H-instantons are a distinguished type of connections on Riemannian n-manifolds, as they are generalizations of anti-self-dual connections to manifolds of dimensions greater than 4. Examples of H-instantons include primitive Hermitian Yang–Mills (pHYM) connections, Spin(7)-instantons, which have been of great interest in the recent years, and the less studied Sp(n)-instantons.
In this talk, I will describe Sp(2)-instantons on hyperkahler eight-manifolds and their relations with other gauge-theoretical objects. I will then describe the construction of examples of Sp(2)-instantons, pHYM connections and Spin(7)-instantons with symmetry on the manifold T*CP^2 with the Calabi hyperkahler structure.
Si bien la geometría de las superficies cuádricas de revolución es bien conocida en el espacio euclídeo, su comportamiento y clasificación dentro de la esfera tridimensional han sido, en gran medida, poco estudiados.
Abordamos esta laguna teórica mediante un estudio sistemático de las cuádricas esféricas de revolución no degeneradas (concretamente, elipsoides, hiperboloides y paraboloides). Se analizan geométricamente como superficies generadas por la revolución de cónicas esféricas alrededor de ejes geodésicos que son incidentes a sus focos u orientados ortogonalmente a ellos. Usando el momento angular esférico como invariante geométrico principal, este estudio identifica estas cuádricas como una categoría distinguida de superficies de Weingarten. Demostramos que estas superficies vienen determinadas de forma única por una relación funcional cúbica específica entre sus curvaturas principales. Además, estos resultados revelan una coherencia estructural inesperada en diferentes espacios ambientes, pues las relaciones cúbicas de Weingarten identificadas aparecen también en el contexto euclídeo y lorentziano, sugiriendo una universalidad común para las superficies cuádricas de revolución. (Trabajo conjunto con Daniel López-López de la Universidad de Jaén).
En esta charla abordaremos los espacio-tiempos de Finsler (o Lorentz-Finsler) y sus aplicaciones. Vale recordar que la geometría de Finsler es una extensión de la geometría riemanniana ideal para describir fenómenos donde la velocidad de propagación varía según la dirección (anisotropía). En este marco se presenta una generalización de la ley de Snell de refracción y reflexión para conos de luz y geodésicas en medios discontinuos, basada en el principio de Fermat. Dicha generalización es novedosa incluso para espacio-tiempos clásicos. La principal aplicación práctica de estas herramientas matemáticas es el modelado de la propagación de incendios forestales, integrando los efectos asimétricos del viento y la pendiente del terreno como frentes de onda anisotrópicos. En algunos casos, el terreno cambia de forma drástica y discontinua (por ejemplo, en la frontera de una zona de cultivo de cereales con un bosque), por lo que la ley de Snell adquiere gran relevancia. Finalmente, se analizan algunas implicaciones sorprendentes del estudio de espacio-tiempos de Finsler al cálculo de la curvatura bandera en métricas de Finsler clásicas.
Cancer is a very complex phenomenon that involves many different scales and situations. In this talk we consider some models describing the evolution of a tumor colony and we derive a new asymptotic model for tumor growth. We focus on the case of a single phase tumor colony taking into account chemotactic effects in an early stage where there is no necrotic inner region. Thus, our model is valid for the case of multilayer avascular tumors with very little access to both nutrients and inhibitors or the case where the amount of nutrients and inhibitors is very similar to the amount consumed by the multilayer tumor cells. Our model takes the form of a single nonlocal and nonlinear partial differential equation.
Besides deriving the model, we also prove a well-posedness result in a particular case.
This talk is based on joint works with R. Granero-Belinchón.
We study a variational model for the joint reconstruction of image sequences and their velocity fields from noisy data, subject to a transport constraint interpolating between optical flow and the continuity equation. The model combines anisotropic total-variation regularization with data fidelity, and we investigate the existence and uniqueness of minimizers across the full range of regularization parameters, including degenerate boundary regimes.
Using tools from the calculus of variations and parabolic regularity theory, we establish existence through a viscous relaxation and derive a sufficient condition for uniqueness on short time horizons. Since uniqueness may fail when one regularization parameter tends to infinity, we introduce a coupling condition between the weights. Combined with an exact-penalization argument, this yields existence and uniqueness of minimizers throughout the resulting parameter region, including its boundary.
Joint work with Elisa Davoli and Samuele Riccò (TU Wien).
El espacio proyectivo complejo ℂPⁿ, que parametriza las rectas complejas de ℂⁿ⁺¹, es uno de los objetos más estudiados en geometría algebraica y compleja. La primera métrica de Einstein que se descubrió en ℂPⁿ fue la métrica de Fubini–Study, y en 1965 Berger preguntó si era la única. En 1982, Ziller construyó una segunda métrica de Einstein homogénea en dimensiones complejas impares. La pregunta de Berger siguió abierta en dimensiones complejas pares, donde Fubini–Study era la única métrica de Einstein conocida.
Junto con Gonzalo Cao Labora (EPFL, Suiza), hemos construido nuevas métricas de Einstein en ℂPⁿ para n ∈ {3, 4, 5, 6, 7}. Son los primeros ejemplos conocidos que no son homogéneos ni hermitianos y, junto con las métricas de Fubini–Study y de Ziller, los únicos conocidos hasta la fecha. Nuestra construcción resuelve la pregunta de Berger en los casos n = 4 y n = 6, que hasta ahora estaban abiertos.
En esta charla presentaremos refinamientos de desigualdades clásicas de la geometría convexa, en particular de la desigualdad isoperimétrica, bajo distintas hipótesis relacionadas con las proyecciones ortogonales de cuerpos convexos. Analizaremos cómo estas condiciones permiten obtener versiones refinadas de las desigualdades de Brunn-Minkowski y Minkowski, así como de otros resultados fundamentales, incluso cuando no se exige que las proyecciones coincidan como conjuntos o tengan el mismo volumen.
Un resultado destacado caracteriza los casos de igualdad de la desigualdad isoperimétrica refinada, que corresponden a las llamadas salchichas, cuerpos obtenidos como suma de Minkowski de una bola y un segmento ortogonal. Estas ideas permitirán presentar una nueva demostración geométrica de que las salchichas son conjuntos de Cheeger y explorar el papel de estos conjuntos en la geometría convexa, así como algunas de sus propiedades geométricas.
Trabajo conjunto con N. Lombardi, C. Richter, and L. Wiegmann.