Resúmenes

La dualidad de Shcur-Weyl relaciona las representaciones del grupo simétrico en n letras con las del grupo general lineal  de matrices cuadradas de tamaño m. Una de sus versiones, la llamada versión del doble centralizador, afirma que  el álgebra de grupo del grupo simétrico es isomorfa a el álgebra de endomorfismos en un espacio vectorial de dimensión mn, los cuales son  invariantes por la acción del grupo general lineal, para 0 <m < n. Este teorema se puede llevar a una versión cuántica la cual reemplaza al grupo simétrico por el álgebra de Hecke y al grupo general lineal por cierta álgebra envolvente cuantizada. Ya que estos objetos, de manera independiente, admiten versiones categóricas, es natural preguntarse si es posible encontrar una versión de la dualidad en este nivel de generalidad. En esta charla, buscaré explicar cómo encontrar dicha versión y cuáles serían sus posibles ventajas. Este es un trabajo conjunto con Nicolás Libedinsky (U. de Chile). 

Una superficie se dice de tipo topológico infinito si tiene un grupo fundamental infinitamente generado. En esta charla vamos a considerar la siguiente pregunta: Dada una superficie de tipo topológico infinito S, y un grupo abstracto G, ¿podemos realizar G como el grupo de isometrías de alguna estructura de superficie de traslación sobre S? También vamos a contestar (parcialmente) la misma pregunta respecto al grupo de Veech, que es un grupo relacionado con la estructura de traslación. Esta es una colaboración con A. Randecker, C. Sadanand, F. Valdez y G. Weitze-Schmithüsen. 

En esta charla abordaremos distintos puntos de vista sobre la geometría no conmutativa del espacio de elementos positivos en una C*-álgebra. En particular, presentaremos estructuras tipo Finsler y tipo Riemanniano (introducidas por Corach, Porta y Recht), y también una descripción espectral usando operadores de Dirac naturalmente asociadas a ellas, ilustrando la no trivialidad (topológica) de la construcción y mencionando algunas de sus aplicaciones.

En esta charla estudiaremos cuales hipersuperficies inmersas en los espacios forma no llanos satisfacen que el vector curvatura media es función propia del operador Cheng-Yau. Es importante señalar que esta ecuación diferencial característica respecto al operador de Laplace ha sido ampliamente estudiada véase por ejemplo [1], [2]. Nuestros resultados resultados están contenidos en los artículos [3] y [4].

Bibliografía

[1] L.J. Alías, A. Ferrández and P. Lucas. Hypersurfaces in the non-flat Lorentzian space forms with

a characteristic eigenvector field, J. Geom. 52 (1995), 10-24.

[2] S. Markvorsen. A characteristic eigenfunction for minimal hypersurfaces in space forms. Math.

Z. 202, (1989) 375–382

[3] L.J. Alías, S.C. García-Martínez and H.F. Ramírez-Ospina. Surfaces satisfying □H = λH

in non flat 3-space forms, Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 46 (185) (2023), 1-15.

[4] L.J. Alías, S.C. García-Martínez and H.F. Ramírez-Ospina. Classification of hypersurfaces in the

Euclidean 4-sphere satisfying □H = λH. Sometido (2025).

Ya han pasado casi dos décadas desde que Bayer introdujo el concepto de estabilidad polinomial, en su trabajo seminal él también mostró la existencia de dos condiciones de estabilidad polinomial estándar llamadas DT y PT y separadas por un muro. Cuando el rango es 1, los objetos DT-estables son ideales de curvas y los objetos PT-estables son pares (F,s) consistentes de un haz coherente 1-dimensional y una sección s de F, cuyo cokernel es 0-dimensional. Ha sido sugerido por varios autores durante estas dos décadas que la correspondencia DT/PT (una comparación entre los conteos virtuales de objetos DT y PT estables) son una manifestación de un cruce de muros, no solo para condiciones de estabilidad polinomial, sino más aún para condiciones de estabilidad de Bridgeland.

Para una variedad proyectiva, compleja y suave de dimensión 3, cuyo número de Picard es 1, y para la cual se conoce que la construcción de condiciones de estabilidad de Bayer, Macrì y Toda funciona, mostramos que existen dos cámaras contiguas en la variedad de estabilidad de Bridgeland donde los objectos estables (de cualquier rango) son precisamente los  haces Gieseker estables  y los objetos  PT estables, respectivamente. Una de las contracciones al espacio moduli en el muro es una generalización del mapa de Gieseker a Uhlenbeck en el caso de superficies. Este trabajo es en colaboración con Marcos Jardim (Campinas), Jason Lo (CSUN) y Antony Maciocia (Edinburgh).

En computación cuántica, los códigos cuánticos topológicos basados en modelos de lattices ofrecen una protección robusta contra la decoherencia, gracias a su resistencia frente a perturbaciones locales. El toric code es un ejemplo paradigmático de este tipo de códigos cuánticos error-corregibles (QECC, por sus siglas en inglés), y ha dado lugar a generalizaciones como el Kitaev’s quantum double model, donde el álgebra de grupo C[G],  siendo G un grupo finito es asignada a cada arista de un lattice sobre una superficie orientable Σ. Estos modelos presentan propiedades que van más allá de las de un QECC estándar, las cuales se describen mediante una formulación axiomática conocida como orden topológico local (LTO), basada en proyectores locales sobre el espacio de estados fundamentales. Se probó que el modelo Twisted Quantum Double, que extiende el modelo de Kitaev incorporando un twist cohomológico dado por una clase α ∈ H^3(G, U (1)), satisface los axiomas de LTO para lattices bidimensionales arbitrarios. Este resultado establece que el espacio de estados fundamentales del modelo Twisted constituye un QECC, aunque la descripción de un procedimiento explícito de corrección de errores sigue siendo un problema abierto. Este es un trabajo conjunto con Shawn Cui (Purdue University) y César Galindo (Universidad de los Andes).

El propósito principal de esta charla es introducir el concepto de grupoide de Lie Riemanniano, describir sus propiedades básicas y explicar por qué dicho objeto permite definir una noción de métrica Riemanniana sobre ciertos espacios de órbita singulares. Algunas aplicaciones y extensiones de resultados clásicos de la geometría Riemanniana a este contexto serán mencionados.

Dada una variedad spin M de dimensión mayor o igual a 5 con grupo fundamental G, Rosenberg demostró que existe un morfismo de índice entre el anillo de bordismo del espacio clasificante G y la K-teoría real de la C*-álgebra reducida del grupo G, tal que si M admite una métrica de curvatura escalar positiva entonces este morfismo se anula en la clase clasificante de M. Stoltz demostró que el recíproco es cierto si M es simplemente conexa, se conjeturaba que el recíproco siempre era cierto. Schick construyó una variedad de dimensión 5 que no satisface esta conjetura. En esta charla nos concentraremos en variedades con grupo fundamental cristalográfico. Mostraremos una condición sobre los grupos fundamentales que implica que la conjetura es cierta y también otra condición que permite construir contraejemplos, generalizando las ideas de Schick. Este es un trabajo conjunto con Noé Bárcenas en la UNAM-Morelia. 

Para una terna (K, X, Y) compuesta por un grupo K y dos subgrupos normales X e Y de K, introducimos una familia de subgrupos normales de K indexada por parejas de enteros positivos, denominada serie central descendente doble. Si K = XY, demostramos que esta familia permite recuperar la serie central central descendente de K. Si G es un grupo que actúa sobre K preservando X e Y, demostramos que la doble serie central descendente induce una filtración doblemente indexada de G. Aplicamos esta teoría al grupo de clases de isotopía de auto-homeomorfismos de la 3-esfera S^3 que preservan la descomposición estándar de S^3 como la unión de dos cuerpos de asas. (Trabajo en conjunto con Kazuo Habiro).