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Analisi 1 è la branca di Analisi Matematica che studia il comportamento delle funzioni di una variabile, attraverso strumenti quali limiti, derivate ed integrali.
Capitolo 1: Preliminari di Analisi
Capitolo 1: Preliminari di Analisi
Presenta gli oggetti fondamentali e gli strumenti formali della Matematica che costituiscono la base per costruire tutta l'Analisi Matematica.
Capitolo 2: Topologia di R
Capitolo 2: Topologia di R
Costruisce il quadro formale della retta reale, definendo i suoi oggetti caratteristici (intervalli e intorni) e i principali aspetti topologici (interno, chiusura, frontiera, accumulazione e isolamento).
Capitolo 3: Successioni
Capitolo 3: Successioni
Illustra le successioni reali a dominio naturale come prima tipologia prototipale di funzione studiata in Analisi Matematica. Descrivendone il comportamento asintotico, introduce gli strumenti teorici che sosterranno lo studio dei limiti e della continuità delle funzioni reali generiche.
Capitolo 4: Limiti di Funzioni
Capitolo 4: Limiti di Funzioni
Estende l’idea di limite dalle successioni a tutte le funzioni reali di variabile reale e per tutti i loro possibili punti di accumulazione. Introduce poi le principali proprietà e tecniche di calcolo dei limiti, che si differenziano a seconda delle possibili casistiche.
Capitolo 5: Funzioni Continue
Capitolo 5: Funzioni Continue
Definisce la continuità delle funzioni (in un punto e su un insieme) e ne sviluppa le principali proprietà e conseguenze, culminando nei teoremi sulle funzioni continue.
Capitolo 6: Derivate di Funzioni
Capitolo 6: Derivate di Funzioni
Illustra il concetto di derivata di una funzione reale, presentandola come uno strumento fondamentale per descriverne la variazione locale. Introduce poi le regole di derivazione e le principali tecniche di calcolo per determinare la derivata delle funzioni più comuni e delle loro combinazioni.
Capitolo 7: Funzioni Derivabili
Capitolo 7: Funzioni Derivabili
Sviluppa la teoria delle funzioni derivabili tramite i principali teoremi (Fermat, Rolle e Lagrange) e ne applica le conseguenze allo studio della monotonia e della concavità delle funzioni reali.
Capitolo 8: Sviluppi di Taylor
Capitolo 8: Sviluppi di Taylor
Illustra lo sviluppo di Taylor come strumento di approssimazione locale delle funzioni tramite polinomi costruiti a partire dalle derivate.
Capitolo 9: Integrali Indefiniti
Capitolo 9: Integrali Indefiniti
Apre il calcolo integrale definendo i concetti di funzione primitiva e integrale indefinito. Sviluppa poi le principali tecniche operative per determinare gli integrali indefiniti delle funzioni elementari e delle loro combinazioni.
Capitolo 10: Integrali Definiti
Capitolo 10: Integrali Definiti
Costruisce il quadro formale dell'integrale definito secondo Riemann, definendo il concetto di integrabilità per le funzioni reali. Sviluppa poi le principali proprietà degli integrali definiti ed i teoremi fondamentali associati, che ne consentono il calcolo.
Capitolo 11: Integrali Generalizzati
Capitolo 11: Integrali Generalizzati
Estende, tramite i limiti, il concetto di integrale a casi non propriamente di Riemann, includendo intervalli illimitati e funzioni non limitate. Illustra poi i criteri fondamentali di convergenza e le principali tecniche di confronto per stabilirne l’esistenza e il valore.
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