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Día 1: 16 de diciembre de 2024
[todas las charlas son en el Salón de Seminarios del IMERL]
10:30 - 11:30
Alina Iacob [Georgia Southern University]
Abstract: Enochs' conjecture states that every covering class of modules is closed under direct limits. We show that the class of Gorenstein injective modules satisfies this conjecture. More precisely, we prove that the following statements are equivalent:
The class of Gorenstein injective left R-modules is covering.
The class of Gorenstein injective left R-modules is special precovering.
The class of Gorenstein injective left R-modules is closed under direct limits.
The ring R is left noetherian and the character module of any Gorenstein injective left R-module is a Gorenstein flat right R-module.
11:30 - 12:00
PAUSA DE CAFÉ Y REFRIGERIOS
PAUSA DE CAFÉ Y REFRIGERIOS
12:00 - 13:00
PREGUNTA DE HAPPEL Y LA TAU-COHOMOLOGÍA DE HOCHSCHILD.
CONJETURA DE HAN Y LA TAU-HOMOLOGÍA DE HOCHSCHILD.
PREGUNTA DE HAPPEL Y LA TAU-COHOMOLOGÍA DE HOCHSCHILD.
CONJETURA DE HAN Y LA TAU-HOMOLOGÍA DE HOCHSCHILD.
Marcelo Lanzilotta [IMERL - Universidad de la República]
Resumen:
(1) En una primera etapa hemos definido la Tau-cohomología de Hochschild (Tau-cH), para un álgebra de dimensión finita. A pesar de que la Tau-cH tiene mayor dimensión que la cohomología de Hoschild usual, si el álgebra es de dimensión global finita la Tau-cH se anula a partir de cierto nivel, o sea es finita.
También es sabido que la respuesta a la pregunta de Happel: ¿cH(A) finita => gldim(A) finita? es negativa. Es decir, hay ejemplos de álgebras de dimensión global infinita pero con cH(A) finita. Sin embargo, mantiene sentido considerar la versión "Tau" de la pregunta de Happel: ¿Tau-cH(A) finita => gldim(A) finita? Surge así la necesidad de tratar con álgebras de dimensión global infinita + (las definiremos). En particular vale que: las álgebras con dimensión global infinita + tienen dimensión global infinita. ¿Vale el recíproco?
Finalmente el resultado central de esta parte es:
Un álgebra es de dimensión global infinita si y solo si su Tau-cohomología de Hochschild es infinita.
(2) Por otro lado se ha avanzado en definir la Tau-homología de Hochschild (Tau-H), para un álgebra de dimensión finita. A pesar de que la Tau-H tiene mayor dimensión que la homología de Hoschild usual, si el álgebra es de dimensión global finita la Tau-homología de Hochschild (Tau-H) se anula a partir de cierto nivel, o sea es finita.
La conjetura de Han: ¿H(A) finita => gldim(A) finita? aún no tiene respuesta. Es decir, no hay ejemplos de álgebras de dimensión global infinita y con H(A) finita, ni tampoco una prueba de la implicación arriba planteada.
Tiene también sentido considerar la versión "Tau" de la conjetura de Han: ¿Tau-H(A) finita => gldim(A) finita? Surge así la necesidad de tratar con álgebras de dimensión global infinita co-+ (las definiremos). Las álgebras con dimensión global infinita co-+ tienen dimensión global infinita. ¿Vale el recíproco?
Un resultado central de esta segunda parte es:
Un álgebra es de dimensión global infinita co-+ si y solo si su Tau-homología de Hochschild es infinita.
Marcelo Lanzilotta [IMERL - Universidad de la República]
Resumen:
(1) En una primera etapa hemos definido la Tau-cohomología de Hochschild (Tau-cH), para un álgebra de dimensión finita. A pesar de que la Tau-cH tiene mayor dimensión que la cohomología de Hoschild usual, si el álgebra es de dimensión global finita la Tau-cH se anula a partir de cierto nivel, o sea es finita.
También es sabido que la respuesta a la pregunta de Happel: ¿cH(A) finita => gldim(A) finita? es negativa. Es decir, hay ejemplos de álgebras de dimensión global infinita pero con cH(A) finita. Sin embargo, mantiene sentido considerar la versión "Tau" de la pregunta de Happel: ¿Tau-cH(A) finita => gldim(A) finita? Surge así la necesidad de tratar con álgebras de dimensión global infinita + (las definiremos). En particular vale que: las álgebras con dimensión global infinita + tienen dimensión global infinita. ¿Vale el recíproco?
Finalmente el resultado central de esta parte es:
Un álgebra es de dimensión global infinita si y solo si su Tau-cohomología de Hochschild es infinita.
(2) Por otro lado se ha avanzado en definir la Tau-homología de Hochschild (Tau-H), para un álgebra de dimensión finita. A pesar de que la Tau-H tiene mayor dimensión que la homología de Hoschild usual, si el álgebra es de dimensión global finita la Tau-homología de Hochschild (Tau-H) se anula a partir de cierto nivel, o sea es finita.
La conjetura de Han: ¿H(A) finita => gldim(A) finita? aún no tiene respuesta. Es decir, no hay ejemplos de álgebras de dimensión global infinita y con H(A) finita, ni tampoco una prueba de la implicación arriba planteada.
Tiene también sentido considerar la versión "Tau" de la conjetura de Han: ¿Tau-H(A) finita => gldim(A) finita? Surge así la necesidad de tratar con álgebras de dimensión global infinita co-+ (las definiremos). Las álgebras con dimensión global infinita co-+ tienen dimensión global infinita. ¿Vale el recíproco?
Un resultado central de esta segunda parte es:
Un álgebra es de dimensión global infinita co-+ si y solo si su Tau-homología de Hochschild es infinita.
13:00 - 14:30
PAUSA DE ALMUERZO
PAUSA DE ALMUERZO
14:30 - 15:30
Aldo M. Rodríguez [PEDECIBA - Universidad de la República]
Resumen: Una extensión de álgebras es un homomorfismo de álgebras que preserva la identidad. En 2004, Changchang Xi utilizó extensiones de álgebras para estudiar la conjetura de la dimensión finitista sobre álgebras de Artin. En particular, demuestra que si se tiene una extensión de álgebras de Artin f : B -> A tal que el radical de B es un ideal de A, entonces si A es de tipo de representación finita la dimensión finitista de B es finita. Por otro lado prueba que si A es un álgebra de Artin con dos ideales I y J tal que IJ = 0 y A/J y A/I son de tipo de representación finita, entonces A tiene dimensión finitista finita. En 2018, Shugfeng Guo, utilizando la misma metodología, obtiene resultados que generalizan los obtenidos por Changchang Xi.
En mi trabajo de tesis de maestría, además de desaroollar algunas de las ideas planteadas por Xi y Guo, y brindar algunos ejemplos que evidencian el potencial de dichos resultados, logro vincular dos de los resultados planteados por Guo englobándolos en un solo enunciado que en cierta forma generaliza los anteriores. Además, de esta proposición se obtiene un resultado que no fue observado por Guo.
En esta presentación se pretende exponer las principales ideas desarrolladas en dichos trabajos.
15:30 - 16:00
PAUSA DE CAFÉ Y REFRIGERIOS
PAUSA DE CAFÉ Y REFRIGERIOS
16:00 - 17:00
UN PASEO INGENUO EN EL ESPACIO DE REPRESENTACIONES DE CARCAJES
UN PASEO INGENUO EN EL ESPACIO DE REPRESENTACIONES DE CARCAJES
Marcos Barrios [IMERL - Universidad de la República]
Resumen: Para un quiver finito con relaciones, el espacio de representaciones de vector dimensión n es una variedad algebraica. Varios resultados se pueden obtener estudiando la estructura geométrica de este espacio, por ejemplo, resultados asociados a quivers de representación finita, o a quivers con dimensión global finita.
En esta charla observaremos qué ocurre cuando intentamos trabajar con la topología usual de K^N en el espacio de representaciones para un vector dimensión fijo.
Comenzaremos observando los problemas naturales aparecen al hacer la elección de esta topología y cómo muchas propiedades algebraicas no se acoplan bien. Luego mostraremos que el operador sizigia es continuo en esta topología y finalmente concluiremos que la dimensión proyectiva tiene máximo local en cada representación.
Día 2: 17 de diciembre de 2024
[todas las charlas son en el Salón de Seminarios del IMERL]
10:30 - 11:30
OBJETOS m-PERIÓDICOS GORENSTEIN
OBJETOS m-PERIÓDICOS GORENSTEIN
Mindy Y. Huerta [Facultad de Ciencias - Universidad Nacional Autónoma de México]
Resumen: En esta plática abordaremos el concepto de objetos m-periódicos Gorenstein relativos a un par (A,B) de clases de objetos en una categoría abeliana, como una generalización de los módulos "m-strongly" Gorenstein proyectivos sobre anillos asociativos. Veremos varias propiedades cuando (A,B) es un par GP-admisible.
11:30 - 12:00
PAUSA DE CAFÉ Y REFRIGERIOS
PAUSA DE CAFÉ Y REFRIGERIOS
12:00 - 13:00
CONDICIONES DE COFINITUD SOBRE MÓDULOS Y ANILLOS [online]
CONDICIONES DE COFINITUD SOBRE MÓDULOS Y ANILLOS [online]
Johan Cortés [PEDECIBA - Universidad de la República]
Resumen: Haremos un recorrido por los R-módulos finitamente n-copresentados, anillos n-cocoherentes y algunas de las propiedades presentadas por Z. Zhu en [3] y D. Bennis, H. Bouzraa y A. Kaed en [1]. Estas propiedades son de gran utilidad para estudiar el álgebra homológica relativa a la clase de R-módulos finitamente n-copresentados, denotada por FCPn, desde un punto de vista proyectivo, es decir, considerando los R-módulos que tienen una propiedad de anulación con respecto a FCPn y el funtor Ext. Esta clase de módulos, llamados FCPn-proyectivos, la denotaremos por FCPn−Proj. Algunos de los resultados presentados en esta charla son adaptaciones de las propiedades de la clase dual formada por los R-módulos FPn-inyectivos, presentados por D. Bravo y M. A. Pérez en [2].
Día 3: 18 de diciembre de 2024
[todas las charlas son en el Salón de Seminarios del IMERL]
10:30 - 11:30
Alejandro Argudín [Facultad de Ciencias - Universidad Nacional Autónoma de México].
Resumen: Una categoría de Gorenstein es una categoría abeliana que tiene propiedades homológicas similares a la categoría de módulos de un anillo Gorenstein. Por ejemplo, para un carcaj Q y un anillo Gorenstein R, es bien sabido que la categoría de representaciones de Q en R es una categoría de Gorenstein. El objetivo de esta plática será recordar este y otros resultados similares. Entre ellos, daremos una caracterización de los objetos Gorenstein proyectivos y los objetos Gorenstein inyectivos en la categoría de representaciones de un carcaj Q en una categoría de Gorenstein C bajo ciertas condiciones.
11:30 - 12:00
PAUSA DE CAFÉ Y REFRIGERIOS
PAUSA DE CAFÉ Y REFRIGERIOS
12:00 - 13:00
FACTORIZANDO A PARTIR DE CORTES DE COTORSIÓN
FACTORIZANDO A PARTIR DE CORTES DE COTORSIÓN
Marco A. Pérez [IMERL - Universidad de la República]
Resumen: Los sistemas de factorización débiles aparecen naturalmente en el estudio de categorías de modelos. De hecho, una estructura de modelos sobre una categoría está definida por un par de sistemas de factorización débiles que son compatibles en cierto sentido. Existe una correspondencia biyectiva entre cierto tipo de estos sistemas, conocidos como admisibles o abelianos, y los pares de cotorsión completos. De hecho, esta biyección es la base de la demostración de la conocida correspondencia de Hovey.
Los pares de cotorsión completos, por otro lado, son herramientas utilizadas en álgebra homológica relativa para construir aproximaciones a partir de las dos clases de objetos en una categoría abeliana que conforman tales pares. Esto es útil para definir otras dimensiones homológicas distintas a (y a veces conectadas con) las dimensiones proyectivas e inyectivas clásicas. Sin embargo, no siempre es posible obtener aproximaciones de interés para todos los objetos de la categoría abeliana ambiente, pero sí en ciertas subcategorías (esto puede pasar por ejemplo al trabajar con algunos módulos Gorenstein sobre anillos arbitrarios). Conceptualmente, este fenómeno de aproximar "localmente" se puede describir mediante pares de cotorsión cortados (ver [1]). El propósito de esta charla es encontrar posibles análogos locales al concepto de sistema de factorización débil que estén en correspondencia biyectiva con los pares de cotorsión cortados.
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