Oradores
Milton Jara
Convergencia fina de cadenas de Markov
El objetivo de este mini-curso es introducir el concepto de convergencia fina de cadenas de Markov. Este concepto intenta dar un tratamiento unificado a problemas de convergencia en cadenas de Markov, como el cálculo de tiempos de mixtura, problemas de metastabilidad y límites de escala. Daremos prioridad a la presentación de una gran cantidad de ejemplos, como sistemas de partículas, cadenas de campo medio, modelos epidemiológicos y genéticos, por sobre la presentación de demostraciones, especialmente porque muchas de las demostraciones aún no existen.
Santiago Saglietti
Introducción a los procesos de ramificación de Galton-Watson
La teoría de procesos de ramificación se originó en el siglo XIX con Galton y Watson, que propusieron su (ahora famoso) modelo para intentar estudiar la evolución de los árboles genealógicos familiares de una población dada a lo largo del tiempo.
Hoy en día, la teoría de procesos de ramificación es un eje central de la teoría de probabilidad, con aplicaciones diversas en Biología, Genética de poblaciones, Química y Física, entre otras disciplinas.
En este curso presentaremos el modelo original de Galton y Watson, describiremos algunas de sus propiedades básicas y demostraremos algunas de ellas utilizando las técnicas más recientes de descomposición espinal y árboles sesgados por tamaño desarrolladas por Lyons, Pemantle y Peres.
Soledad Torres
Ecuaciones Diferenciales Estocásticas dirigidas por el movimiento Browniano fraccionario
Inés Armendariz
Procesos zero-range con condensación
Los procesos zero-range son modelos de partículas interactivas donde las partículas saltan entre distintas posiciones de un grafo de acuerdo a tasas que dependen solamente de la posición y la cantidad de partículas presentes en el sitio de partida. Ejemplos simples de los procesos zero-range son los paseantes aleatorios independientes y sistemas de colas. Distintas versiones del proceso han sido aplicadas para modelar el comportamiento de pilas de arena, avalanchas, dinámicas de polímeros y procesos de transporte.
En esta charla estamos interesados en el caso en que las tasas de salto son decrecientes en la cantidad de partículas. Esto induce un fenómeno de condensación, según el cual una cantidad macroscópica de partículas (es decir, comparable con la cantidad total de partículas en el sistema) se concentra en una sola posición.
Describiremos las distintas fases de la dinámica de condensación, y las escalas temporales a las que ocurren: una primera fase de agrupamiento, en que las partículas se concentran en grupos macroscópicos en una subfamilia de sitios del grafo; una segunda fase de nucleación, en que estos grupos interactúan entre sí, y progresivamente son absorbidos para dar lugar a un sólo grupo macroscópico llamado el condensado; y una fase de evolución metastable, que describe la dinámica de este condensado.
Los resultados de la fase de agrupamiento fueron obtenidos recientemente en colaboración con Johel Beltrán, Daniela Cuesta y Milton Jara.
Pablo Rodríguez
Sobre procesos de ramificación y modelos de percolación en árboles
Los procesos de ramificación y los modelos de percolación son modelos probabilísticos muy estudiados en la teoría de las probabilidades. Después de una breve motivación sobre estos asuntos consideramos un modelo que puede ser pensado en la intersección de ambos: es el modelo de percolación accesible en árboles. Para cada vértice del grafo se asocia una variable aleatoria absolutamente continua, tomada de una sucesión de variables i.i.d. Decimos que dos vértices están conectados por un camino accesible si las respectivas variables aleatorias del único camino que los conecta están en orden creciente. El interés es la existencia de un camino accesible infinito, evento que llamamos de percolación accesible. En esta charla vamos a discutir sobre la motivación y formulación inicial de este modelo y vamos a presentar resultados recientes de transición de fase en diferentes tipos de árboles.