Лінійна Алгебра і Деякі її Застосування

Програма курсу

Планується 60 хвилин на теорію і 40 хвилин на розв'язки математичних задач на кожному занятті. Доведень складних теорем не буде. Основна ціль -- це показати на що треба звертати увагу при роботі з векторами, матрицями і, взагалі, лінійними перетворен-нями та допомогти у використанні теорем лінійної алгебри.

1. Лінійні простори, лінійна незалежність, базиси, скалярний добуток, суми підпросторів, проекції.

2. Матриці, їх множення, алгоритм Гауса. Системи лінійних рівнянь у матричній формі, визначники, власні числа, власні вектори, інваріантні підпростори, задання підпростору як розв'язки системи лінійних однорідних рівнянь.

3. Оператори в лінійному просторі, самоспряжені оператори, симетричні матриці, канонічні види в множині подібних (еквівалентних) матриць, функції від матриць.

4. Ортогональні і унітарні перетворення простору. Операція проектування. Відстані до прямої, підпростору. Властивості матриці Грама.

5. Розклад вектора не по базису (по Фрейму). Передача інформації у вигляді координат-коефіцієнтів фрейму для середовищ з сильним шумом (радіоефір, зчитування з відіокамери, CD диску та інших архівних накопичувачів).

6. Розклади матриці у добуток трикутних матриць. LU-розклад, QR-розклад, розклад Холецького та їх застосування.

7. Наближені розв'язки системи лінійних рівнянь (наближення МНК). Поняття узагальненого оберненого оператора (Мура-Пенроуза обернений). Полярний розклад і SVD розклад та їх застосування.

8. Матриця суміжності графа. Позитивні матриці, теорема Перона-Фробеніуса і її застосування.

ЛітеРаТура

Книги, по яких можна згадати лінійну алгебру та аналітичну геометрію (подивитися прості доведення).

Посібники:

1. Боднарчук Ю.В., Олiйник Б.В. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. {НАУМКА}, 2009.

2. О.О. Безущак , О.Г. Ганюшкін , Є.А. Кочубінська. Навчальний посібник із лінійної алгебри. – К.: ВПЦ “Київський унiверситет”, 2019, – 224 с.

Задачники Київського Університету з розв'язками: ім. Т. Шевченка:

1. О.О. Безущак, О.Г. Ганюшкін , Є.А. Кочубінська. Завдання до практичних занять з лінійної алгебри. – К.: ВПЦ “Київський унiверситет”, 2016, – 251 с.

2. О.О. Безущак, О.Г. Ганюшкiн. Завдання до практичних занять з лiнiйної алгебри (векторнi простори). – К.: ВПЦ “Київський унiверситет”, 2010, – 257 с.

Книги на які орієнтувалися при підготовці курсу

1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Физматлит, 2005.

2. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. Наука, 1985 (4 изд.).

3. R. B. Bapat, T. E. S. Raghavan. Nonnegative Matrices and Applications. Cambridge University Press, 1997.

4. А. Кофман, А. Анри-Лабордер. Методы и модели исследования операций целочисленное программирование. "Мир", 1977.

5. Jacob E. Goodman Joseph O’Rourke Csaba D. T'oth (editors). Handbook of Discrete and computational geometry. CRC Press, 2018 (3 ed.)

6. Gale D. The Theory of Linear Economic Models. University of Chicago Press, 1989, 352 p.

7. Charu C. Aggarwal. Linear Algebra and Optimization for Machine Learning. Springer, 2020, 507 p.

8. Elden, L., Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition. SIAM, 2007, 234 p.

Регламент

Тривалість курсу: 8 занять по 100 хвилин 2 рази на тиждень (вівторок, четвер)

Дати: 10, 15, 17, 22, 24, 29, 31 березня, 5 квітня 2022 р.

Час: 19:00 - 20:45

Місце: online (Zoom)

Дати та час проведення курсів можуть змінитись.