Titres et Résumés

• Naïl Bouberbachene
  Titre : Foncteurs polynomiaux.

Résumé : Une famille de représentations d'une suite de groupes (les groupes symétriques, les groupes linéaires) peut être vue comme un seul objet : un foncteur défini sur une petite catégorie. Après une introduction à ces catégories de foncteurs, je me concentrerai sur les foncteurs polynomiaux, introduits par Eilenberg et Mac Lane dans les années 1950 via les effets croisés. L'une des principales motivations est l'homologie stable des groupes. Par exemple, un théorème  (non publié) de Scorichenko ramène le calcul de l'homologie stable des groupes linéaires à coefficients polynomiaux à de l'homologie de foncteurs sur une catégorie additive. Je présenterai d'abord le cadre classique, où la catégorie source est additive, puis celui d'une catégorie monoïdale symétrique dont l'unité est seulement objet initial. C'est le cadre développé par Djament et Vespa, qui définissent une notion de foncteur faiblement polynomial. J'évoquerai pour finir quelques résultats de comparaison entre ces catégories de foncteurs.

• Yoann Demesmay
  Titre : Fusion des éléments de Jucys-Murphy.

Résumé : Les éléments de Jucys–Murphy constituent une famille remarquable d’éléments commutatifs de l’algèbre du groupe symétrique, définis à partir des transpositions. Leur intérêt vient notamment du fait qu’ils permettent de décrire finement les représentations irréductibles du groupe symétrique : ils agissent diagonalement dans la base de Young et leurs valeurs propres sont données par les contenus des cases des tableaux de Young. On peut ensuite chercher à comprendre ce qui subsiste de cette structure lorsqu’on passe aux algèbres de permutations fusionnées : comment définir les analogues des éléments de Jucys–Murphy, quelles relations de commutation ils satisfont, et dans quelle mesure ils conservent une interprétation combinatoire et représentationnelle. L’objectif est ainsi de mettre en évidence le lien entre algèbre, combinatoire des partitions et des tableaux, et théorie des représentations, tout en expliquant comment la construction classique de Jucys–Murphy se généralise à ce nouveau cadre.

• Jules Givelet
  Titre : Dualité de Koszul, opérades et enveloppantes.

Résumé : Les opérades algébriques sont des objets combinatoires permettant d'encoder (presque) toutes les structures algébriques que l'on peut imaginer (commutatives, de Lie, pré-Lie, post-Lie, etc). Ce cadre général fournit systématiquement une définition de représentation d'une algèbre et des méthodes pour calculer des groupes de cohomologies associés. Or, il se trouve que la notion de représentation d'une algèbre sur une opérade est équivalente à celle de module à gauche sur une certaine algèbre associative unitaire appelée algèbre enveloppante. J'étudie ces enveloppantes en comparant par exemple leur cohomologie de Hochschild avec la cohomologie opéradique des algèbres qu'elles enveloppent. Un exemple classique est l'identification de la cohomologie de Chevalley-Eilenberg d'une algèbre de Lie avec la cohomologie de Hochschild de son enveloppante grâce à la dualité de Koszul. En fonction du temps qu'il restera, j'exposerai les difficultés à généraliser cette comparaison au cas des algèbres de Leibniz qui forment une version non (anti-)symétrique des algèbres de Lie.

• Nicolas Guès
  Titre : Type d'homotopie modéré des espaces de longs noeuds.

Résumé : La théorie de l'homotopie rationnelle et la formalité de l'opérade des petits disques ont récemment eu de frappantes applications à l'étude des espaces de plongements. Après une introduction à ces sujets, j'expliquerai ici comment l'on peut étendre ces résultats au cadre de l'homotopie *modérée*, un raffinement de l'homotopie rationnelle du à Dwyer qui permet de récupérer une partie de la p-torsion dans les groupes d'homotopie pour p assez grand.

• Nicolas Heitz
  Titre : Autour du théorème de formalité de l'opérade des petits disques.
  Résumé : Le théorème de formalité, dû à Konsevitch, énonce une équivalence faible entre l'opérade des chaînes des petits disques en dimension n >=2, notée C_*(D_n), et son homologie, l'opérade de Poisson de degré n, notée P_n. En dimension 2, cette équivalence provient notamment de la théorie des associateurs de Drinfeld, ingrédient combinatoire clef dans la démonstration. J'essaierai de proposer une approche et des motivations de ce résultat, avant d'évoquer une généralisation à des variantes de l'opérade des petits disques en dimension 2.

• Tommy-Lee Klein
  Titre : La catégorie $t\Delta$ est une catégorie test. 

Résumé : Dans cette exposé on présentera une partie de la théorie de l’homotopie développée par Grothendieck dans « La poursuite des champs », on parlera de catégorie test, dont l’exemple canonique est la catégorie $\Delta$. En un mot, une catégorie test est une catégorie A telle que les préfaisceaux sur A modélise _canoniquement_ les types d'homotopies (en fait on peut faire plus général et modéliser _canoniquement_ d’autres localisations de Top). On montrera aussi que la catégorie $t\Delta$ de Verity est une catégorie test (stricte), et que la structure de catégories de modèles associé (sur $Psh(t\Delta)$) coïncide (pas seulement Quillen-équivalente, mais bien égale) avec la structure de modèle de Ozornova-Rovelli construite dans l’article [1]). C’est une première étape pour montrer que la catégorie des omega-catégories strictes marquées est bien un modèle des types d’homotopie, à l’instar des omega-catégories.

• Ryan Lamy
  Titre : Les tresses relevables.

Résumé : Nous commencerons avec des rappels brefs sur les groupes de tresses de surfaces et sur les groupes de difféotopies. Afin de relier ces deux objets, nous mentionnerons aussi la suite exacte de Birman. Ensuite, nous passerons par le double-revêtement de Birman-Hilden pour le disque à point marqués et tenterons de le généraliser à d'autres surfaces (ce qui sera pertinent pour les groupes de tresses de surfaces, pour plusieurs raisons). Ceci motivera l'étude des tresses relevables (à savoir les tresses de surfaces qui se relèvent dans le contexte de ce revêtement généralisé), et nous finirons sur des résultats récent les concernant.

• Yohan Mandin-Hublé
  Titre : Trisections et quadrisections de fibrés en cercles.
  Résumé : Dans cet exposé, je définirai les notions de trisection (resp. quadrisection) de variétés lisses et fermées et dimension quatre (resp. cinq), qui sont des découpages de ces variétés en trois (resp. quatre) morceaux, chacun de ces morceaux admettant une fonction de Morse avec des points critiques d'indice 0 et 1 uniquement. J'énoncerai des théorèmes généraux d'existence pour ces découpages, dus à Gay-Kirby et à Ben Aribi-Courte-Golla-Moussard respectivement. Je fournirai ensuite de nombreux exemples de constructions concrètes. Je me concentrerai notamment sur des constructions originales, issues d'un travail en cours, pour les variétés admettant une structure de fibré en cercles.

• Sardor Yakupov
  Titre : Espaces de modules et fibrations en dimension 4?
  Résumé : Le but de cet exposé est de faire le lien entre des objets en topologie de dimension 4 s'appelant des fibrations de Lefschetz (chirales, achirales ou cassées) et un objet venant de la géométrie algébrique des courbes - l'espace de modules via la notion de l'application classifiante. On explicitera la construction et si le temps le permet, on parlera des applications possibles de ce lien. L'exposé n'a pas de pré-requis ni de côté topologie en dimension 4, ni de côté géométrie des courbes, car on commencera par introduction de touts les objets nécessaires.