動的システム工学

（大学院・オンライン：Zoom情報はITC-LMS参照）

内容

Dynamical Systemsは日本語では「力学系」と呼ばれますが，解析力学より一般の微分方程式や確率過程の振る舞いの理論的な理解を行う学問です．

キーワード：分岐，振動現象，カオス，マルコフ連鎖，確率微分方程式，確率熱力学，情報熱力学

資料

授業はパワーポイントを使って進めます．すべてのスライドはITC-LMSにて公開します．

成績

期末レポートによって付けます．出席は取りません．

参考文献

• 分岐

  • J. Guckenheimer et al. "Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields", Springer, 1983

    • 力学系のバイブル的な教科書．内容は専門的．

  • 小室元政，"新版・基礎からの力学系～分岐解析からカオス的遍歴へ"，サイエンス社

    • 分岐の入門書．分かりやすくおすすめ．

• 確率過程，リミットサイクル，界面

  • 太田隆夫, "非平衡系の物理", 裳華房

    • 非線形現象全般を扱った教科書．内容が広くおすすめ．

• リミットサイクル，位相縮約

  • 蔵本由紀, "リズム現象の世界 (非線形・非平衡現象の数理)", 東京大学出版会

    • 振動現象に関する内容を多く含む．

  • E. M. Izhikevich, "Dynamical Systems in Neuroscience", The MIT Press

    • Neuronにおける力学系だが，一般の力学系の勉強にも使える．力学系では有名な本．

• 確率過程

  • L. J. S. Allen, "An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology", CRC Press

    • DTMC, CTMC, 確率微分方程式まで，確率過程のほとんどの内容を含む．内容は数学寄りの記述だが専門的すぎず，分かりやすい．

  • N. G. Van Kampen, "Stochastic Processes in Physics and Chemistry", Elsevier

    • CTMC, 確率微分方程式など，確率過程の多くの内容を含む．内容は物理寄り．確率過程では良く参照される本である．

  • H. Risken, "The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications", Springer

    • 確率微分方程式に焦点を絞った本．完全物理向けの本だが，確率微分方程式を勉強する場合はバイブル的な本．本の後半はFPEを数値的に解くための手法が中心．

  • J. L. Garcia-Palacios, "Introduction to the theory of stochastic processes and Brownian motion problems." arXiv preprint cond-mat/0701242 (2007)

    • 確率微分方程式の数値解法などが詳しい

• 線形システムの制御

  • 須田 信英, "線形システム理論" (システム制御情報ライブラリー)

  • 梶原宏之, "線形システム制御入門", コロナ社

    • 可制御性，可観測性などの現代制御のエッセンスはこれで分かる．

• 変分法，最適制御

  • M. I. Kamien and N. L. Schwartz. "Dynamic optimization: the calculus of variations and optimal control in economics and management", Courier

    • 変分法の基本事項に始まり，最適制御の話題を含む．読みやすく，例題も多い．

  • D. G. Hull, "Optimal control theory for applications", Springer Science & Business Media, 2013

    • より一般的な最適制御の問題方法が記されている．様々な制約条件を含む最適制御を統一的に記述している． 

• 確率熱力学（教科書はまだあまりないので，レビュー論文）

  • U. Seifert, "Stochastic thermodynamics, fluctuation theorems and molecular machines", Rep. Prog. Phys., 2012, vol.75, 126001

    • 最も有名な確率熱力学のレビュー．但し，それなりに背景知識がないと分からない．

  • Van den Broeck, C. & Esposito, M. "Ensemble and trajectory thermodynamics: A brief introduction", Physica A, 2015, vol.418, pp.6-16 

    • Fluctuation theoremの導出に絞ったレビュー．化学ポテンシャル入りでの導出はあまりないので，生化学を扱う場合には重要．

  • C. Van den Broeck, "Stochastic thermodynamics: A brief introduction"

  • F. Ritort "Nonequilibrium fluctuations in small systems: from physics to biology" Advances in Chemical Physics, Wiley publications, 2008, vol.137, pp.31-123

    • 少し古いレビューだが，確率熱力学の基本は網羅している．初めて読む場合はSeifertのレビューよりも大分わかりやすい．これもFluctuation theoremを中心にしたレビュー．パスの確率（経路積分）など，連続に記述すると想像しにくい（怪しい）が，このレビューは離散的に記述しているのでそういった怪しさがない．

  • D. A. Beard and H. Qian, "Chemical Biophysics: Quantitative Analysis of Cellular Systems", Cambridge Press

    • 確率熱力学のレビューではないが，生化学における熱力学の教科書．

• 熱力学不確定性関係

  • Polettini, M.; Lazarescu, A. & Esposito, M. "Tightening the uncertainty principle for stochastic currents", Phys. Rev. E, 2016, 94, 052104 

    • この分野は新しいため教科書は存在しない．最初の証明はこれよりちょっと前の論文（2016年）だが，こちらの論文の方が見通しが良い．証明方法は同じ．

  • Yoshihiko Hasegawa and Tan Van Vu, "Uncertainty Relations in Stochastic Processes: An Information Inequality Approach", Physical Review E, vol.99, 062126, 2019

    • クラメール・ラオを使った証明

  • Yoshihiko Hasegawa and Tan Van Vu, "Generalized Thermodynamic Uncertainty Relation via Fluctuation Theorem", arXiv:1902.06376

    • ゆらぎの定理を使った証明

• 大偏差原理

  • Touchette, H. "A basic introduction to large deviations: Theory, applications, simulations", arXiv:1106.4146, 2011

  • Touchette, H., "The large deviation approach to statistical mechanics", Phys. Rep., 2009, 478, 1-69 

• 経路積分

  • Bressloff, Paul C. "The WKB Method, Path-Integrals, and Large Deviations." Stochastic Processes in Cell Biology. Springer, Cham, 2014. 577-617. 

    • 経路積分で普通に探すと量子力学の教科書に当たる．その中で，この文献は短くおすすめ．確率微分方程式とマスター方程式両方の導出を網羅している．

  • Chernyak, V. Y.; Chertkov, M. & Jarzynski, C. "Path-integral analysis of fluctuation theorems for general Langevin processes", J. Stat. Mech: Theory Exp., 2006, 2006, P08001

    • 確率熱力学との接点はこの論文が詳しい．

• 量子熱力学

  • Thermodynamics in the Quantum Regime Fundamental Aspects and New Directions

    • 色々なレビュー論文の集合．わかりやすい論文が多い． 

  • Sebastian Deffner and Steve Campbell, "Quantum Thermodynamics An introduction to the thermodynamics of quantum information"

    • 最近出た量子熱力学のレビュー論文．

  • Quantum Noise

    • 量子確率過程の本．量子Ito積分などが詳しい唯一の本．

• 場の量子論

  • 場の理論（西野友年）

    • QFTの入門書を読む前に読む入門書．量子場とは何か，というイメージをつかむには最適．

  • Quantum Field Theory, University of Cambridge Part III Mathematical Tripos (David Tong)

    • QFTの最初には適している．繰りこみなどの内容はない．

  • Quantum Field Theory for gifted amateur (Tom Lancaster)

    • 生成消滅演算子の説明から入っている．ただ，タイトルにあるほど分かりやすいわけではない．

  • 場の量子論（David McMahon）

    • Canonical quantizationベースの教科書．一度分かってから読むと割と良い．電磁場の量子化は分かりやすかった．ファインマンダイアグラムは天下り的導入．

  • Quantum Field in a Nutshell (Zee)

    • 日本語版あり．普通のQFTの教科書はcanonical quantizationだが，これは経路積分によるQFTの教科書．分かりやすくはないが，口語調なので親しみやすくはある．

  • 場の量子論（坂本真人）

    • 定番の場の量子論の教科書．ファインマンダイアグラムなどが一番分かりやすかった．

• その他

  • M. Newman. "Networks: an introduction", Oxford University Press

    • 18章にネットワーク上の力学系のトピックがある．SIモデルやSIRモデルに関する記述もあり．それ以外はネットワークの内容だが，線形代数の基礎知識があれば数学的には平易で読みやすい．