25/01/2022

Visando facilitar o cálculo de filetes e a produção de uma tabela de coordenadas para a programação em Cálculo Numérico Computadorizado (CNC), foi disponibilizado o programa Calculadora de CNC (CCNC), o qual foi desenvolvido pelo meu amigo, Alexandre Zucki Baciuk para os estudantes dessa disciplina da turma de mecânica do IFPR - Campus Curitiba.

Para baixar o arquivo .rar com o programa, acesse: https://docs.google.com/uc?export-download&id=1UAUfoUBbcveNU-Vx94cAY0bAcP5Tudsa

Para ter orientações acerca da utilização do programa respectivo, clique em: https://youtu.be/JfZLgmc1trU

21/12/2021

Com o objetivo de permitir uma visualização no espaço tridimensional dos ternos ou triplas pitagóricas foi desenvolvido o respectivo programa, o qual integra uma pesquisa mais ampla perante o assunto iniciada recentemente. 

Para baixar o arquivo .rar com o instalador do programa, acesse: https://docs.google.com/uc?export-download&id=1Up5YV1iSI5ZJTIsrEZzjbuPhhCYMrba9

Para ter orientações acerca da instalação, configuração e manipulação do gráfico de dispersão 3D, clique aqui: https://youtu.be/-_hXFhsYVlQ

01/12/2021

Foram disponibilizadas na sequência todas as notas de aula (ou apostilas) da disciplina de MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear (GAAL). Agradeço ao professor Luiz Fernando Nunes do Departamento de Matemática (DAMAT) da UTFPR - Campus Curitiba pela gentileza de permitir o compartilhamento desse material produzido por ele. Tais notas de aula não pretendem de forma alguma substituir os livros do assunto, mas certamente resumem muito bem esses e ajudam a orientar os estudos nessa área do conhecimento.

15/04/2022

Muitas vezes não damos a devida atenção para certas disciplinas nos cursos da área de informática, como é o caso de Matemática Discreta. Vários alunos (e eu inclusive) temos medo de tal matéria por conta de um formalismo "exagerado", porém totalmente adequado às demonstrações matemáticas. Nesse sentido, muitos não entendem o porquê de estudarmos esses tópicos por desconhecerem as suas aplicações. Assim, produzi um artigo mostrando de que forma o conceito de recursão pode aumentar a qualidade de um algoritmo (de forma metafórica, a qual foi inclusive citada no artigo, podemos comparar o conceito de recursão com uma boneca russa – em especial no que atine à propriedade 2 posta logo abaixo). Nesse contexto, foi discutido um algoritmo para cálculo do fatorial, apresentado pelo meu amigo Rodrigo, e de que forma a recursão pode tornar a estimativa mais precisa. Dentro do que foi calculado quanto ao fatorial, para um determinado valor o algoritmo com recursão foi 14 vezes a mais preciso do que aquele sem o uso da recursão!

Dessa forma, caso tenha interesse em ler o artigo, baixe pelo link:

https://docs.google.com/uc?export=download&id=1nKUv61b3QALdmOxmwqwLhg6fkQnyIZdV

26/02/2022

A linguagem de marcação LaTeX é extremamente útil para uma série de situações. Uma delas é quando você precisa produzir figuras e formas geométricas com alta qualidade. Nesse sentido, o LaTeX possui dois pacotes muito utilizados para tal fim, a saber: o TikZ e o tkz-euclide (vídeos do canal do Antero Neves detalham muito bem tais pacotes). Assim, dois vídeos foram publicados no meu canal mostrando como reproduzir figuras dos exercícios 47 e 48 da prova de Conhecimentos Gerais do Vestibular da UFPR de 2020/2021, empregando comandos majoritariamente do tkz-euclide. Dessa forma, evita-se com tais pacotes a necessidade de produzir desenhos a mão e de baixa qualidade em um programa como Paint, Word ou Power Point. Com isso, percebe-se que tal conhecimento é certamente muito proveitoso para professores de matemática ao elaborarem suas avaliações e listas de exercícios, evitando alguns dos deslizes cometidos até mesmo na produção dessas representações na prova em questão. 

13/12/2021

Conforme normatizado para C ANSI, existem alguns códigos de escape que são utilizados para imprimir na tela caracteres com determinada cor. Assim, para por na tela como cor de fundo, precisa-se do código de escape "\033[48;5;#nm" no printf. Já para colocar em primeiro plano, é necessário o código "\033[38;5;#nm". O #n deve ser substituído pelo valor que se refere a cor, em uma escala que vai de 0 a 255. Para que seja possível visualizar todas as possibilidades de cor, desenvolveu-se o código em C abaixo. Ademais, outros códigos de escape ANSI foram mostrados em uma figura na sequência, bem como a saída do catálogo no executável.

Fontes: https://gist.github.com/fnky/458719343aabd01cfb17a3a4f7296797

https://en.wikipedia.org/wiki/ANSI_escape_code 

13/02/2022

Ontem comecei a olhar os vídeos do meu canal do YouTube e me recordei da live que fiz ano passado (23/01/2021) para o Vestibular da UFPR e ENEM. Acabei percebendo que eu esqueci de responder o desafio que havia deixado no final daquela live. Nesse sentido, hoje você ficará sabendo como demonstrar que a soma dos triângulos retirados de um Triângulo de Sierpinski é de fato igual ao triângulo equilátero que os circunscrevem. Para simplificar foi demonstrado o processo inverso de inserir triângulos e não retirá-los (o que dá na mesma, bastando considerar a soma negativa ao final). Para isso, são suficientes os conhecimentos do Ensino Médio relativos à semelhança de triângulos, área de triângulos equiláteros e sequências. 

Assim, caso tenha interesse em ler a demonstração para tal problema, faça o download do artigo pelo link: https://docs.google.com/uc?export=download&id=1gf9kagr2tJGwRSlOO8X6MWUWlZWqeENx

Para rever o problema proposto na live para resolução de exercícios para ENEM e UFPR, acesse: https://youtu.be/KyXaK4XAq3k?t=7876

29/01/2022

Eu estava acompanhando algumas aulas do Programa de Aperfeiçoamento de Professores de Matemática (PAPMEM) como rotineiramente o faço e com as quais geralmente aprendo muitos exemplos de problemas matemáticos interessantes. Então, deparei-me com uma aula do Professor Paulo Cezar que me despertou uma certa curiosidade: nela ele discutia algumas aplicações dos sistemas lineares que aprendemos a resolver nas disciplinas de Álgebra Linear da faculdade. Uma delas envolvia fluxos de produtos (com cada nó representado por um grafo) em uma cadeia logística de suprimentos e um sistema linear era gerado assumindo que as entradas de cada nó devem ser iguais às saídas. Este exemplo por si só já era deveras instigante. Todavia, na sequência ele trouxe um outro exemplo que literalmente (mas nem tanto) "explodiu a minha cabeça". Ele mostrou de maneira simplificada o Algoritmo do Google que faz o ranking de sites, empregando o conceito de sistema linear. Dessa forma, vou reproduzir em suma o raciocínio que ele abordou na aula gravada.

Primeiro, veja a figura disposta a seguir. Ela representa cada umas das páginas e as referências que elas fazem entre si na forma de grafos. Assim, podemos ver que existem páginas que apontam para outras e concomitantemente essas são apontadas por outras páginas. Destarte, devemos fazer uma tabela com cada uma das páginas e contar o número de páginas para as quais ela aponta e anotar aquelas pelas quais ela foi apontada. Para o caso em questão, o resultado seria o seguinte:

Página 1 -> Aponta para 2 páginas -> Apontada por 2 e 4

Página 2 -> Aponta para 2 páginas -> Apontada por 1

Página 3 -> Aponta para 1 página -> Apontada por 5

Página 4 -> Aponta para 1 página -> Apontada por 3

Página 5 -> Aponta para 1 página -> Apontada por 1 e 2

Então, para cada uma das páginas vamos gerar uma equação que vai explicitar a importância daquela página. Iniciemos, portanto, pela página 1:

Ela foi apontada pelas páginas 2 e 4, logo a importância da página 1 deve estar em função das páginas 2 e 4, com coeficientes ainda desconhecidos, ou seja: x1 = a*x2 + b*x4. Contudo, pelo Algoritmo do Google, o coeficiente correlato é inversamente proporcional ao número de apontamentos que aquela página faz (inversamente, porque se assume que quanto mais apontamentos uma página fizer, menos seletiva ela deve ser com as fontes que utiliza). Nesse sentido, como a página 2 aponta para outras duas páginas seu coeficiente a = 2, enquanto a página 4 aponta apenas para uma, isto é, b = 1. 

Com isso, chegamos que a equação que expressa a importância da primeira página deverá ser a seguinte:

x1 = (1/2)*x2 + x4

Podemos aplicar o mesmo raciocínio às demais páginas e com isso obteremos o sistema de equações lineares respectivo: 

x1 = (1/2)*x2 + x4

x2 = (1/2)*x1

x3 = x5

x4 = x3

x5 = (1/2)*x1 + (1/2)*x2

Caso analisemos esse sistema, seja pelo método do escalonamento ou por determinantes, veremos que ele só pode ser um Sistema Possível e Indeterminado (SPI). Sendo assim, uma abordagem seria supor a existência de mais uma equação para forçar uma solução do sistema que mostre a desigualdade das importâncias, sem que nos preocupemos com o valor em si delas, como é o caso de:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1

Com ela, teremos os seguintes valores para as páginas 1, 2, 3, 4 e 5:

x1 = 0,266666...

x2 = 0,133333...

x3 = 0,2

x4 = 0,2

x5 = 0,2

Nesse sentido, a ordem das páginas no mecanismo de busca deveria ser necessariamente:

1) Página 1

2) Páginas 3, 4 e 5

3) Página 2

Para ordenar as páginas 3, 4 e 5 teríamos que então adotar algum critério de desempate ou algo parecido, o que não nos cabe aqui até pela simplicidade do exemplo abordado. Em uma situação real de ranqueamento do Google teríamos provavelmente milhões de páginas disponíveis para escalonar. De qualquer forma, foi possível ter uma boa noção do método matemático adotado para organizar e ordenar as páginas que esses buscadores como o Google usam. 

Agora, se você estiver interessado em uma definição mais rigorosa do método utilizado pelo Google, a qual emprega diretamente a ideia de probabilidade, acesse a patente US 6285999 B1 do inventor Lawrence Page, um dos cofundadores do Google, e veja a sua descrição detalhada.  Aliás, está acessível o artigo da edição 80 da Revista do Professor de Matemática (RPM) que foi usado para embasar a apresentação do Algoritmo do Google pelo professor Paulo Cezar.

10/01/2022

Os triângulos retângulos de lados 3:4:5 são conhecidos como um dos "macetes" envolvendo o Teorema de Pitágoras e muito provavelmente você já viu (ou verá) algum desses em uma questão de matemática ou física da escola. Porém, poucos sabem que o triângulo 3:4:5 é o único tipo de triângulo retângulo cujos lados se encontram em progressão aritmética (PA), haja vista os lados 3:4:5 equivalerem a 3:3+1:3+1+1. 

Alguns exemplos de triângulos 3:4:5 são:

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (18, 24, 30), (21, 28, 35), (24, 32, 40), (27, 36, 45), ...

Logo, podemos dizer que todo triângulo 3:4:5 é da forma:

k*(3, 4, 5), ou seja, é um múltiplo positivo (e maior ou igual a 1) do caso particular (3, 4, 5).

Assim, foi posta na sequência a demonstração na forma de vídeo de que os triângulos 3:4:5 são os únicos com os lados em PA.

Ademais, para visualizar uma representação de alguns triângulos 3:4:5 no Geogebra, acesse: https://www.geogebra.org/calculator/m7mtqvn8

Serão mostradas a seguir também as fórmulas para a obtenção dos pontos necessários para tal representação, assumindo que o ponto A se encontra na origem do plano cartesiano.

31/10/2021

As equações diofantinas são equações de duas ou mais variáveis que, geralmente, têm infinitas soluções. As equações diofantinas lineares têm a forma ax+b=c, sendo as letras a, b e c coeficientes da equação, devendo o mdc(a,b) divide c. Vários problemas matemáticos têm relação com esse tipo de equação e podem ser transformados em uma equação diofantina. O motivo disso é que as equações diofantinas, em face do fato das variáveis deverem ser inteiras, garantem uma propriedade de pontos de latência. Um dos principais problemas dessa natureza é o Problema do Círculo de Gauss, o qual utiliza equações diofantinas quadráticas e do qual faremos uma postagem futuramente aqui no site. Aliás, muitos dos problemas em aberto na matemática dentro da área da aritmética envolvem direta ou indiretamente equações diofantinas. Não só isso, o Teorema de Fermat-Wiles, que se manteve em aberto por centenas de anos, é uma generalização da inexistência de soluções para expoentes maiores que 2 na equação diofantina x^n+y^n=z^n. Colocamos em seguida dois vídeos de explicação sobre as equações diofantinas lineares, outro com um exercício e, por fim, um vídeo que estabelece uma relação trivial entre o Problema de Gauss e o Teorema de Pick. 

30/10/2021

A pergunta pode parecer estranha em um primeiro momento, porém existe uma forma muito interessante de interpretar áreas de polígonos. Nela utilizamos o número de pontos que compõem a fronteira da figura (b) e o número de pontos internos a ela (i). A área do polígono (S) será exatamente o antecessor da adição da metade dos pontos de fronteira (b/2) com os pontos internos (i). Logo, tem-se assim o Teorema de Pick, descoberto por Georg Alexander Pick em 1899: S = i + b/2 - 1. Certamente, esse é um teorema bastante importante na área de pontos de latência na matemática. Assim, abaixo colocamos dois vídeos sobre o tema, um explicando a fórmula e outro com um exercício envolvendo recorrências e o respectivo teorema.  

30/10/2021

Para essa pergunta, a Geometria Analítica nos fornece a ferramenta da Fórmula do Cadarço, conhecida também como Fórmula de Gauss. Essa fórmula permite que se calcule a área de qualquer polígono quando se têm as coordenadas x e y desses pontos. Assim, é feito o produto "cruzado" de tais coordenadas como se fosse um cadarço. Para calcular a área é feito o módulo da metade da diferença entre a soma dos produtos das diagonais principais e a soma dos produtos das diagonais secundárias. Cabe lembrar que a última "linha" nesse cadarço é a repetição do primeiro ponto. Aliás, é importante que as coordenadas dos vértices sejam postas conforme esses sejam adjacentes entre si. Esse método pode muito bem ser aplicado ao cálculo de áreas de integrais definidas e, quando feito, têm comportamento próximo das regras trapezoidais. Nesse sentido, logo abaixo foi disponibilizado um vídeo sobre a fórmula, incluindo uma planilha que permite o cálculo da integral definida de algumas funções por esse método. 

Fonte da figura: By Job Bouwman - Own work, CC BY-SA 4.0.