Talks during the course 2024/2025

Talks will be announced here one week prior. Lectures that have already been delivered are listed in reverse chronological order. 

October 28th, 2024, Room "Seminario de Álgebra", 12:30-13:30

Speaker:  David Jesús Nieves Rivera (Universidad Complutense de Madrid) 

Title: Dinámica y autovalores de la aplicación inducida en homología o cohomología     

Abstract: El objetivo de esta charla es relacionar los autovalores y autovectores de la aplicación inducida de f:X⟶X en homología o cohomología con propiedades dinámicas del sistema dinámico (X, f). Las teorías que mejor se adaptan a este problema son las de Čech ya que son las más adecuadas para describir espacios con malas propiedades locales que son situaciones comunes en dinámica, por ejemplo, los atractores extraños.

Definiremos una aplicación bilineal integral de las clases de cohomología sobre las clases de homología de Čech. Para ello haremos uso de aproximaciones intrínsecas (no pasamos por los complejos simpliciales para definir los complejos de cadenas o cocadenas) de la homología y cohomología de Čech. Y obtendremos una generalización del Teorema de Manning (que describiremos en el párrafo siguiente) a espacios compactos, posiblemente con malas propiedades locales.

La entropía topológica de un sistema dinámico es una medida de complejidad de dicho sistema. Entropía topológica positiva implica la presencia de caos en el sistema. Sin embargo, el cálculo de la entropía topológica no es una tarea sencilla, por lo que nos solemos conformar con encontrar una cota inferior que nos garantice que la entropía es positiva. Siguiendo este principio, el Teorema de Manning establece que la entropía topológica de una aplicación continua f en una variedad compacta está acotada inferiormente por el logaritmo del valor absoluto de cualquier autovalor de la aplicación inducida de f en la homología singular en dimensión 1. La generalización del Teorema de Manning que presentaremos sirve para espacios compactos arbitrarios y está escrita en términos de la cohomología de Čech en dimensión 1 en lugar de la homología singular. Este marco fue sugerido por el propio Manning puesto que tanto la entropía topológica como la cohomología de Čech se construyen a partir de recubrimientos abiertos del espacio de fase.

October 21st, 2024, Room "Seminario de Álgebra", 12:00-13:00

Speaker:  José Luis Carmona Jiménez (Simion Stoilow Institute of Mathematics of the Romanian Academy) 

Title: On the history of the Ambrose-Singer Theorems     

Abstract: Homogeneous spaces are differentiable manifolds where there is a transitive action of a Lie group. That is, a group of global transformations such that for any two points, there exists a transformation that sends one point to the other. Under suitable conditions and applying those transformations, we can transport any tensor we have at one point to another point, for example, a metric or a symplectic tensor.

The Ambrose-Singer Theorem characterizes Riemannian homogeneous spaces via the existence of an invariant tensor that satisfies a system of covariant equations. This tensor is called a homogeneous structure and the Ambrose-Singer Theorem is the cornerstone of the program initiated by Tricerri-Vanhecke that studies Riemannian homogeneous manifolds through their homogeneous structures.

We present the Ambrose-Singer theorem and its generalizations throughout history either with a local or global homogeneity condition. After that, we discuss the principal research program introduced by Franco Tricerri and Lieven Vanhecke and introduce the homogeneous structure tensor. Finally, we show some of our recent contributions to this research program.