этих утверждений В частности, мы построим координатное кольцо многообразий Шуберта в грассманианах Бейлинсона-Дринфельда в терминах глобальных модулей Демазюра. Совместная работы с Михаилом Финкельбергом.
Speakers: Ilya Dumanski (HSE, IUM) and Evgeny Feigin (HSE, Skoltech)
Title: Global Demazure modules and Beilinson-Drinfeld Schubert varieties
Abstract: Global Demazure modules are natural higher level generalisations of the global Weyl modules. They pop up naturally in the study of the Veronese embeddings of the semi-infinite flag varieties. One of the key features of the global Demazure modules is the existence of the free action of the associative algebras with the space of generators isomorphic to the affine Demazure modules. The projectivizations of an affine Demazure module is known to contain the affine Schubert varieties as the current group orbit. In addition, the direct sum of the dual affine Demazure modules is isomorphic to the homogeneous coordinate ring of the affine Schubert varieties. We will describe the global analogues of these theorems. In particular, we will construct the coordinate rings of the Beilinson-Drinfeld Schubert varieties in terms of the global Demazure modules. Joint with Michael Finkelberg.
10.11.2020
Докладчик: Василий Крылов (MIT, ВШЭ)
Название: Аффинные слоения над обобщенными слайсами и приложения
Аннотация: В работе "Coulomb branches of 3d N=4 quiver gauge theories and slices in the affine Grassmannian" авторы определили так называемые обобщенные срезы в аффинном Грассманиане, соответствующем редуктивной группе G. Искомые многообразия зависят от пары кохарактеров $\lambda, \mu$ группы G и снабжены естественным действием $T \times \mathbb{C}^\times$, где $T \subset G$ — максимальный тор. В типах ADE эти многообразия оказываются изоморфны Кулоновским ветвям соответствующих (обрамлённых) колчанных теорий поля. Симплектическая двойственность предсказывает, что эти многообразия должны быть изоморфными аффинным пространствам в случае, когда $\lambda$ минускулен, а $\mu$ лежит в $W$-орбите $\lambda$. Мы обсудим доказательство этого результата, а точнее сформулируем некоторый более общий результат о геометрии обобщенных срезов, из которого последует результат выше. Также мы обсудим основные применения данного результата — покрытие диаграмм свёрток над обобщенными срезами аффинными картами, вычисление ряда Пуанкаре диаграмм свёрток, а также вычисления $T \times \mathbb{C}^\times$-характеров касательных пространств диаграмм свёрток. Доклад основан на совместной работе с Иваном Перуновым (arXiv:1903.08277).
Speaker: Vasily Krylov (MIT, HSE)
Title: Affine fibrations over generalized slices and applications
Abstract: In the paper "Coulomb branches of 3d N=4 quiver gauge theories and slices in the affine Grassmannian" authors defined so-called generalized transversal slices in the affine Grassmannian of a reductive group G. These varieties depend on a pair of cocharacters $\lambda, \mu$ of the group G and have a natural action of $T \times \mathbb{C}^\times$, here $T \subset G$ is a maximal torus. In types ADE these varieties are isomorphic to Coulomb branches of the corresponding framed quiver gauge theories. Symplectic duality predicts that these varieties should be isomorphic to affine spaces in the case when $\lambda$ is minuscule and $\mu$ lies in the $W$-orbit of $\lambda$. We will discuss the proof of this result (we will actually formulate more general result about the geometry of generalized slices which will imply the result above). We will then discuss the main applications of this result — coverings of convolution diagrams of generalized slices by affine spaces, computation of Poincaré series of convolution diagrams and computation of $T \times \mathbb{C}^\times$-characters of tangent spaces at fixed points of convolution diagrams. The talk is based on the joint work with Ivan Perunov (arxiv:1903.08277).
03.11.2020
Докладчик: Алексей Ильин (ВШЭ)
Название: Компактификации семейства коммутативных подалгебр Бете в янгианах
Аннотация: Я расскажу про семейства коммутативных подалгебр Бете в янгианах и задачи, связанные с ними. Основной рассказ будет о задаче компактификации этого семейства. Я расскажу о том, какие чудесные компактификации возникают в этом случае. В качестве примера мы обсудим пример такой компактификации в типе А.
Speaker: Alexei Ilin (HSE)
Title: Compactifications of the family of commutative Bethe subalgebras in Yangians
Abstract: In this talk we will consider the family of commutative Bethe subalgebras in Yangians and some problems related to this family. The main problem we will consider is how to compactify a family of subalgebras. We will see what families of commutative subalgebras arise when solving this problem. As an example we will consider an example of such compactification in type A.
27.10.2020
Докладчик: Сергей Локтев (ВШЭ)
Название: Модули Вейля над многомерными токами
Аннотация: Я расскажу, что сейчас известно про модули Вейля над токами нескольких переменных, какие остались гипотезы и открытые задачи, к которым наверняка можно применить развитые недавно подходы для токов одной переменной
Speaker: Sergey Loktev (HSE)
Title: Weyl modules over multi-variable current algebras
20.10.2020
Докладчик: Евгений Македонский (Сколтех)
Название: Приведенные многообразия арков над торическими многообразиями.
Аннотация: Я расскажу о связи приведенных арк-многообразий над торическими многообразиями и алгебрами симметрических функций. Я применю данную технику к торическому вырождению многообразия флагов и выведу из нее ряд свойств модулей Вейля в типах А и С, которые были известны в типе А, но доказывались технически сложно.
Speaker: Ievgen Makedonskyi (Skoltech)
Title: Reduced arc varieties over toric varieties
Abstract: I will talk about the connection between arc varieties over toric varieties and the algebras of symmetric functions. I will apply this method to the toric degeneration of the flag varieties and will deduce some properties of Weyl modules in types A and C. They are known in type A but the known proofs are hard.
13.10.2020
Докладчик: Евгений Смирнов (ВШЭ, НМУ)
Название: Слайд-многочлены и комплексы подслов
Аннотация: Многочлены Шуберта — это базис в кольце многочленов от счетного числа переменных, элементы которого занумерованы финитными перестановками. Они представляют классы многообразий Шуберта в кольце когомологий многообразия полных флагов.
В 2005 году А.Кнутсон и Э.Миллер показали, что мономы в многочлене Шуберта отвечают неприводимым компонентам некоторого торического вырождения соответствующего матричного многообразия Шуберта. По этому торическому вырождению они строят симплициальный комплекс, называемый комплексом подслов. Этот комплекс оказывается гомеоморфен диску или сфере. Из этого вытекает ряд интересных результатов о геометрии многообразий Шуберта.
Недавно С.Ассаф и Д.Сирлз определили новый базис кольца многочленов с похожими на многочлены Шуберта свойствами — слайд-многочлены. Есть надежда, что с помощью этого базиса получится найти комбинаторное описание коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона. Мы определяем симплициальные комплексы подслов для слайд-многочленов и показываем, что они всегда гомеоморфны дискам или сферам.
Доклад основан на совместной работе с Анной Тутубалиной, arXiv:2006.16995.
Speaker: Evgeny Smirnov (HSE, IUM)
Title: Slide polynomials and subword complexes
Abstract: Schubert polynomials form an especially nice basis in the ring of polynomials in countably many variables. They are indexed by finitary permutations and represent the classes of Schubert varieties in the cohomology ring of a full flag variety.
In 2005 A.Knutson and E.Miller have shown that the monomials in a Schubert polynomial correspond to the irreducible components of a toric degeneration of the corresponding matrix Schubert variety. This toric degeneration is described by a simplicial complex, called the subword complex. This complex is homeomorphic to a ball or a sphere. This implies many interesting results on the geometry of Schubert varieties.
Recently, S.Assaf and D.Searles have defined a new basis in the polynomial ring with properties similar to those of Schubert polynomials. The elements of this basis are called slide polynomials. There is a hope that this basis can be used to find a combinatorial description of the Littlewood-Richardson coefficients for a full flag variety. We define simplicial complexes of subwords for slide polynomials and show that they are also homeomorphic to balls or spheres.
The talk is based on our joint paper with Anna Tutubalina, arXiv:2006.16995.
06.10.2020
Докладчик: Антон Щечкин (ВШЭ/Сколтех)
Название: Теория представлений алгебры Вирасоро и ее N=1 суперрасширения: приложение к изомонодромной задаче
Аннотация: Я расскажу, как можно использовать вложение двух копий алгебры Вирасоро в универсальную обертывающую алгебру от N=1 суперрасширения алгебры Вирасоро для доказательства формулы для изомонодромной тау-функции уравнений Пенлеве. Эта формула выглядит как ряд Фурье от четырехточных конформных блоков (матричных элементов от произведения двух вертексных операторов) алгебры Вирасоро с центральным зарядом 1. Вложение же приходит из некоторой косет-конструкции, которую я тоже надеюсь обсудить.
Speaker: Anton Shchechkin (HSE/Skoltech)
Title: Representation theory of Virasoro and Super Virasoro algebra: application to isomonodromic problems
Abstract: I will discuss how to use the embedding of two copies of Virasoro algebra into universal enveloping of Super Virasoro algebra and Majorana fermion for the proof of the formula for isomonodromic tau functions of Painleve equations. It is given as a Fourier series of Virasoro conformal blocks with central charge 1. The embedding comes from certain coset construction, which I also hope to discuss.
29.09.2020
Докладчик: Игорь Махлин (Сколтех/ВШЭ)
Название: Полуторические вырождения многообразий Хиби и многообразий флагов (продолжение)
Аннотация: Я закончу свой рассказ про новую совместную работу с Евгением Фейгиным (https://arxiv.org/abs/2008.13243). Сперва я вкратце напомню сказанное в прошлый раз, а также объясню, какое отношение введенные понятия имеют к многообразиям флагов. Затем я перейду к, собственно, нашим результатам: построению семейства полуторических вырождений многообразия Хиби/многообразия флагов, задаваемых регулярными разбиениями порядковых многогранников/многогранников Гельфанда-Цетлина.
Speaker: Igor Makhlin (Skoltech/HSE)
Title: Semitoric degenerations of Hibi varieties and flag varieties (continued)
Abstract: I will finish talking about our new joint work with Evgeny Feigin (https://arxiv.org/abs/2008.13243). First I will briefly recall the key points of last week’s talk and explain how the defined notions relate to flag varieties. After that I will move on to the result itself: the construction of a family of semitoric degenerations of a Hibi variety/flag variety where each degeneration is given by a regular subdivision of the order poytope/Gelfand-Tsetlin polytope.
22.09.2020
Докладчик: Игорь Махлин (Сколтех/ВШЭ)
Название: Полуторические вырождения многообразий Хиби и многообразий флагов
Аннотация: Я расскажу про новую совместную работу с Евгением Фейгиным (https://arxiv.org/abs/2008.13243). Многообразие Хиби — это торическое многообразие, сопоставляемое дистрибутивной решетке, для каждого такого многообразия мы строим семейство полуторических вырождений. Неприводимые компоненты каждого из вырождений — торические многообразия, отвечающие многогранникам, образующим регулярное разбиение соответствующего порядкового многогранника. При помощи этой конструкции мы затем получаем семейства полуторических вырождений грассманианов и многообразий флагов. По всей видимости, ближайший доклад будет первым из двух, в нем я напомню основные понятия: вырождения и вееры Гребнера, дистрибутивные решетки и теорема Биркгофа, идеалы и многообразия Хиби, порядковые многогранники, регулярные разбиения.
Speaker: Igor Makhlin (Skoltech/HSE)
Title: Semitoric degenerations of Hibi varieties and flag varieties
Abstract: I will talk about our new joint work with Evgeny Feigin (https://arxiv.org/abs/2008.13243). The Hibi variety is a toric variety corresponding to every distributive lattice, for each such variety we construct a family of semitoric degenerations. The irreducible components of each degeneration are toric varieties associated with polytopes forming a regular subdivision of the respective order polytope. This construction is then applied to obtain families of semitoric degenerations of Grassmannians and flag varieties. Apparently, the upcoming talk will be the first out of two parts where I will recall the key notions: Gröbner degenerations and fans, distributive lattices and Birkhoff's theorem, Hibi ideals and varieties, order polytopes, regular subdivisions.
17.03.2020
Speaker: Roman Avdeev (HSE)
Title: Spherical actions on flag varieties and multiplicity-free branching rules
Abstract: Let G be a simply connected semisimple algebraic group, H a connected reductive subgroup of G, and X = G/P a flag variety. According to a result of Vinberg and Kimelfeld from 1978, the following conditions are equivalent:
(1) the natural action of H on X is spherical (that is, a Borel subgroup of H has an open orbit in X);
(2) for every irreducible representation R of G realized in the space of sections of a homogeneous line bundle on X, the restriction of R to H is multiplicity free.
Under conditions (1) and (2) the restrictions to H of all such irreducible representations of G are described by a free monoid of finite rank, called the branching monoid.
In the talk, we shall discuss general approaches and known results for the problems of classifying all spherical actions on flag varieties and computing the branching monoids for them.
The talk is based on joint works with Alexey Petukhov.
Докладчик: Роман Авдеев (ВШЭ)
Название: Сферические действия на многообразиях флагов и правила ветвления с простым спектром
Аннотация: Пусть G -- односвязная полупростая алгебраическая группа, H -- её связная редуктивная подгруппа и X = G/P -- (обобщённое) многообразие флагов. Согласно результату Э.Б. Винберга и Б.Н. Кимельфельда 1978 г., следующие условия эквивалентны:
(1) естественное действие группы H на X является сферическим, то есть борелевская подгруппа группы H имеет в X открытую орбиту;
(2) для всякого неприводимого представления R группы G, реализующегося в пространстве сечений некоторого однородного линейного расслоения на X, ограничение R на подгруппу H имеет простой спектр.
При выполнении условий (1) и (2) ограничения на подгруппу H всевозможных неприводимых представлений группы G, реализующихся в пространствах сечений однородных линейных расслоений на X, описываются некоторой свободной полугруппой конечного ранга, называемой полугруппой ветвления.
В докладе планируется обсудить общие подходы и известные результаты по задачам классификации всех сферических действий на многообразиях флагов и вычисления для них полугрупп ветвления.
Доклад основан на совместных работах с Алексеем Петуховым.
10.03.2020
Speaker: Igor Makhlin (Skoltech/HSE)
Title: Gröbner fans of Grassmannians
Abstract: The Gröbner fan is a polyhedral fan that parametrizes the initial ideals of a given ideal or, in other words, the Gröbner degenerations of the corresponding variety. I will give a brief introduction to these subjects and then show how one can explicitly describe two maximal cones in the Gröbner fan of the Plücker ideal for the Grassmannian. This is an adapted version of the results in https://arxiv.org/abs/2003.02916. If time permits I will also mention some simple geometrical properties of the corresponding Gröbner degenerations which serve as a motivation for a current joint project with Evgeny Feigin.
Докладчик: Игорь Махлин (Сколтех/ВШЭ)
Название: Вееры Грёбнера для грассманианов
Аннотация: Веер Грёбнера — это полиэдральный веер, параметризующий начальные идеалы данного идеала или, другими словами, вырождения Грёбнера соответствующего многообразия. Я введу эти понятия и затем объясню, как явно описать два максимальных конуса в веере Грёбнера идеала соотношений Плюккера для грассманиана. Это несколько адаптированная версия результатов в https://arxiv.org/abs/2003.02916. Если время позволит, я также приведу некоторые простые геометрические свойства соответствующих вырождений Грёбнера, мотивирующие наш текущий совместный проект с Евгением Фейгиным.
03.03.2020
Speaker: Gleb Koshevoy (IITP)
Title: Lusztig polytopes and FFLV polytopes
Abstract: I explain how in type A, one can get the Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg (FFLV) polytopes as the Minkowski sum of Lusztig polytopes, the latter are taken wrt appropriate reduced decompositions of the longest element of the Weyl group. For each Lusztig polytope, there is a Kashiwara crystal on the set of its lattice points. We approach the crystal structure on lattice points of FFLV polytopes using the above relation between Lusztig and FFLV. I formulate a conjecture in a general case, and an answer for $SL(3)$. This is a joint work with Xin Fang.
Докладчик: Глеб Кошевой (ИППИ)
Название: Многогранники Люстига и Фейгина-Фурье-Литтелманна-Винберга
Аннотация: Я расскажу, как в типе А получить многогранники ФФЛВ из многогранников Люстига, последние выбираются для подходящих редуцированных разбиений обратной перестановки. На целых точках многогранников Люстига есть структура кристалла Кашивары. Используя такую реализацию ФФЛВ многогранников, будет предложен подход к построению кристалла Кашивары на целых точках ФФЛВ многогранников. В общем случае будет сформулирована гипотеза и дан полный ответ для $SL(3)$. По совместной работе с Хин Фангом.
25.02.2020
Speaker: Alexey Petukhov (IITP)
Title: Witt Lie algebra, Virasoro Lie algebra, their coadjoint orbits and their subalgebras of finite codimension
Abstract: In my talk I would like to A) describe the (algebraic) coadjoint orbits of Witt Lie algebra (the Lie algebra of C-vector on S^1 ) and Virasoro Lie algebra (the canonical extension of Witt Lie algebra); B) construct a series of primitive ideals out of A; C) relate them to the subalgebras of finite codimension of the above mentioned Lie algebras. The talk is supposed to be quite elementary and I will not use any advanced facts about Witt Lie algebra or Virasoro Lie algebra. Nevertheless, it will be useful to know what do "Lie algebra", "Poisson algebra" and "vector field" mean. These results are a major part of my joint work in progress with S. Sierra.
Докладчик: Алексей Петухов (ИППИ)
Название: Алгебры Витта и Вирасоро, их коприсоединённые орбиты, их подалгебры
Аннотация: В докладе хочу поговорить про описание (алгебраических) коприсоединённых орбит в алгебре Ли Витта и алгебре Ли Вирасоро. Ну и рассказать как от этих многообразий перейти к примитивным идеалам в соответствующих универсальных обёртывающих алгебрах в помощью поляризации, а так же о том, как это связано с описанием подалгебр конечной коразмерности. Доклад будет довольно элементарным и мне не понадобятся какие-либо "продвинутые" факты про алгебру Вирасоро или алгебру Витта (во многом, потому что я сам их не знаю). С другой стороны, было бы полезно если бы слушатели понимали что такое алгебра Ли, пуассонова алгебра и векторное поле. Доклад посвящён моей (недописанной) совместной работе с С. Сьеррой.
18.02.2020
Speaker: Ievgen Makedonskyi (Skoltech)
Title: Categorical action of the affine Hecke algebra
Abstract: We study the derived category of the representations of current Lie superalgebra in one odd variable $\mathfrak{g}[\xi]$. We study the action of parabolic induction functors on this category and prove that they satisfy a set of relations categorifying the relations in affine Hecke algebra. In the case of affine Lie algebra $\mathfrak{g}$ we build the objects in this category categorifying nonsymmetric Macdonald polynomials.
Докладчик: Евгений Македонский (Сколтех)
Название: Категорное действие аффинной алгебры Гекке
Аннотация: Мы изучаем производную категорию представлений супералгебры Ли токов от одной нечетной переменной $\mathfrak{g}[\xi]$. На этой категории изучаем действие функторов параболической индукции и доказываем, что эти функторы удовлетворяют ряду соотношений, категорифицирующих соотношения в аффинной алгебре Гекке. В случае аффинной алгебры ли $\mathfrak{g}$ строим объекты в изучаемой категории, которые категорифицируют несимметрические многочлены Макдональда.
11.02.2020
Speaker: Roman Gonin (HSE/Skoltech)
Title: Whittaker vector for quantum toroidal gl_1: algebraic approach
Abstract: Whittaker vectors can be defined with respect to different algebras and pairings of Whittaker vectors are certain interesting functions. It turns out that for toroidal algebras the definition and the existence and uniqueness of Whittaker vectors are substantially more non-trivial than in the finite dimensional and affine cases. Usually people go around these issues, defining the Whittaker vector for toroidal algebras via a geometric construction. I will talk about a purely algebraic definition and construction of the Whittaker vector. This is a story about representations of toroidal gl_1. If time permits, I will talk about an application of this approach. The talk is based on arXiv:1906.00600. I will not assume that the audience is familiar with toroidal algebras or Whittaker vectors.
Докладчик: Роман Гонин (ВШЭ/Сколтех)
Название: Вектор Уиттекера для квантовой тороидальной gl_1: алгебраическая точка зрения
Аннотация: Вектора Уиттекера можно определять для разных алгебр. А спаривание векторов Уиттекера оказывается обычно некоторой очень интересной функцией. Оказывается, что для тороидальных алгебр вопросы определения, существования и единственности вектора Уиттекера существенно более нетривиальны, чем в конечномерном и аффинном случае. Обычно, вектор Уиттекера определяется с помощью геометрической конструкции. Я расскажу про то, как определять и строить вектор Уиттекера в чисто алгебраических терминах. Это некоторая история о представлениях квантовой тороидальной gl_1. Насколько хватит времени, я расскажу про некоторый профит, который мы извлекли из чисто алгебраического определения вектора Уиттекера. Доклад основан на работе arXiv:1906.00600. Я не буду предполагать знакомство слушателей с тороидальными алгебрами и векторами Уиттекера.
04.02.2020
Speaker: Ilya Dumanski (HSE)
Title: Global Demazure modules
Abstract: Global and local Weyl modules form an important class of representations of the current algebra of semisimple Lie algebra. Fourier and Littelmann showed that in a simply laced case local Weyl module is isomorphic to the affine Demazure module of level 1. I plan to describe the construction and properties of the global version of Demazure modules of arbitrary level, which generalize global Weyl modules.
Докладчик: Илья Думанский (ВШЭ)
Название: Глобальные модули Демазюра
Аннотация: Глобальные и локальные модуля Вейля являются важнейшим классом представлений алгебры токов полупростой алгебры Ли. Фурье и Литтлманн доказали, что в типах ADE локальный модуль Вейля изоморфен аффинному модулю Демазюра уровня 1. Я расскажу про конструкцию и свойства глобальной версии модулей Демазюра произвольного уровня, являющихся обобщением глобальных модулей Вейля.
24.12.2019
Speaker: Alexander Braverman (University of Toronto/Skoltech)
Title: D-modules on loop spaces and 3-dimensional topological field theories
Abstract: I will talk about attempts to construct topological field theories attached to 3-dimensional N=4 field theories. The categories of D-modules on formal loop spaces will be used as one of the main technical tools.
Докладчик: Александр Браверман (университет Торонто/Сколтех)
Название: D-модули на пространстве петель и 3-мерные топологические теории поля
Аннотация: В докладе я расскажу о попытках построить топологические теории поля, ассоциированные с 3-мерными N=4 теориями поля. В качестве одного из основных технических средств будут использованы категории D-модулей на пространствах формальных петель.
17.12.2019
Speaker: Leonid Rybnikov (HSE)
Title: Bethe subalgebras in Yangians and the wonderful compactification (joint work with Aleksei Ilin, arXiv:1810.07308 )
Abstract: Let g be a complex simple Lie algebra. To any element C in the corresponding adjoint Lie group G one can naturally assign a commutative subalgebra B(C) in the Yangian Y(g). We extend the family of Bethe subalgebras to the De Concini--Procesi wonderful compactification of G and describe explicitly the subalgebras corresponding to generic points of any stratum in this compactification. In particular, all Bethe subalgebras in Yangians of Levi subalgebras of g arise as such degenerations.
Докладчик: Леонид Рыбников (ВШЭ)
Название: Подалгебры Бете в янгианах и чудесная компактификация (совместная работа с Алексеем Ильиным, arXiv:1810.07308 )
10.12.2019
Speaker: Syu Kato (Kyoto University)
Title: On quantum K-groups of partial flag manifolds
Abstract: We begin by explaining how to identify the equivariant quantum K-groups of (partial) flag manifolds with the equivariant K-groups of the corresponding semi-infinite (partial) flag manifolds. Then, we explain that the equivariant K-groups of semi-infinite (partial) flag manifolds are connected by natural covariant morphisms. These imply a kind of functoriality of equivariant quantum K-groups that are compatible with the quantum D-module structures.
Докладчик: Сю Като (Киотский университет)
Название: О квантовых К-группах многообразий частичных флагов
03.12.2019
Speaker: Syu Kato (Kyoto University)
Title: Richardson varieties of semi-infinite flag manifolds
Abstract: In the world of finite-dimensional flag manifolds, Richardson varieties are the intersection of an attracting set and a repelling set. Thus, it is a scheme-theoretic realization of the intersection theory of flag manifolds. In fact, Lakshmibai-Littelmann showed that describing the intersection theory of flag manifolds and describing the Euler characteristics of ample line bundles on Richardson varieties are basically equivalent question.
In this talk, we exhibit that Richardson varieties of the formal model of semi-infinite flag manifolds form a family of finite-dimensional varieties that contains the family of quasi-map spaces from a projective line to finite-dimensional flag manifolds. Then, we explain the analogue of Lakshmibai-Littelmann in this setting.
Докладчик: Сю Като (Киотский университет)
Название: Многообразия Ричардсона для полубесконечных многообразий флагов
26.11.2019
Speaker: Mikhail Bershtein (Landau ITP/Skoltech)
Title: Twisted representations of the Virasoro and W-algebras
Abstract: The Virasoro algebra and, more generally, W-algebras are usually studied using bosonization: realization in terms of the Heisenberg algebra. It turns out that certain special representations of these algebras have a realization in terms of the twisted Heisenberg algebra, where operators have non integer grading. I plan to describe this realization and then discuss its applications to the AGT correspondence and to special solutions of the Painleve equations. Based on joint works with P. Gavrylenko, A. Marshakov, A. Shchechkin.
Докладчик: Михаил Берштейн (ИТФ им. Ландау/Сколтех)
Название: Твистованные представления алгебры Вирасоро и W-алгебр
Аннотация: Алгебры Вирасоро и, более общо, W-алгебры, как правило, изучаются при помощи бозонизации -- реализации в терминах алгебры Гейзенберга. Оказывается, что у некоторых специальных представлений этих алгебр есть реализация в терминах твистованной алгебры Гейзенберга, в которой операторы имеют нецелую градуировку. Я планирую описать эту реализацию и затем обсудить ее приложения к АГТ-соответствию и к специальным решениям уравнений Пенлеве. Основано на совместных работах с П. Гавриленко, А. Маршаковым и А. Щечкиным.
19.11.2019
Speaker: Junichi Shiraishi (University of Tokyo)
Title: Affine Screening Operators, Affine Laumon Spaces, and Conjectures Concerning Non-Stationary Ruijsenaars Functions
Abstract:
Докладчик: Джуничи Шираиши (Токийский университет)
Название: Аффинные скрининговые операторы, аффинные пространства Ломона и гипотезы о нестационарных функциях Рюйсенаарса
12.11.2019
Speaker: Michael Finkelberg (NRU HSE/Skoltech)
Title: The dual canonical basis for $U^+_q(\hat{sl}_2)$ and coherent Goresky-MacPherson sheaves on the $GL(n)$ affine Grassmannian (continued)
Докладчик: Михаил Финкельберг (НИУ ВШЭ/Сколтех)
Название: Двойственный канонический базис $U^+_q(\hat{sl}_2)$ и когерентные пучки Горески-Макферсона на аффинном грассманиане $GL(n)$ (продолжение)
05.11.2019
Speaker: Michael Finkelberg (NRU HSE/Skoltech)
Title: The dual canonical basis for $U^+_q(\hat{sl}_2)$ and coherent Goresky-MacPherson sheaves on the $GL(n)$ affine Grassmannian
Abstract: We identify the equivariant K-theory of the $GL(n)$ affine Grassmannian with the subalgebra $U^+_q(\hat{sl}_2)$. Under this identification the Goresky-MacPherson basis is matched with the dual canonical basis. This is a joint work with Ryo Fujita.
Докладчик: Михаил Финкельберг (НИУ ВШЭ/Сколтех)
Название: Двойственный канонический базис $U^+_q(\hat{sl}_2)$ и когерентные пучки Горески-Макферсона на аффинном грассманиане $GL(n)$
Аннотация: Мы отождествляем эквивариантную К-теорию аффинного грассманиана $GL(n)$ с подалгеброй $U^+_q(\hat{sl}_2)$. При этом отождествлении базис Горески-Макферсона переходит в двойственный канонический базис. Это совместная работа с Рио Фуджитой.
29.10.2019
Speaker: Michael Pevzner (University of Reims)
Title: Rankin-Cohen brackets, branching rules and holography
Abstract: The analysis of branching problems for restriction of representations brings the concept of symmetry breaking transform and holographic transform. Symmetry breaking operators decrease the number of variables in geometric models of representations, whereas holographic operators increase it. From this perspective we investigate two remarkable families of symmetry breaking operators: the Rankin–Cohen operators and the holomorphic Juhl conformally covariant operators, and introduce the corresponding holographic operators.
Докладчик: Михаил Певзнер (Реймсский университет)
Название: Скобки Ранкина-Коэна, проблемы ветвления и голографическое преобразование
Аннотация: Анализ правил ветвления для сужений представлений приводит к понятиям преобразования нарушения симметрии и голографического преобразования. Операторы нарушения симметрии уменьшают число переменных в геометрических моделях представлений, тогда как голографические операторы увеличивают его. С этой точки зрения мы обсудим два замечательных семейства операторов нарушения симметрии: операторы Ранкина – Коэна и голоморфные конформно-ковариантные операторы и представим соответствующие голографические операторы.
22.10.2019
Speaker: Evgeny Feigin (NRU HSE, Skoltech)
Title: Quiver Grassmannians and degenerate flag varieties.
Abstract: Flag varieties of the group SL(n) enjoy a very concrete description as chains of subspaces of fixed dimensions. Quiver Grassmannians can be viewed as a natural generalization of this construction: a projective algebraic variety is attached to a quiver, its representation and a dimension vector. In particular, the classical flag varieties are realized as quiver Grassmannians for the equioriented type A quivers. If one varies the representation of the quiver, one obtains a family of varieties, i.e. a degeneration of the generic fiber. We will discuss this idea in the case of classical flag varieties. In particular, we will describe all the irreducible degenerations obtained in this manner (including the PBW degenerations) and all flat degenerations (of the expected dimension).
Докладчик: Евгений Фейгин (НИУ ВШЭ, Сколтех)
Название: Колчанные грассманианы и вырождения многообразий флагов.
Аннотация: Многообразия флагов для группы SL(n) имеют классическое описание в терминах вложенных цепочек подпространств фиксированных размерностей. Колчанные грассманианы можно рассматривать как обобщение этой картинки: проективное алгебраическое многообразие сопоставляется колчану, его представлению и вектору размерностей. В частности, многообразия флагов SL(n) являются колчанными грассманианами для однонаправленного колчана типа A. Если менять представление колчана, оставляя неизменным вектор размерностей, то получается деформация (вырождение) исходного многообразия. Мы обсудим применение этой идеи в контексте классических многообразий флагов. В частности, мы опишем все получающиеся таким образом неприводимые вырождения (включая ПБВ вырождение) и плоские (сохраняющие размерность) вырождения.
Page updated
Google Sites
Report abuse