Claudemir Fideles

Em álgebra, surgem muitas questões naturais, uma das quais foquei durante minha tese de doutorado: Quando um dado anel admite um mergulho em matrizes n x n sobre algum anel comutativo? Uma condição necessária clara é que o anel deve satisfazer as mesmas identidades polinomiais que matrizes n x n. No entanto, essa condição não é suficiente para n > 2. A resposta geral para esse problema permanece em aberto. Quando adicionamos a suposição de que o anel tem um mapa de traços, o problema se torna mais tratável e temos uma resposta satisfatória devido a Claudio Procesi. Ele provou que uma álgebra R com um traço pode ser mergulhada em matrizes n x n sobre algum anel comutativo se e somente se ela satisfizer todas as identidades de traço de matrizes n x n. Essas álgebras são conhecidas como álgebras de Cayley-Hamilton e, intrigantemente, a imagem dessa incorporação se alinha com um anel de invariantes. Essa conexão abre a possibilidade de aplicações geométricas, pois sugere uma relação profunda entre estruturas algébricas e teoria invariante. Nesta apresentação, pretendo fornecer um panorama geral de todo o estudo realizado até o momento em torno do meu problema de tese, abordando os desafios e problemas que surgiram ao longo do processo. Também apresentarei os resultados obtidos com o apoio do financiamento da FAPESP, processo número 2023/04011-9, e indicarei os próximos passos que pretendo seguir para dar continuidade ao desenvolvimento da pesquisa.