reprezentácie Grúp

Sylabus

1. Pojem grupy, súčin, zobrazenia grúp; konečné grupy; cyklická grupa Z_n; reprezentácie grúp; regulárna reprezentácia;
   Prednáška

2. Transformácie podobnosti; reducibilné, ireducibilné a plne reducibilné reprezentácie; grupa S3 a D3; podgrupa; invariantná podgrupa; faktorová grupa;
   Prednáška

3. Reprezentácie S3; unitárny teorém; reducibilita reprezentácii konečných grúp; Schurova lemma.Charakter reprezentácie; triedy ekvivalentnosti;
   Prednáška

4. Spojité a Lieove grupy; lineárna transformačná grupa; špeciálne (pseudo)ortogonálne a unitárne grupy; kompaktné grupy;
   Prednáška

5. Generátory grupy; Baker-Campbell-Hausdorffov vzorec; Lieova algebra, invariantné a Abelovské Lieové subalgebry; prosté a poloprosté Lieove algebry a grupy;
   Prednáška

6. Reprezentácie so(3); zvyšujúce a znižujúce operátory; konštrukcia najvyššej váhy; j-spinové reprezentácie so(3);
   Prednáška

7. Reprezentácie tenzorových súčinov a ich rozklad na ireducibilné reprezentácie; Clebsch-Gordanove koeficienty;
   Prednáška

8. Príklad rozkladu tenzorového súčinu ireducibilných reprezentácii so(3); Casimirov operátor; diferenciálne operátory so(3); sférické harmoniky;
   Prednáška

9. Vzťah medzi SO(3) a SU(2); grupa dvojitého pokrytia, tenzorové a spinorové reprezentácie; projektívne reprezentácie
   Prednáška

10. SU(3) a su(3); su(2) podalgebry; váhy a korene su(3) a ich diagramy
    Prednáška

11. Pridružená reprezentácia; Cartan-Killingova metrika; Cartanove operátory; koreňové vektory; Cartanová forma Lieovej algebry
    Prednáška

12. Lieove algebry hodnosti 2 a ich koreňové diagramy; výnimočná algebra G_2; Weylova reflexia.
    Prednáška

13. Pozitívne a jednoduché korene; Dynkinove diagramy algebier hodnosti 2; jednoduché korene klasických algebier
    Prednáška

14. Dynkinové diagramy klasických algebier; pravidlá pre Dynkinové diagramy; výnimočné algebry.
    Prednáška

15. Konštrukcia pozitívnych koreňov z jednoduchých koreňov; su(3) a G_2 korene z jednoduchých koreňov; Cartanová matica; konštrukcia koreňov pomocou Cartanovej matice; Dynkinové značenie (labels);
    Prednáška

16. Fundamentálne váhy, Dynkinové koeficienty; konštrukcia najvyššej váhy; váhové diagamy pomocou Dynkinového značenia, váhové diagramy su(3).
    Prednáška

17. Lieová algebra so(N); Cliffordova algebra; γ-matice; spinorová reprezentácia so(2n); σ-matice a generátory so(2n)
    Prednáška

18.  Spin(4) grupa; projekčné operátory; ľavotočivé a pravotočivé spinory; ireducibilné spinorové reprezentácie; spinorové reprezentácie so(2n-1).
    Prednáška

19. Lorentzová grupa; vlastná Lorentzova grupa a jej algebra; SL(2,C) ako grupa pokrytia SO(1,3); 4-vektorové značenie a zápis pomocou diferenciálnych operátorov
    Prednáška

20. Reprezentácie Lorentzovej algebry; Weylove a Diracove spinory;
    Prednáška

Hodnotenie

Počas semestra (40%): 2 písomky na domov, t.j. 2 sady domácich úloh, ktoré budú zadané na cvičeniach a treba vypracovať a odovzdať na nasledujúcich cvičeniach.

Záverečná skúška (60%)

Písomná časť a ústna skúška
Otázky na skúšku
Exam questions

Literatúra

1. Zee, A.: Group Theory in a Nutshell for Physicists

2. Georgi, H. : Lie Algebras in Particle Physics: from Isospin to Unified Theories

3. Jones, H. F.: Groups, Representations and Physics

4. Tung, W.-K.: Group Theory in Physics

5. Woit, P.: Quantum Theory, Groups and Representations

6. Fecko, M.: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov

7. Hall, B.: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations