Talks during the course 2021/2022

These are the lectures delivered during the academic course 2021/2022.

September 16th, 2021, Seminar 2nd floor, 10:00-12:00

Speaker: Alexandre Quesney (Universidad de Málaga)

Title: Perfil dioperádico de las estructuras dobles de Poisson I

Abstract: Estudiamos las estructuras de doble Poisson sobre el álgebra de caminos de un carcaj en términos representaciones de una cierta dioperada.

El método que desarrollamos se basa en analizar campos de bivectores de doble Poisson concentrados en pequeños grados, describir sus coeficientes como elementos de una cierta dioperada, y mostrar que la resolución mínima de tal dioperada codifica los campos de doble Poisson de grados superiores.

Empezaremos recordando la noción de dioperada y la resolución mínima de una dioperada de Koszul.

También recordaremos parte del formalismo de geometría no conmutativa, tal como la noción de campos vectoriales no conmutativos, estructura de doble Poisson, etc, focalizando en el caso de un carcaj.

Finalmente, explicaremos nuestro método, y enfatizaremos diferencias con los resultados de Merkulov en geometría conmutativa de los cuales nos hemos inspirado fuertemente.

Se trata de un trabajo en progreso.

September 20th, 2021, Seminar 2nd floor, 10:00-12:00

Speaker: Alexandre Quesney (Universidad de Málaga)

Title: Perfil dioperádico de las estructuras dobles de Poisson II

Abstract: Estudiamos las estructuras de doble Poisson sobre el álgebra de caminos de un carcaj en términos representaciones de una cierta dioperada.

El método que desarrollamos se basa en analizar campos de bivectores de doble Poisson concentrados en pequeños grados, describir sus coeficientes como elementos de una cierta dioperada, y mostrar que la resolución mínima de tal dioperada codifica los campos de doble Poisson de grados superiores.

Empezaremos recordando la noción de dioperada y la resolución mínima de una dioperada de Koszul.

También recordaremos parte del formalismo de geometría no conmutativa, tal como la noción de campos vectoriales no conmutativos, estructura de doble Poisson, etc, focalizando en el caso de un carcaj.

Finalmente, explicaremos nuestro método, y enfatizaremos diferencias con los resultados de Merkulov en geometría conmutativa de los cuales nos hemos inspirado fuertemente.

Se trata de un trabajo en progreso.

October 26th, 2021, Room B8, 11:00-12:00

Speaker: Lucía Martín Merchán (Universidad de Málaga)

Title: Resolución de orbifolds con estructura $\mathrm{G}_2$ cerrada

Abstract: Una estructura $\mathrm{G}_2$ en una variedad Riemanniana $(M,g)$ de dimensión $7$ está determinada por una $3$-forma positiva $\varphi$. Hay $16$ tipos distintos de estructuras $\mathrm{G}_2$, definidas a través de ecuaciones en derivadas parciales sobre $3$-forma $\varphi$. Por ejemplo, $\varphi$ es paralela si $\nabla \varphi=0$, cerrada si $d\varphi=0$ y cocerrada si $d\star\varphi=0$.

En esta charla nos centramos en las variedades compactas con una estructura $\mathrm{G}_2$ cerrada que no admite ninguna estructura $\mathrm{G}_2$ paralela. El objetivo final es construir un ejemplo no formal con $b_1=1$ a través de técnicas de resolución de orbifolds $\mathrm{G}_2$ cerrados. El orbifold que tomamos como punto de partida es el cociente de una nilvariedad con una estructura $\mathrm{G}_2$ cerrada bajo la acción de una involución.

November 22th, 2021, Room "Seminario Análisis", 13:00-14:00

Speaker: Manuel Gutiérrez López (Universidad de Málaga)

Title: Estructuras de contacto en hipersuperficies luz

Abstract: La técnica más reciente para estudiar hipersuperficies luz permite la introducción de estructuras de contacto y casi contacto métrica con cierta buena relación con la geometría del ambiente. Se puede incluso introducir estructuras de contacto métrica y de Sasaki con pocos requisitos adicionales. En este último caso, la hipersuperficie debe ser totalmente geodésica, propiedad que tienen los horizontes de agujeros negros aislados. Los que admiten una estructura de Sasaki, admiten un halo Kähler a su alrededor.

December 13th, 2021, Room "Seminario Análisis", 13:00-14:00

Speaker: Jesús Martín Ovejero (Universidad de Salamanca)

Title: El espacio de móduli de fibrados principales con trivialización formal

Abstract: En matemáticas, los problemas de clasificación adquieren una relevancia especial, pues es a través de los mismos cuando se descubren las propiedades intrínsecas de los objetos involucrados. Desde el punto de vista algebro-geométrico, un problema de móduli es un problema de clasificación donde la solución al mismo pasa por la construcción de un esquema, correspondiéndose, cada punto de dicho espacio, con una clase de equivalencia de los objetos considerados. En la presente charla explicaremos el problema de móduli de G-fibrados principales con trivialización formal sobre una curva algebraica C, y se construirá el espacio de móduli fino Bun_{G,C}^{\infty} que parametriza dichos objetos. Además, se explicará como obtener el stack de fibrados principales como el stack cociente [Bun_{G,C}^{\infty}/L^+G] siendo L^+G el Positive Loop Group de G. Por último, introduciremos la noción de álgebra graduada parcialmente generada, generalizaremos un Teorema clásico de Nagata sobre la estructura del álgebra de invariantes, y probaremos la existencia de una inmersión canónica del espacio de móduli Bun_{G,C}^{\infty} en un fibrado proyectivo para los grupos semisimples clásicos.

February 14th, 2022, Room "Seminario Análisis", 17:00-18:00

Speaker: Felix Wierstra (Universidad de Amsterdan)

Title: Algebraic models for non-simply-connected spaces

Abstract: One of the central goals of algebraic topology is to find algebraic invariants associated to topological spaces that say something about their homotopy type. Two famous examples of such invariants are the homology and homotopy groups of a space. Unfortunately, these invariants are not complete, there are topological spaces which are not homotopic but whose homology (or homotopy) groups are isomorphic.

In this talk, I will explain that it is possible to find algebraic structures that completely describe the homotopy type of certain classes of spaces, i.e. two spaces are weakly homotopy equivalent if and only if the associated algebraic structures are equivalent in some sense. In particular, I will put emphasis on spaces with a non-trivial fundamental group and explain how the fundamental group can be extracted from the singular chains on a space. This talk is based on joint work with Manuel Rivera and Mahmoud Zeinalian.

March 14th, 2022, Room "Seminario Análisis", 12:30-13:30

Speaker: Guillermo Carrión Santiago (Universidad Autónoma de Barcelona)

Title: Límites superiores de funtores vía álgebra homotópica

Abstract: Dado un funtor F : C → R -Mod, de forma clásica, los límites superiores de F se calculan utilizando la definición de funtor derivado (a la derecha) del funtor límite, esto es, lim^i F = H^i (lim I ^∗ ) donde F → I ^∗ es una resolución inyectiva en la categoría de funtores. En esta charla introduciremos una nueva estrategia para aproximar estos cálculos. Consideraremos todo funtor F : C → R -Mod como un funtor con valores en complejos de R−módulos, Ch(R), concentrado en grado 0. La categoría de funtores Fun(C, Ch(R)), con C una categoría EI filtrada y R un anillo, admite una estructura de categoría de modelos en la cual calcular los límites superiores de un funtor F : C → R -Mod se traduce en calcular lim^i F = Hi (lim RF) con RF un reemplazo fibrante de F. Utilizando la estructura de Reedy generalizada para C, daremos una descripción de como calcular un reemplazo fibrante para un funtor dado. Además, mostraremos como el problema se simplifica notablemente cuando C es un poset filtrado y, para dicho caso, daremos cotas para las cuales los límites superiores se anulan .

April 4th, 2022, Room "Seminario Análisis", 17:00-18:00

Speaker: José Luis Carmona Jiménez (Universidad Complutense de Madrid)

Title: El Teorema de Ambrose-Singer

Abstract: Una pieza clave para estudiar las variedades Riemannianas que son homogéneas y localmente homogéneas es el Teorema de Ambrose-Singer (1958). Este resultado muestra la equivalencia entre homogeneidad y la existencia de un tensor (estructura homogénea) que satisface unas ecuaciones diferenciales parciales con naturaleza geométrica. Recientemente, este resultado ha sido generalizado para variedades homogéneas en general. Esto ha permitido que los métodos utilizados en el caso Riemanniano pudieran ser extendidos a variedades homogéneas pseudo-Riemannianas, pseudo-Kähler o simplécticas, entre otras muchas más.

En esta charla, introduciremos el Teorema clásico de Ambrose-Singer y sus generalizaciones a lo largo de la historia. Además, mostraremos resultados actuales en los que se utilizan estos métodos y técnicas para estudiar las geometrías homogéneas de variedades muy conocidas.

July 12th, 2022, Room "Seminario Álgebra", 12:00-13:00

Speaker: Txema Sánchez (Universidad de Cádiz)

Title: Conexiones en álgebras y en grafos asociados a álgebras

Abstract: Tras un breve recordatorio sobre álgebras de Lie de dimensión finita, mostraremos el uso de conexiones en el estudio de álgebras de Lie split de dimensión arbitraria y, más generalmente, de álgebras de Lie graduadas de dimensión arbitraria. Tras enunciar algunos resultados importantes para estas estructuras, daremos paso a su aplicación en una álgebra cualquiera con base multiplicativa. Finalmente, comentaremos una forma de aplicar conexiones a grafos asociados a tal álgebra.

July 12th, 2022, Room "Seminario Álgebra", 13:00-14:00

Speaker: Didier Solís Gamboa (Universidad Autónoma de Yucatán, Mérida)

Title: Cotas de curvatura en espacios de pre-longitud Lorentzianos

Abstract: La teoría de espacios de (pre-)longitud Lorentzianos surge como una alternativa para el estudio sintético de las propiedades geométricas de estructuras -posiblemente con baja regularidad- que modelan espacio-tiempos. En esta charla analizaremos diferentes nociones equivalentes de cotas de curvatura para espacios de pre-longitud Lorentzianos, así como una formula de variacion.