Una contribución teórica al problema de Monty Hall

Introducción

Se proponen tres puertas tras las que hay un coche y dos cabras, donde elige alguien que no sabe en qué puerta está el coche. Tras elegir, otra persona que conoce dónde está el coche y las cabras abre otra puerta con una cabra y propone la opción de cambiar de puerta elegida. La idea sería ganar el coche (caso favorable) y no una cabra (caso desfavorable).

En esta obra se presenta un desarrollo teórico sobre si conviene o no cambiar la puerta, concluyéndose en que es mejor cambiar y ofreciéndose una estimación de probabilidad de las opciones. Finalmente se presenta una tabla con ideas contrastando con esta teoría, se comenta sobre diferencias y su trasfondo, y distintas formas de expresar sobre el problema.

Desarrollo teórico

Al quitarse una puerta con una cabra se conoce que hay algo fuera del problema, y con eso se va a replantear sobre la parte probabilística de acierto que antes se atribuía a esa opción. Se van a dar dos formas de considerar sobre la incógnita sobre las que más adelante se ofrecerá interpretación. Una toma enteramente el 33,33% de variación de probabilidad en el problema que supone el descarte de una puerta (sale una puerta que conlleva un 33,33% de probabilidad de acierto a distribuir) y la otra el 16,66% de variación sobre el 50% en la opción que supone la retirada de una puerta con una cabra (en estos cálculos pasa de tener un 33,33% a tener un 50% y la resta es 16,66%, con estos datos se va a reformular).

Se ha tenido en cuenta que deliberadamente se dejará una puerta sin abrir, que esconderá el coche si no se ha elegido el coche, y se ha calculado desde la probabilidad de coche en la elegida en un primer momento, deduciéndose directamente el resto.

Probabilidades con los casos posibles

Las dos primeras tablas son una representación de los casos posibles según la puerta elegida, la puerta abierta con CABRA y la probabilidad asociada a la puerta. Por ejemplo, 121 es que se elige la puerta 1, se abre la puerta 2 con CABRA, y cómo queda la probabilidad en la puerta 1. Se asume neutralidad en la elección de las puertas (no hay preferencia por ninguna en particular más allá de que la que se abre antes de la opción de cambiar es con CABRA, y no se puede abrir la elegida en un primer momento). La primera expresa las posibilidades cuando no se cambia, la segunda cuando se cambia.

Por las dos primeras tablas se ve que la probabilidad de COCHE en la puerta 1 cuando no se cambia es 11,11% sumando las dos posibilidades que hay de que se abra una puerta con CABRA, y hay dos posibilidades cuando se elige COCHE. En ese caso, la probabilidad de CABRA es 22,22%, haciendo una diferencia de 11,11%. Además, la probabilidad de COCHE en la puerta 1 sin cambiar es 5,55% cuando solo se tiene una puerta con CABRA a abrir, y esto sucede cuando se elige CABRA, mientras que la probabilidad de CABRA en ese caso es 11,11%, haciendo una diferencia de 5,55%.

Representación del movimiento de probabilidades y sobre la doble solución

En un desarrollo de los datos a partir de las dos primeras tablas, en un intento de representar el movimiento en el problema en sí y la doble solución antes señalada, se ha supuesto que se elige la puerta 1 y se abre la 2. En las filas, COCHE (1) supone un punto de vista y COCHE (2) otro, en lo que es la naturaleza del problema y las dos formas vistas de resolver sobre la incógnita. Se da simultaneidad como representación que acaba por descubrir una ecuación a partir del movimiento y posibilidad de los propios casos posibles y como representación del añadido que supone el reparto de probabilidad que quedó fuera al descubrirse una CABRA, del que se habló antes.

Por lo que se observa, se sugiere que una de ellas (COCHE (2)) supone que COCHE no se encuentra en la puerta 1, y por eso aparece un 0 en la columna 131, mientras que la otra atribuye un 11,11% de probabilidad a la puerta 1, a diferencia del 5,55% del otro caso (la puerta 3 no podría ser abierta en caso de encontrarse COCHE allí). En esa tabla aparecen casillas en gris, en una peculiar figuración de la situación hacia una utilidad representativa del problema matemático.

Según la consideración con la que se vio la doble solución antes referida, se cogió 1/3 de acierto que quedaba a distribuir (desde dos puntos de vista) y se asumió a la elegida inicialmente, para después invertir según las características del problema donde deliberadamente habrá acierto o no según se haya elegido al principio. Esto supuso dejar 1/3 fuera del problema en la de 38,88%-61,11%, considerando en "absoluto", y de ahí el carácter imprescindible de esas dos partes, donde la de 44,44%-55,55% sí contiene ese 1/3 que se dejó fuera, pero lo sobrecontiene si se ve desde el otro punto de vista. Una interpretación a la doble solución, en un principio, podría ser como máximo y mínimo, ya que en cualquier caso, por los cálculos realizados hay una variación mínima de 5,55% y una máxima de 11,11%, según se presentó.  Sin embargo, se pensó en una ponderación suponiendo y encajando con que una se corresponde con el caso en el que se acierta COCHE en un primer momento (1/3) y la otra con el que se acierta CABRA (2/3), quedando la estimación de relación probabilística en 40,74%-59,25%, de acierto-error en la elegida en un primer momento y/o como probabilidad de COCHE en opción elegida inicialmente-opción cambiando, es decir:

Probabilidad para COCHE sin cambiar de elección y/o para CABRA cambiándola: 

(1/3)*[1/3+(1/3)*(1/3)]+(2/3)*[1/3+(1/3)*(1/2-1/3)] = 40,74%

Probabilidad para CABRA sin cambiar de elección y/o para COCHE cambiándola: 

(1/3)*[2/3-(1/3)*(1/3)]+(2/3)*[2/3-(1/3)*(1/2-1/3)] = 59,25%

Desde una consideración teórica, se supuso que al eliminarse una opción incorrecta se daba al menos cierto aumento en la elegida inicialmente, desde que la diferencia que impone la eliminación de un caso posible que se sabe que es desfavorable configuraba de otra manera el problema, donde teóricamente hubiera sido parcial atribuir todo el aumento a una de las partes. Expresando la relación como 1-2, porque hay un coche y dos cabras, al quitar una de las cabras ese 1 permanece invariable, mientras que se desciende a 1 la cabra, cuando con un 1/3 una invariabilidad para el coche no suena tan clara. En esa situación, esa doble solución de 38,88% y 44,44% ponderada a un 40,74% de probabilidad de coche sin cambiar (59,25% cambiando) puede ser irrelevante en cierto sentido desde que el resultado final va a ser ganar o perder, y con eso los resultados en un agregado van a responder según el conteo posible de casos favorables y desfavorables al cambio, con lo que podrían convivir y ayudar a generar una ilusión o doble visión sobre cómo se relacionan probabilísticamente las opciones.

¿Hasta qué punto el lenguaje, teoría y razonamientos con matemáticas de probabilidad pueden ofrecer confusión? El análisis ha permitido una visualización desde un punto de vista teórico sobre cómo se mueven las probabilidades dentro del problema: al quitar una cabra la posibilidad de coche sube y la de cabra baja, se cambie o no, aunque hacia una cuenta de casos en los que se gana y pierde, estimadamente con una tabla como la última que se presentó, no se materialice esa relación por cómo se configura el problema con particiones como lo hace. Y es un caso que puede inspirar reflexión sobre la esencia de la expresión probabilística y sobre conceptos e ideas diferenciados.

Expresando de otra forma, con números naturales, al lado de cada elemento se expresa su cantidad, “cambio” simboliza el cambio en el problema y con la flecha resultado en ese cambio:

Si COCHE (1) y cambio ---> CABRA (1)

Si CABRA (2) y cambio ---> COCHE (1)

De ahí que quitar una cabra en el problema baja la posibilidad relativa de CABRA a su mitad (hay una cabra menos). Y con lo que se ve que expresando de esta manera, no se visualiza la inversión que sería un "Si COCHE (1) y cambio ---> CABRA (2) y si CABRA (2) y cambio ---> COCHE (1)". En este sentido se considera que el paso teórico era necesario para materializar algo teóricamente más aproximado sobre proporciones.