Лекторы

О размерности и эпсилон-энтропии аттракторов диссипативных уравнений с частными производными

Лекция посвящена оценкам колмогоровской ε-энтропии и связанной с ней фрактальной размерности глобальных аттракторов бесконечномерных динамических систем, порождаемых автономными и неавтономными эволюционными уравнениями с частными производными. В качестве важного применения общих теорем будут получены оценки для ε-энтропии и размерности глобальных аттракторов автономных и неавтономных 2D систем Навье–Стокса.

Детерминантные процессы и пространства голоморфных функций

Рассмотрим случайную матрицу (то есть матрицу, элементы которой — случайные величины). Её спектр — это случайная конфигурация, то есть случайное дискретное подмножество на плоскости. Среди распределений вероятностей на множестве конфигураций есть класс детерминантных процессов, к которому принадлежат, например, распределения спектров многих естественных семейств случайных матриц. Детерминантный процесс задаётся интегральным ядром — функцией K(x, y), где аргументы x и y пробегают фазовое пространство (например, множество комплексных чисел). Оказывается, что свойства детерминантного процесса тесно связаны со свойствами ядра, а точнее, оператора в пространстве L^2 , задаваемого этим ядром.

Мы разберём ряд свойств детерминантных процессов, особенно концентрируясь на случае, когда этот оператор является проектором на некоторое пространство H голоморфных функций. Здесь можно задаться, в частности, таким вопросом, «зацикливающим» эту конструкцию: рассмотрим случайную конфигурацию X. Существуют ли нетривиальные голоморфные функции из H, обращающиеся в нуль во всех точках X? Можно также построить естественный аналог интерполяционной формулы Лагранжа — взвешенной суммы функций из H, которые обращаются в нуль во всех точках конфигурации кроме одной, тогда встаёт вопрос о сходимости этой суммы. В лекции мы обсудим (частичные) ответы на эти вопросы.