Trong tôpô hai không gian là một, tức "đồng cấu" (trúc) nếu có một đồng phôi từ không gian này lên không gian kia. Vì một đồng phôi trước hết là một ánh xạ liên tục nên không gian này phải được biến đổi một cách liên tục thành không gian kia, do đó không được cắt nó mà chỉ có thể uốn và kéo dãn nó.
Câu phát biểu trên của bài báo không hoàn toàn chính xác. Câu hỏi trên là cho trường hợp mặt hai chiều và câu trả lời đã được biết từ lâu. Giả thuyết Poincaré là câu hỏi "tương tự" cho trường hợp không gian ba chiều.
Phát biểu này là có cơ sở. Đây là một vấn đề rất thú vị nhưng không phải là lãnh vực tôi có chuyên môn nên tôi chỉ nói sơ vài ý mà thôi.
Vũ trụ có cách đây từ 10 đến 15 tỉ năm và khởi đầu bằng Vụ nổ Lớn (the Big Bang). Sau đó vũ trụ liên tục giãn nở về mọi hướng. Khoảng 300 000 năm sau Big Bang vũ trụ đã đủ nguội để xuất hiện những sóng photon phát đi về mọi hướng, gọi là Cosmic Microwave Background (CMB -- Vi sóng nền của vũ trụ).
Chúng ta đưa ra những giả thiết phù hợp với kinh nghiệm sau đây:
i. Tại mọi điểm trong vũ trụ, không gian có ba chiều. Nghĩa là vũ trụ là một đa tạp ba chiều.
ii. Vũ trụ không có biên. Vì nếu nó có biên thì cái gì tồn tại bên ngoài biên đó? Vậy vũ trụ là một đa tạp ba chiều không có biên.
iii. Mọi điểm trong vũ trụ là như nhau (về mặt tôpô) và tại mỗi điểm mọi hướng là như nhau. Nghĩa là đây là một đa tạp đồng nhất (homogeneous) và đẳng hướng (isotropic). Đo đạc thực nghiệm cho thấy CMB là thuần nhất, một dữ kiện hỗ trợ cho giả thiết này.
iv. Vũ trụ là hữu hạn, theo nghĩa nó là một không gian compact.
Với những giả thiết trên ta rút ra vũ trụ là một đa tạp compact ba chiều không có biên có độ cong là hằng số. Như thế nó chỉ có một trong ba loại hình học: elliptic (độ cong dương), Euclidean (phẳng), và hyperbolic (độ cong âm).
Trong một thời gian dài không có tiến bộ lớn trong việc tìm hiểu hình dạng tôpô của vũ trụ vì hiểu biết của toán học về các đa tạp ba chiều còn rất ít ỏi, và về mặt vật lí chưa có phương pháp thực nghiệm nào cho phép xác định được tôpô của vũ trụ. Những tiến bộ rất lớn về mặt hiểu biết toán học về tôpô của đa tạp ba chiều bắt đầu với Chương trình Hình học hóa của Thurston từ cuối những năm 1970, và những tiến bộ trong vật lí cho phép tiếp cận vấn đề này xuất hiện vào những năm 1990.
i. Phương trình của Einstein:
Trong Thuyết Tương đối rộng có một phương trình cho sự liên hệ giữa độ cong và mật độ khối lượng của không gian. Những đo đạc mật độ khối lượng trước đây cho thấy không gian là hyperbolic, tuy nhiên một số đo đạc từ năm 1998 lại cho thấy không gian là phẳng, do sự xuất hiện của một khái niệm mới còn bí ẩn gọi là "năng lượng chân không" (vacuum energy).
Toán học đã biết rằng chỉ có cả thảy 18 đa tạp phẳng, và nếu chúng ta đặt thêm một giả thiết nữa là vũ trụ là định hướng được (như kinh nghiệm của ta cho thấy) thì chỉ còn có 10 đa tạp phẳng định hướng được mà thôi.
Bản thân Einstein đã giả thiết rằng vũ trụ là một mặt cầu ba chiều (elliptic), chủ yếu vì sự đơn giản từ tính đơn liên của mặt cầu.
ii. Quan sát thống kê:
Mặt xuyến một lỗ hai chiều có thể được xem như mặt phẳng hai chiều chia thành từng ô chữ nhật bởi những đường thẳng song song và những ô chữ nhật này được đồng nhất với nhau. Trên đó mỗi điểm thuộc mỗi ô sẽ có một copy của nó trên mỗi ô khác. Như vậy một người quan sát sẽ thấy vô hạn phiên bản của chính mình. Chẳng hạn nếu nhìn ở một góc thích hợp người đó có thể quan sát cái lưng của mình.
Như vậy nếu bằng những quan sát thiên văn người ta có thể nhận diện được trên bầu trời những phiên bản của dãy Ngân Hà (the Milky Way) của chúng ta chẳng hạn, thì từ sự phân bố và tính chất của những phiên bản này có thể suy ra hình dạng tôpô của vũ trụ.
Tuy nhiên trong thực tế việc quan sát này rất khó khăn. Một trong những khó khăn khi tìm cách nhận diện là do tốc độ của ánh sáng là hữu hạn, nên hình ảnh thu được từ những phiên bản của chúng ta lại có thể không cùng tuổi với chúng ta.
iii. "Những đường tròn trên trời"
Sóng CMB đã xuất phát cùng một lúc và đi với cùng một tốc độ (của ánh sáng). Như vậy những sóng đến với chúng ta tại thời điểm này đã xuất phát từ cùng một mặt cầu nhận chúng ta làm tâm, gọi là mặt cầu LSS (the Last Scattering Sphere).
Cùng lý do như trên có thể có những phiên bản của mặt cầu LSS trên bầu trời. Nếu LSS có bán kính đủ lớn thì những phiên bản của nó sẽ giao nhau theo những đường tròn. Sự phân bố và tính chất của những đường tròn này có thể giúp suy ra hình dạng của vũ trụ.
Bằng các phương tiện đo đạc tiên tiến người ta đang hy vọng lập bản đồ CMB qua đó có thể phát hiện những sự lặp lại của nó. Năm 2001 NASA đã phóng một tàu không gian để đo đạc CMB và dự kiến năm 2007 ESA (Cơ quan không gian châu Âu) cũng sẽ phóng một tàu cũng với nhiệm vụ như vậy nhưng với độ chính xác đo đạc cao hơn.
Như vậy ta có thể hy vọng rằng khả năng nghiên cứu hình dạng tôpô của vũ trụ đang trở thành hiện thực.
1. J. Weeks, The shape of space, 2nd ed., Dekker, 2002.
2. C. Adams and J. Shapiro, The shape of the universe: Ten possibilities, American Scientist, Sept-Oct/2001.
3. N. Cornish and J. Weeks, Measuring the shape of the universe, Notices of the American Mathematical Society, Dec 1998.
4. M. Reboucas and G. Gomero, Cosmic Topology: A brief overview, arXiv:astro-phy/0402324, 2006.
- ----------------------
Huỳnh Quang Vũ, ĐHKHTN TPHCM, 12/09/2006.