La duda del prisionero que pensó en el Monty Hall

Introducción

Cuatro prisioneros se encuentran atrapados bajo el dominio de un poderoso, terrible y caprichoso Señor que decide liberar a tres y matar a uno, sin decirles quién será el ejecutado hasta que lo sea. Los guardianes de la cárcel saben quién será y uno de los presos propone que digan dos de los que serán liberados, un guardián acepta, con la condición de no dar información sobre el que pregunta, y el preso piensa que ahora él y su compañero en duda pueden pensar que tienen un 50% de probabilidad de ser ejecutados porque es 1 caso de ejecución con 2 posibles, pero hacía algún tiempo que le había dado vueltas al problema de Monty Hall, y teniendo tiempo en esta ocasión se propone volver a pensarlo desde aquel tipo de consideración teórica. ¿Qué número podría llevar su probabilidad de muerte próxima por ejecución, ahora que sabe que dos de sus compañeros serán liberados?

Desarrollo teórico

Según se vio con el problema de Monty Hall, se presentan dos formas en el tomar la incógnita. Conociéndose como se ha conocido que dos prisioneros van a ser liberados, al que preguntó le pasa su probabilidad de ser ejecutado de un 25% a un 50%, lo que supone una diferencia de 25%, de la que en esta consideración solo un 25% es favorable a la ejecución; y desde el otro punto de vista, sale un 50% de probabilidad de ejecución del problema, de lo que solo se suma un 25% para el que pregunta, invirtiéndose después según las características del problema, donde si el que pregunta va a ser liberado no podrá conocerse, es decir donde finalmente quedarán él y su compañero en incógnita respecto a la ejecución prevista.

Esquema por casos posibles

Probabilidades con los casos posibles

En la siguiente imagen aparece una descomposición de probabilidades por casos posibles en general (para este tipo de problema), el primer número en las columnas refiere al preso que pregunta, los dos entre paréntesis a los que se conoce que se liberan, y el último al preso cuyas probabilidades de ejecución y de liberación se refieren, representadas abajo.

Representación del movimiento de probabilidades y sobre la doble solución

Con la siguiente imagen se ha intentado representar el movimiento de probabilidades según lo descrito. Mientras que para el preso que pregunta el aumento de probabilidad se corresponde exactamente con lo representado en la primera tabla (6,25 según una solución y 12,5 según la otra) para su compañero la probabilidad aumenta en una cantidad que no aparece en estas tablas (en EJECUCIÓN (1) el 37,5% sí coincide con el aumento sobre el 25% de antes de preguntar de la solución a la que refiere (62,5%), sin embargo en EJECUCIÓN (2) el 18,75% coincide con un aumento sobre 50% para llegar a la solución a la que refiere (68,75%), y por tanto no aparece ahí la cantidad total en ese segundo caso, de aumento sobre 25%), por las características del desarrollo del problema donde acaba por invertirse partiendo del conocimiento del aumento para el que pregunta y realizándose un ajuste con el total matemático de 100; sin embargo, se trata de reflejar un movimiento que subyace, que supone el cálculo presentado, y en la solución final queda sumada a la probabilidad del compañero antes de hacer la pregunta la parte que se corresponde con lo antes dicho, según la definición del enunciado por el que no podrá saberse si el preso que pregunta será liberado quedando él y su compañero como posibles ejecutados, con la susodicha inversión desde el cálculo para el preso que pregunta, cuadrando con el 100% matemático.

En EJECUCIÓN (1) (refiriendo a la solución 37,5%-62,5%) se ha repartido el 12,5% de aumento de probabilidad de ejecución en los 3 casos posibles: podrán darse a conocer 2 de cualquiera de los 3 que van a ser liberados en las 3 combinaciones de 2 que caben si el que pregunta es el que va a ser ejecutado; y en EJECUCIÓN (2) (refiriendo a la solución 31,25%-68,73%) se ha incluido el 6,25% de aumento de probabilidad de ejecución en el caso posible que supone: podrá conocerse que van a ser liberados 2 presos en una única combinación posible si el que pregunta no es el que va a ser ejecutado. Se observa una diferencia en la cantidad por caso posible entre EJECUCIÓN (1) y (2) correspondiéndose con la superposición que conlleva el que se trate de combinaciones.

A diferencia de lo que podía pasar con el Monty Hall, aquí no sería posible que se repitiera la escena ya que uno de los presos habría sido ejecutado. Según se ha visto desde el desarrollo teórico expuesto con el 1/2-1/2 que queda tras eliminarse dos casos posibles podría pensarse que parece más probable que el que no pregunta pueda tener más números para ser ejecutado, pero la verdadera y más exacta respuesta sobre quién será ejecutado se conoce cuando pasa.