PN-III-PD-ID-PCE-0157

Algebre Hopf, reprezentari si categorii tensoriale

Abstract (Romanian)

Scopul acestui proiect este de a studia structura si reprezentarile algebrelor Hopf si a categoriilor tensoriale modulare. Se crede ca algebrele Hopf semisimple constituie o generalizare a algebrelor grupale finite semsimple. Din acest punct de vedere, recent, mai multe rezultate interesante în ceea ce privește reprezentările grupurilor finite din literatura de specialitate au fost transferate la algebrele Hopf. Proiectul de fata urmează această direcție principală de cercetare și este o continuare naturala a studiului efectuat de către liderul de proiect în proiectele sale anterioare. Prezenta propunere este formata din trei părți. Prima parte a proiectului se ocupă cu studiul acțiunilor de grupuri finite asupra categoriilor tensoriale. Notiunile de varf si sursa pentru obiectele unei categorii tensoriale equivariantizate vor fi introduse. Cu ajutorul acestor notiuni este de asteptat ca o teorie de reprezentare asemanatoare teoriei reprezentarilor modulare pentru grupurile finite sa fie dezvoltata. Cea de a doua parte a proiectului studiaza centralizatorul Müger pentru categoriile de reprezentari ale unui Drinfeld dublu semisimplu. Tot in acesata parte vom studia proprietatile aritmetice ale categoriilor tensoriale modulare cu scopul de a clasifica astfel de categorii cu un numar mic de obiecte simple. Teoria caracterelor pentru categoriile tensoriale a fost recent introdusa de catre Shimizu. In cea de a treia parte a proiectului vom incerca transferarea anumitor rezultate de teoria caracterelor de la algebrele Hopf semisimple la categoriile de fuziune. Vom incerca de asemenea sa extindem teoria de tip Clifford dezvoltata anterior de catre directorul de proiect de la subalgebre Hopf normale la subalgebre coideale stangi normale. De asemenea vom generaliza notiunea de nucleu al unui obiect simplu de la o categorie de fuziune la o categorie tensoriala arbitrara incercand sa obtinem o versiune mai generala a teoremei lui Brauer in acest context.

Abstract (English)

The goal of this project is to study the structure and representations Hopf algebra and modular tensor categories. It is commonly believed that semisimple Hopf algebras are a generalization of semsimple finite group algebras. From this point of view, recently, several interesting results from finite group representations were transferred to Hopf algebras. This project follows this main direction of research and it is a natural continuation of the study conducted by the project leader in his previous projects. This proposal consists of three parts. The first part of the project studies the actions of finite groups on tensor categories. Notions of vertices and source for objects of equivariantized tensor categories will be introduced. With these notions it is expected that a similar representation theory to the modular representations theory of finite groups to be developed. The second part of the project studies Müger's centralizer for the categories of representations of a semisimple Drinfeld double. Also in this part we will study the arithmetic properties of modular tensor categories in order to classify such categories with a small number of simple objects. Character theory for tensor categories was recently introduced by Shimizu. In the third part of the project we will try to transfer some results from the character theory of semisimple Hopf algebras to fusion categories. We will also try to extend the Clifford type theory developed earlier by the project leader from normal Hopf subalgebras to normal left coideal subalgebras. We will also generalize the notion of a kernel of a simple object from fusion categories to arbitrary tensor categories. We do this in order to be able to obtain a more general version of Brauer's theorem in this context.