アブストラクト
特別講演
立川 裕二 氏 (東京大学 Kavli 数物連携宇宙研究機構)
前半: 物理と代数トポロジー: 20世紀末までの歴史
後半: 物理と一般コホモロジー理論: 21世紀の進展
理論物理では数学の色々な分野が援用されるが、代数トポロジーはそれほど使われてこなかった。しかし、物性理論におけるトポロジカル相の研究のこの十年ほどの進展により、K 群のみならず、その他の一般コホモロジー理論も使われるようになってきている。この講演では、理論物理で使われてきた代数トポロジーの側面を歴史にそって振り返り、最近私が数理研の山下と研究していた、topological modular form の理論の弦理論への応用についての話につなげたいと思う。四月に東大数理科学研究科で行ったコロキウムの拡大版になる予定である。
Many subfields of mathematics are utilized in theoretical physics, but algebraic topology was not among the most used ones until recently. This situation changed in the last ten years due to the development of the study of topological phases of matter in condensed matter physics, to the extent that various generalized cohomology theories other than K theory are now regularly used. In this talk, I will first give a historical overview of the usage of algebraic topology in physics, and then talk about my recent work with Yamashita at RIMS on the application of topological modular forms to string theory. The talk will be an expanded version of the colloquium I gave in April in the math department of U. Tokyo.
加藤諒 （新居浜工業高等専門学校）
E(n)-local Picard graded homotopy groups
素数pで局所化したスペクトラムの安定ホモトピー圏に、n番目のJohnson-WilsonスペクトラムE(n)でのBousfield局所化を施した圏を考える。この圏において、スマッシュ積のもとで可逆となるスペクトラムの同型類全体のなす群を（E(n)-local）Picard群という。任意の次元でのE(n)-local球面スペクトラムは、全てPicard群に含まれるため、E(n)-localスペクトラムのホモトピー群は、次数を整数からPicard群へ拡張できる。次数をPicard群へ拡張したホモトピー群を（E(n)-local）Picard graded ホモトピー群と呼ぶ。
Hopkins-Ravenelのクロマティック収束定理により、球面スペクトラムのホモトピー群（＝球面の安定ホモトピー群）から、E(n)-local球面スペクトラムのPicard graded ホモトピー群の極限への群単射が構成できる。講演者は、従来の球面スペクトラムのホモトピー群に生じていた、pが小さい場合の例外的状況が、Picard graded ホモトピー群では生じないという予想を、2017年の高知ホモトピー論談話会にて提唱した。
本講演では、その後、現在までに、講演者により示されたこの予想の具体的な成立例と、現在講演者が進行中の関連研究の詳細について述べる。
南 範彦 （名古屋工業大学）
有限群Gの分類空間 BG のトポロジーに映る，低次レトラクト有理性= 高次レトラクト線織性の定める代数幾何階層構造の影について
講演者は最近，低次レトラクト有理性= 高次レトラクト線織性の定める代数幾何階層構造を導入し，与えられたsmooth多様体に対してその階層構造が存在するための必要条件を得た．
本講演では，この結果を，有限群 G の分類空間 BG のトポロジーに係わる2種類の代数幾何的対象，即ち，Gordeaux-Serre variety及び，Bogomolov, Morel-Voevodsky, Totaro らによる ind 多様体としての BG の構成及び解釈，に対して各々適応する．これらは各々，Atiyah-Hirzebruch, Totaro 由来の BG のトポロジーを用いた Gordeaux-Serre variety を用いた integral Hodge conjecture への反例と，代数閉体上の有限群 G の Noether問題への反例に対する，新しい解釈及び，新たな問題を投げかける：
一般に過去の研究では，ある代数多様体 X に対して(レトラクト)有理でないことが分かったらその時点で一件落着になっていたが，講演者の観点では，それは単に X がある i ≥ 0 に対してretract (-i)-rational でないことが分かっただけである．即ち，これは次の問題： X は retract (-(i+1))-rationalか？ の提起に他ならない！
武田 雅広 （京都大学）
Spaces of commuting elements in a Lie group I
Let G be a compact connected Lie group, and let Hom(Z^m,G) denote the space of commuting m-tuples in G. Baird proved that the cohomology of Hom(Z^m,G) is identified with a certain ring of invariants of the Weyl group of G. Therefore the cohomology of Hom(Z^m,G) is important not only in topology but also in representation theory. I will talk about the Poincaré series and a minimal generating set of the rational cohomology of Hom(Z^,G)$ for some classical groups $G$ and some applications. This talk is based on joint work with Daisuke Kishimoto.
岸本 大祐 （京都大学）
Spaces of commuting elements in a Lie group II
The space of commuting elements in a Lie group is a broadly studied object, and its (co)homology is a recent subject of interest which connects combinatorics, representation theory, and topology. There are nice results on its rational cohomology, but there are few results on torsion in its homology. I will present a method to compute torsion in homology, which is based on a new homotopy decomposition and the combinatorics of the Weyl group. The method can be applied, for example, to prove that the space of commuting elements in SU(n) has p-torsion in homology if and only if p ≤ n.
This is a joint work with Masahiro Takeda.
玉木 大 （信州大学）
Cotorsion pairs in Hopfological algebra
abstract.pdf堀内 遼 （呉高等工業専門学校）
印付単体的集合のループ空間
単体的集合のなす圏には(∞, 0)-圏や(∞, 1)-圏のモデル構造が入る事がよく知られている。そして(∞, 0)-圏のモデル構造に対しては、単体的ホモトピー論という幾何学が展開される。これは通常の位相空間のホモトピー論と等価なものである。最近になって、単体的集合の一般化であるsimplicial sets with markingのなす圏には、より一般のnに対して(∞, n)-圏のモデル構造と目されているモデル構造が入る事がOzornova、Riehl、Rovelli, Verityらの仕事によってわかってきた。
この講演では、ホモトピー群やループ空間などの単体的ホモトピー論における基本的な構成が(∞, n)-圏の枠組みにまで整合的に持ち上がる事がチェックできたので、それを報告する。また、その事がどうして問題になり得るのかを安定ホモトピー論の観点から説明したい。
若月 駿 （信州大学）
A reduction of the string bracket to the loop product
The negative cyclic homology for a differential graded algebra over the rational field has a quotient of the Hochschild homology as a direct summand if the S-action is trivial. With this fact, we show that the string bracket in the sense of Chas and Sullivan is reduced to the loop product followed by the BV operator on the loop homology provided the given manifold is BV exact. Moreover, it is proved that a Lie bracket on the loop cohomology of the classifying space of a connected compact Lie group possesses the same reduction. By using these results, we consider the non-triviality of string brackets. If time permits, the higher BV exactness is also discussed featuring the cobar-type Eilenberg-Moore spectral sequence.
This is a joint work with Katsuhiko Kuribayashi, Takahito Naito, and Toshihiro Yamaguchi.
Tong Yichen （京都大学）
Self-Closeness Numbers of Non-Simply-Connected Spaces
The self-closeness number NE(X) of a space X is the least integer k such that any self-map is a homotopy equivalence whenever it is an isomorphism in the n-th homotopy group for each n ≤ k. We discuss the self-closeness numbers of certain non-simply-connected X. As a result, we give conditions for X such that NE(X) =NE( ̃X), where ̃X is the universal covering space of X.
松下 尚弘（琉球大学）
群の擬準同型の拡張問題と商群の二次コホモロジーについて
本研究は青山学院大学の川崎盛通氏、京都大学の木村満晃氏、名古屋大学の丸山修平氏、東北大学の見村万佐人氏との共同研究である。
群 G の擬準同型とは、 G 上の実数値関数 f で、 |f(xy) – f(x) – f(y)| の値が有限の値で一様に抑えられるもののことをいう。特に群 G の擬準同型 f で G の元 x と整数 n に対し f(x^n) = n f(x) を満たすものを斉次擬準同型という。（斉次）擬準同型は群 G の二次の有界コホモロジーと密接に関係しており、幾何学的群論において精力的に研究されている。
N を G の正規部分群とする。 N の斉次擬準同型 f が与えられたとき、 f が G 全体に斉次擬準同型として拡張できるか否かという問題を考える。斉次擬準同型は共役不変であることが知られており、したがってもし f が G 全体に拡張できるならば、 f(gxg^{-1}) = f(x) が G の元 g と N の元 x に対し成立する。この条件を満たす N の斉次擬準同型を、 G-不変であるという。
一般には G-不変な N の斉次擬準同型が G 全体に拡張できるとは限らない。しかし G と N によっては G-不変な N の斉次擬準同型が G 全体に拡張できる場合もある。いかなるとき拡張できるのか、あるいはできないのか、そして拡張できない場合は、拡張できない G-不変な擬準同型が本質的にどの程度あるのかについて、最近の研究でわかったことを述べる。特に商群 G/N が従順群である場合には、「拡張できない G 不変な擬準同型が本質的にどの程度あるか」ということが、 G/N の二次コホモロジーと密接に関係することがわかった。