Talks during the course 2024/2025

Talks will be announced here one week prior. Lectures are listed in reverse chronological order. 

June 23rd, 2025, Room "Seminario de Álgebra", 12:00-13:00

Speaker: Astrid A. Olave (Michigan State University) 

Title: La historia de la interleaving distance: un camino desde la homología en R^3 hasta sus aplicaciones   

Abstract: Empezaremos nuestra charla definiendo la interleaving distance como una métrica entre módulos persistentes. Después, para obtener un marco más general, reformularemos nuestros términos desde un punto de vista categórico. Finalizaremos con las distintas aplicaciones de la interleaving distance en estructuras como los árboles filogenéticos, merge trees, series de tiempo y grafos. Este camino estará lleno de ejemplos y referencias históricas que nos adentrarán en el maravilloso mundo del análisis topológico de datos. 

Juen 17th, 2025, Room "Jacques-Louis Lions", 12:00-13:00 and 13:00-14:00 (notice doble session)

Speaker (12:00-13:00):  Alberto Daza (Universidad de Sevilla) 

Title: Propiedad de haz en esquemas en grupo      

Abstract: Un esquema en grupo es un funtor G que a cada álgebra R conmutativa, asociativa y con unidad le asocia un grupo G(R). Un morfismo entre dos esquemas en grupo G y H es una transformación natural entre los dos funtores, es decir, por cada álgebra R morfismo de grupos entre G(R) y H(R).

Si bien un monomorfismo es un morfismo que es inyectivo para cada R, no es cierto que un epimorfismo  siempre sea sobreyectivo para cada R. Este hecho impide trabajar con esquemas usando las mismas técnicas con las que se trabajarían en grupos. Sin embargo, existe una propiedad que a veces nos permite solventar el problema sin mucho más esfuerzo. Esta es la propiedad de haz de los esquemas en grupo. 

Veremos cómo esta técnicas nos permite calcular algunos esquemas de automorfismos de pares de Jordan usando técnicas parecidas a las que usaríamos para calcular los grupos.

Speaker (13:00-14:00): Mikhail Kochetov (Memorial University of Newfoundland) 

Title: Generic graded contractions of Lie algebras       

Abstract: Contractions and degenerations of Lie algebras have been extensively studied since the 1950s. The idea is to pass from one Lie algebra to another by some kind of limit process. 

Another type of contractions was introduced by de Montigny and Patera (1991) in the context of Lie algebras over a field $\mathbb F$ equipped with a grading by an abelian group $G$. 

This type of contractions consists in modifying  the Lie bracket of $\mathfrak L=\bigoplus_{g\in G}\mathfrak L_g$ 

by a scalar factor $\varepsilon(g,h)$, $g,h\in G$, as follows:

\[

[x,y]^\varepsilon:=\varepsilon(g,h)[x,y]\quad\mbox{for all}\quad x\in\mathfrak L_g, y\in\mathfrak L_h.

\]

The function $\varepsilon\colon G\times G\to\mathbb F$ must satisfy certain conditions to ensure that the new bracket satisfies the antisymmetry and Jacobi identity.

We are interested in \emph{generic} graded contractions, i.e., those that produce a new Lie bracket for any $G$-graded Lie algebra. They can be viewed as lax monoidal structures on the identity endofunctor of the category of $G$-graded vector spaces. We show that  generic graded contractions with a fixed support $S$ are classified by a certain abelian group ${\rm H}^2_S(\mathbb F^\times)$, which we explicitly describe. We also analyze which generic graded contractions define graded degenerations of a given $G$-graded Lie algebra.

This talk is based on a joint work with S. Koval.

May 12th, 2025, Room "Jacques-Louis Lions", 11:00-12:00

Speaker:  Daniel Gil Muñoz (Charles University in Prague and University of Pisa ) 

Title: Álgebras de Hopf en teoría de Galois      

Abstract: Un álgebra de Hopf es una biálgebra (es decir, un espacio vectorial que posee estructuras compatibles de álgebra y coálgebra) dotada de un antihomomorfismo compatible. Las álgebras de Hopf aparecen de manera natural en topología algebraica y tienen numerosas aplicaciones en distintas áreas de matemáticas y física. En esta charla veremos cómo las álgebras de Hopf se pueden utilizar para ampliar el alcance de la teoría de Galois mediante una generalización del concepto de extensión de Galois a una clase de extensiones llamadas Hopf-Galois. Tales extensiones reciben la acción de una o más álgebras de Hopf, que proporcionan información algebraica de la extensión, llamadas estructuras Hopf-Galois. En la segunda parte de la charla veremos el caso de extensiones separables, cuyas estructuras Hopf-Galois se encuentran en correspondencia biyectiva con una clase de subgrupos de permutaciones. Este fundamental resultado ha posibilitado el estudio de extensiones Hopf-Galois mediante teoría de grupos y ha dado lugar a innumerables consecuencias. 

February 6th, 2025, Room "Seminario de Álgebra", 12:00-13:00

Speaker:  Carles Casacuberta (Universidad de Barcelona) 

Title: Localización respecto a clases propias en infinito-categorías presentables     

Abstract: Las localizaciones homotópicas respecto a conjuntos de morfismos existen en categorías de modelos combinatorias. Es conocido desde hace años que, si lo que se desea invertir es una clase propia de morfismos, entonces hay que recurrir a axiomas de grandes cardinales. En un artículo reciente con Javier Gutiérrez, demostramos que, de hecho, la existencia de localizaciones de espacios o espectros en clases propias es equivalente a un axioma concreto, llamado principio de Vopenka débil. La demostración resulta más transparente si se formula mediante el lenguaje de las infinito-categorías. Con este pretexto, ofreceremos un resumen de virtudes y defectos de la homotopía de orden superior. 

October 28th, 2024, Room "Seminario de Álgebra", 12:30-13:30

Speaker:  David Jesús Nieves Rivera (Universidad Complutense de Madrid) 

Title: Dinámica y autovalores de la aplicación inducida en homología o cohomología     

Abstract: El objetivo de esta charla es relacionar los autovalores y autovectores de la aplicación inducida de f:X⟶X en homología o cohomología con propiedades dinámicas del sistema dinámico (X, f). Las teorías que mejor se adaptan a este problema son las de Čech ya que son las más adecuadas para describir espacios con malas propiedades locales que son situaciones comunes en dinámica, por ejemplo, los atractores extraños.

Definiremos una aplicación bilineal integral de las clases de cohomología sobre las clases de homología de Čech. Para ello haremos uso de aproximaciones intrínsecas (no pasamos por los complejos simpliciales para definir los complejos de cadenas o cocadenas) de la homología y cohomología de Čech. Y obtendremos una generalización del Teorema de Manning (que describiremos en el párrafo siguiente) a espacios compactos, posiblemente con malas propiedades locales.

La entropía topológica de un sistema dinámico es una medida de complejidad de dicho sistema. Entropía topológica positiva implica la presencia de caos en el sistema. Sin embargo, el cálculo de la entropía topológica no es una tarea sencilla, por lo que nos solemos conformar con encontrar una cota inferior que nos garantice que la entropía es positiva. Siguiendo este principio, el Teorema de Manning establece que la entropía topológica de una aplicación continua f en una variedad compacta está acotada inferiormente por el logaritmo del valor absoluto de cualquier autovalor de la aplicación inducida de f en la homología singular en dimensión 1. La generalización del Teorema de Manning que presentaremos sirve para espacios compactos arbitrarios y está escrita en términos de la cohomología de Čech en dimensión 1 en lugar de la homología singular. Este marco fue sugerido por el propio Manning puesto que tanto la entropía topológica como la cohomología de Čech se construyen a partir de recubrimientos abiertos del espacio de fase.

October 21st, 2024, Room "Seminario de Álgebra", 12:00-13:00

Speaker:  José Luis Carmona Jiménez (Simion Stoilow Institute of Mathematics of the Romanian Academy) 

Title: On the history of the Ambrose-Singer Theorems     

Abstract: Homogeneous spaces are differentiable manifolds where there is a transitive action of a Lie group. That is, a group of global transformations such that for any two points, there exists a transformation that sends one point to the other. Under suitable conditions and applying those transformations, we can transport any tensor we have at one point to another point, for example, a metric or a symplectic tensor.

The Ambrose-Singer Theorem characterizes Riemannian homogeneous spaces via the existence of an invariant tensor that satisfies a system of covariant equations. This tensor is called a homogeneous structure and the Ambrose-Singer Theorem is the cornerstone of the program initiated by Tricerri-Vanhecke that studies Riemannian homogeneous manifolds through their homogeneous structures.

We present the Ambrose-Singer theorem and its generalizations throughout history either with a local or global homogeneity condition. After that, we discuss the principal research program introduced by Franco Tricerri and Lieven Vanhecke and introduce the homogeneous structure tensor. Finally, we show some of our recent contributions to this research program.