L’approccio “classico” ai problemi di imaging si avvale di strumenti mutuati dalla teoria della regolarizzazione dei problemi inversi mal posti. Essa permette una ridefinizione di tali problemi in spazi funzionali opportuni dove l'utilizzo di funzionali energia opportuni permette di rendere i nuovi problemi ben posti.

In questo contesto, la definizione e lo studio teorico di proprietà analitiche dell’immagine soluzione (per esempio, la sua sparsità rispetto a qualche base) e dell’operatore di degradazione sotteso sono fondamentali e richiedono spesso l’utilizzo di strumenti avanzati di calcolo delle variazioni e analisi funzionale/armonica. Negli approcci di tipo Bayesiano, dove la soluzione del problema è definita come densità di probabilità, la scelta delle informazioni a-priori assunte sulla soluzione sono invece imposte tramite proprietà statistiche e (iper-)parametri da stimare in modo non banale.

Lo studio di algoritmi di ottimizzazione con garanzie teoriche di convergenza e stabilità è d’altra parte fondamentale per l’implementazione pratica di questi modelli. I maggiori ostacoli sono tipicamente la non-differenziabilità e la non-convessità dei modelli considerati, questioni che rendono necessaria l’introduzione di estensioni appropriate di algoritmi iterativi classici di tipo gradiente. Per una risoluzione di questi problemi compatibile con le risorse ‘standard’ di calcolo è infine essenziale sfruttare la struttura degli operatori che descrivono il problema discretizzato, la cui inversione, pur regolarizzata, è spesso necessaria. Tramite opportune tecniche di precondizionamento e risultati di algebra lineare avanzata riguardanti le proprietà spettrali di questi operatori, è infatti possibile limitare notevolmente la complessità di calcolo.

I principali assi di ricerca di questo tema sono:

• Metodi variazionali, EDP, trasporto ottimo

• Teoria della regolarizzazione e analisi spettrale di operatori

• Sparsità

• Modellizzazione, assimilazione e trattamento del segnale in grandi dimensioni

• Ottimizzazione

• Machine learning e reti neurali per imaging

Numerosi strumenti dell’analisi armonica e geometrica, del calcolo variazionale e delle equazioni differenziali (ordinarie e EDP) sono spesso usati per studiare i meccanismi che regolano la visione umana. Le teorie emergenti mostrano inoltre caratteristiche strutturali molto simili a quelle di modelli relativistici studiati in fisica matematica.

I fenomeni di attivazione neuronale localizzati nei diversi strati della corteccia visiva possono essere descritti infatti tramite operazioni ben note, come convoluzioni e operatori di diffusione/trasporto. Nella sua forma variazionale, il problema ha qui il significato di minimizzare la ridondanza di informazioni percepite, in accordo a fenomeni di adattamento biologico che regolano il processo visivo (codifica neuronale). Per integrare in questi modelli le diverse caratteristiche dell’immagine percepita, è necessaria l’introduzione di spazi funzionali bio-ispirati (ad esempio, spazi di colore), nuove geometrie (sub-Riemanniane e iperboliche) e l’utilizzo di opportuni filtri (Gabor, wavelet) che descrivano la risposta neuronale all’input osservato. L’avanzamento teorico negli studi sulla visione umana è d’altronde fondamentale per la comprensione delle interazioni neuronali non spiegabili tramite strumenti ‘classici’, come nel caso dei moderni approcci basati sull’utilizzo di reti neurali per risolvere numerosi problemi di imaging.

Gli assi di ricerca attorno a questo tema sono i seguenti:

• Modelli bio-ispirati per la visione

• Psicofisica e neurogeometria della visione

Numerosi problemi di imaging biomedicale 2D e 3D (tomografia, RM, ultrasuoni, microscopia) richiedono l’utilizzo di tecniche di ricostruzione avanzate per il recupero di informazioni spesso non visibili nel dato e/o per eliminare artefatti (blur, rumore) in vista di un’analisi quantitativa precisa ed affidabile. A questi si aggiungono problemi dove l’obiettivo è oltrepassare i limiti ‘fisici’ del problema (ad esempio le barriere di diffrazione per problemi di super-risoluzione) e/o di riconoscere, anche in modo dinamico (video), oggetti nell’immagine in termini delle loro caratteristiche distintive. E' dunque necessario definire le proprietà che vogliono essere favorite nel processo di ricostruzione (tipicamente, un qualche tipo di sparsità) oltre che le proprietà fisico/statistiche del problema (tipo di rumore, processo di degradazione. . . ) per modellizzare in modo consistente il processo di acquisizione dei dati.

Problemi analoghi sono spesso incontrati anche in applicazioni di imaging astronomico, dove la ricostruzione dell’immagine desiderata è effettuata a partire da misurazioni satellitari in diverse modalità (raggi X ad alta energia, ad esempio) e necessaria per identificare fenomeni astronomici di interesse nello spazio extra-atmosferico.

Un’altra area di applicazione riguarda l’utilizzo di tecniche avanzate di imaging a larga-scala per il restauro digitale di opere del patrimonio culturale danneggiate da fattori esterni (opere di restauro e censura) ed interni (usura) e il cui restauro fisico è spesso impossibile per via della fragilità dei materiali utilizzati.

I principali assi applicativi sono i seguenti:

• Imaging biomedicale

• Imaging astronomico

• Imaging del patrimonio culturale