En esta charla exploraremos la evolución de curvas cerradas y convexas mediante constrained curvature flows en superficies de Hadamard con curvatura pinzada. En primer lugar veremos que, bajo hipótesis muy generales, las soluciones existen para todo tiempo y la curvatura acaba estabilizándose en un valor límite.
Después nos centraremos en el caso del area-preserving curve shortening flow. Supondremos que la superficie es rotacionalmente simétrica y que la curvatura gaussiana decrece radialmente. Bajo estas condiciones, y partiendo de una curva convexa con un área inicial dada, la dinámica del flujo fuerza a las curvas a aproximarse exponencialmente a un círculo geodésico centrado en el polo.
Given (M,g) a Riemannian manifold, let us consider the Lorentzian product manifold M × R1, that is, the product manifold M × R endowed with the Lorentzian metric g = g − dt2.
In the case n=2, Albujer and Alías [AA] presented some Calabi-Bernstein results for maximal surfaces in M2 × R, M2 being a complete surface with non-negative Gaussian curvature. In fact, they obtained both a parametric and a non-parametric version of this theorem. Furthermore, they showed that the result is no longer true when M2 is the hyperbolic plane, see [A, AA]. Recently, Albujer, Cruz and dos Santos [ACS] have extended the Calabi-Bernstein result for maximal surfaces in Mn(c) × R, where Mn(c) stands for an n-dimensional (n bigger ot equal than 2) Riemannian manifold of non-negative constant sectional curvature. In this talk we will make a review of all the above results.
References:
[A] A. L. Albujer. New examples of entire maximal graphs in Hn× R1, Differential Geom. Appl. 26 (2008), no. 4, 456–462.
[AA] A. L. Albujer and L. J. Alías. Calabi-Bernstein results for maximal surfaces in Lorentzian product spaces, J. Geom. Phys. 59 (2009), no. 5, 620–631.
[ACS] A. L. Albujer, J. P. Cruz and F. R. dos Santos. A Calabi-Bernstein type result in Mn(c) × R1, preprint, 2025.
The aim of this talk will be to present certain results for manifolds lying at the interface between hyperbolic geometry and Riemannian geometry. More precisely, certain identities (or inequalities) specific to hyperbolic geometry admit a natural counterpart in Riemannian geometry. We will explain several results illustrating this point of view.
Based on joint works with David Físac, Louis Merlin and Wolfgang Pitsch.
Introduciremos las nociones de momento lineal geométrico de una curva plana Euclídea o Lorentziana con respecto a una recta. Utilizándolos como herramienta clave, estudiaremos las superficies de revolución en el espacio de Lorentz-Minkowski desde un nuevo enfoque a través de los correspondientes momentos lineales geométricos de la curva generatriz con respecto al eje de revolución. Seguiremos las mismas líneas de trabajo que se emplearon en el caso del espacio euclídeo o de la 3-esfera. De esta manera, clasificaremos ciertas familias de superficies Weingarten rotacionales.
El objetivo de esta charla es presentar la clasificación de acciones polares que inducen una foliación en espacios simétricos de rango uno y tipo no compacto, es decir, los espacios hiperbólicos sobre los números reales, complejos, cuaterniónicos y el plano hiperbólico de Cayley.
Abordamos el estudio de la existencia de métricas de Einstein en una clase conforme dada. La primera situación no trivial ocurre en dimensión cuatro, donde el problema presenta interesantes relaciones con otras cuestiones geométricas. El objetivo de la charla será introducir los problemas de existencia y unicidad, así como ilustar los mismos con algunas soluciones tanto en el ámbito Riemanniano como Lorentziano.
Solving Quantum Optics problems using high-school trigonometry
In this talk, we show that elementary trigonometric techniques, together with Toponogov’s Comparison Theorem as the central Riemannian ingredient, enable approximation schemes for quantum gates implemented in linear optical architectures.
El objetivo de esta charla es analizar la relación entre tres conceptos asociados a un espacio-tiempo con borde temporal: la convexidad (luz) de su borde, la estructura del espacio de geodésicas luz del interior y su posición dentro de la denominada escalera causal.
Estructuraremos la charla del siguiente modo: Primero revisaremos algunos conceptos básicos relacionados con la estructura causal de un espacio-tiempo, con especial énfasis en las nociones de causalidad simple y de global hiperbolicidad. Introduciremos el espacio de geodésicas luz, al que dotaremos de una estructura topológica. Definiremos diversos conceptos de convexidad en el borde de un espacio-tiempo con borde temporal. Finalmente, mostraremos las interacciones que existen entre todos estos elementos.
Esta charla está basada en el siguiente trabajo: https://arxiv.org/abs/2506.09032
In this talk we will discuss some rigidity results for bounded positive solutions of the general capillary overdetermined problem:
div (∇u / √(1+|∇u|²)) + f(u) = 0 in Ω ⊂ ℝⁿ,
u = 0 on ∂Ω,
∂u/∂ν = const. on ∂Ω.
Our main theorem states that in dimension 2, under some natural assumptions on the function f and the boundedness of |∇u|, the existence of a solution of the previous problem in a domain Ω diffeomorphic to a half-space implies that Ω is a half-space and u is a one dimensional function. We also prove the boundedness of the gradient of the solution when f'(u) <0. With this, our results have an interesting physical application to the classical capillary overdetermined problem, i.e., the case where f is linear. This is a joint work with Y. Lian.