Riquelme, F. and Velozo, A. "On the Hausdorff dimension of geodesics that diverge on average", Journal of the London Mathematical Society, Volume 111 (2025), no. 6.
In this paper, we study the geometry and dynamics of geodesic directions that are recurrent but diverge on average on noncompact negatively curved manifolds. Its main result proves that the Hausdorff dimension of the diverging-on-average radial limit set coincides with the entropy at infinity of the geodesic flow. A central ingredient is the construction of carefully controlled piecewise geodesic rays approximating geodesic trajectories with prescribed escape behavior, inspired by the work of Christopher Bishop and Peter Jones. Another key ingredient is the construction of an appropriate measure supported on the diverging-on-average radial limit set, allowing the application of the Mass Distribution Principle. The work also proves that the entropy of any infinite, conservative, ergodic, σ-finite invariant measure is bounded above by the entropy at infinity.
Gelfert, K. and Riquelme, F. "Exceptional sets for geodesic flows of non-compact manifolds", Discrete and Continuous Dynamical Systems Journal, Volume 44 (2024) no. 11, p. 3371-3397.
In this paper, we study exceptional sets for geodesic flows on noncompact negatively curved manifolds, showing that dynamically “small” sets have exceptional sets with full topological entropy. In particular, it proves that if a set has entropy strictly smaller than that of the geodesic flow, then the set of geodesics whose ωω-limit avoids it still carries full entropy. The work combines symbolic dynamics, hyperbolic geometry, and approximation by basic sets, extending several classical exceptional-set results from compact dynamics to a broad noncompact geometric setting.
Riquelme, F. "Entropies for geodesic flows". This is an appendix from the worl of Gouezel, S., Schapira, B. and Tapie, S. entitled "Pressure at infinity and strong positive recurrence in negative curvature", Comment. Math. Helv. 98 (2023), no. 3, pp. 431–508.
The appendix establishes the equivalence between several fundamental notions of measure-theoretic entropy for geodesic flows on noncompact negatively curved manifolds, including Kolmogorov–Sinai entropy, Brin–Katok local entropy, and Katok entropy. While these equivalences are classical in compact dynamics, the noncompact setting requires substantial additional arguments due to the lack of compactness.
Riquelme, F. and Velozo, A. "Ergodic optimization and zero temperature limits in negative curvature", Ann. Henri Poincaré, Vol. 23 (2022) no. 8, p.2949-2977.
In this paper, we develop a general theory of ergodic optimization for geodesic flows on non-compact negatively curved manifolds. It identifies the escape of mass phenomenon as an obstruction to the existence of maximizing measures for uniformly continuous potentials, introducing the quantity β∞(φ) to measure averages escaping to infinity. The work proves existence criteria for maximizing measures beyond the classical coercive setting, studies zero-temperature limits of equilibrium states, establishes convergence/divergence phenomena for ground states, and derives applications such as the intermediate entropy property and density of equilibrium states among invariant measures.
Riquelme, F. and Velozo, A. "Escape of mass and entropy for geodesic flows", Erg. Th. & Dyn. Syst. Journal, Vol. 39 (2019) no. 2, p. 446-473.
In this paper, we study the phenomenon of escape of mass for geodesic flows on geometrically finite negatively curved manifolds. It establishes sharp upper semicontinuity results for entropy under vague convergence of invariant measures, showing that the loss of entropy is precisely controlled by the maximal critical exponent of parabolic subgroups. The paper also develops a detailed thermodynamic formalism for potentials vanishing at the cusps, proving the existence of phase transitions and characterizing the entropy at infinity of the geodesic flow.
Riquelme, F. "Ruelle's inequality in negative curvature", Discrete and Continuous Dynamical Systems Journal, Vol. 38 (2018) no. 6, p. 2809-2825.
In this work, we establish Ruelle’s inequality and Pesin’s entropy formula for geodesic flows on complete negatively curved manifolds, extending fundamental results of smooth ergodic theory to a broad noncompact setting. A central contribution is the introduction of a Riemannian local entropy adapted to noncompact manifolds, together with new relationships between measure-theoretic entropy, local entropy, and geometric properties of dynamical balls. The paper further connects Lyapunov exponents, Gibbs measures, and thermodynamic formalism for geodesic flows in pinched negative curvature.
Iommi, G., Riquelme, F. and Velozo, A. "Entropy in the cusp and phase transitions for geodesic flows", Israel Journal of Mathematics, Vol. 225 (2018), p. 609-659.
In this work, we develop a thermodynamic formalism for geodesic flows on noncompact negatively curved manifolds associated with extended Schottky groups. Among its main contributions are the introduction and computation of the entropy at infinity (or entropy in the cusps), sharp relations between entropy and escape of mass of invariant measures, and the construction of natural phase transitions for pressure functions. The paper combines symbolic dynamics over countable Markov shifts with geometric methods in negative curvature, establishing new connections between dynamics, geometry, and thermodynamic formalism in the noncompact setting.
Riquelme, F. "Counterexamples to Ruelle's inequality in the noncompact case", Annales de l'Institut Fourier, Vol. 67 (2017) no. 1, p. 23-41.
In this work, we construct the first explicit family of smooth dynamical systems for which Ruelle’s inequality fails. More precisely, it shows that there exist smooth diffeomorphisms with positive (even infinite) metric entropy while all Lyapunov exponents vanish almost everywhere. The idea of the proof relies on the fact that the (positive) entropy contribution can be produced only from the dynamics "at infinity", even if locally the dynamics behaves as a translation. The construction combines suspension-type dynamics over countable interval exchange transformations with carefully designed noncomplete Riemannian structures.
Riquelme, F. "A note on exponentially mixing measures for rational maps", submitted.
In this paper, we prove that, for strictly postcritically finite rational maps, exponentially mixing invariant probability measures are dense in the space of all invariant probability measures. The argument combines thermodynamic formalism with recent density results for periodic orbit measures, showing that measures supported on repelling periodic orbits can be approximated by equilibrium states of Hölder potentials. As a consequence, the paper obtains the intermediate entropy property for these rational maps through a thermodynamic approach.
Pizarro, D. and Riquelme, F. "On linear escape and the dimension of limit sets in variable negative curvature", submitted.
In this paper, we study the relation between recurrence, escape rates, and Hausdorff dimension for discrete groups acting on negatively curved manifolds. We prove that the Hausdorff dimension of the limit set is completely determined by two extremal dynamical behaviors: recurrence and linear escape. More precisely, the Hausdorff dimension of the limit set coincides with the maximum of the Hausdorff dimensions of the radial limit set and the linear escape limit set. The proof extends Bishop’s theorem from the hyperbolic space to variable negative curvature using CAT(-1) comparison geometry and shadow estimates. As a consequence, for discrepancy groups, the linear escape limit set may have full Hausdorff dimension while remaining negligible for both Patterson-Sullivan and harmonic measures (with finite first momentum).
FONDECYT Regular Nº 1231257. Dimension and entropy properties of geodesic orbits on non-compact manifolds.
Inicio: 01/04/2023
Término: 31/03/2027
Math-AmSud MATH2020017. Crossroad between dynamical systems and group actions - LATITUDE.
Inicio: 01/01/2021
Término: 31/06/2023
FONDECYT Iniciación Nº 11190461. Ergodic geometry, dimension theory and related topics.
Inicio: 01/11/2019
Término: 31/10/2022
DI Investigación Emergente Nº 039.401/19. Ergodic geometry at infinity.
Inicio: 15/04/2019
Término: 29/01/2020
FONDECYT Post-doctorado Nº 3170049. Entropía de difeomorfismos de variedades no compactas. Problema de escape de masa, desigualdad de Ruelle y entropía topológica de conjuntos de puntos genéricos.
Investigador Patrocinante: Radu Saghin
Inicio: 15/03/2017
Término: 14/03/2019
Doctorado.
Sebastián Villarroel. "EKP Inequalities in Compact and Non-Compact Dynamical Systems". Fecha: Marzo 2026 a Diciembre 2027. En ejecución. Doctorado en Matemáticas en consorcio. PUCV-UV-UTFSM.
Daniel Pizarro. "Dimensión de Hausdorff de conjuntos límites". Fecha: Marzo 2025 a Diciembre 2026. En ejecución. Doctorado en Matemáticas en consorcio. PUCV-UV-UTFSM.
Magíster.
Sebastián Villarroel. "Dimensión de órbitas que divergen linealmente". Fecha: Agosto a diciembre 2023. Finalizado. Magíster en Matemáticas. PUCV.
Tadashii Horta. "Entropía y dinámica local en variedades diferenciables". Fecha: Marzo a junio 2018. Finalizado. Magíster en Matemáticas. PUCV.
Pregrado.
Camila Gordillo. "Teoría de la dimensión". Fecha: Agosto a Diciembre 2025. Finalizado. Licenciatura en Matemáticas. PUCV.
Jesús Vásquez. "Teorema de la curva de Jordan". Fecha: Marzo a Junio 2025. Finalizado. Licenciatura en Matemáticas. PUCV.
Camilo Martínez. "La relación entre el grupo fundamental, los cubrimientos y las acciones de grupo". Fecha: Agosto a Diciembre 2024. Finalizado. Licenciatura en Matemáticas. PUCV.
Sebastián Villarroel. "Teorema de Hadamard-Perron para flujos". Fecha: Marzo a Junio 2021. Finalizado. Licenciatura en Matemáticas. PUCV.
Diego Rojas La Luz. "Trayectorias geodésicas y teoría de números". Fecha: Agosto a diciembre 2019. Finalizado. Licenciatura en Matemáticas. PUCV.
Vanessa Matus de la Parra. "Mixing topológico del flujo geodésico en superficies hiperbólicas de volumen finito". Fecha: Agosto a diciembre 2017. Finalizado. Licenciatura en Matemáticas. PUCV.
2026
Órbitas geodésicas y puntos límites, Programa de Visitas Nacionales, Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile.
2025
Sur l'équidistribution des nombres rationnels, Séminaire de Théorie Ergodique, Université de Rennes, France
Dimension of geodesics that diverge on average, 2nd LESET Workshop, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
Dimensión de órbitas geodésicas que escapan en promedio, Encuentro de Geometría Compleja y Dinámica Holomorfa-Aritmética, Universidad de la Frontera, Chile.
Exceptional sets for geodesic flows on non-compact manifolds, School: Combinatorial and geometrical approaches on dynamics, Universidad de Chile, Chile.
El juego de Alcatraz, Coloquio de Licenciatura, PUCV.
Dimensión de órbitas geodésicas que escapan en promedio, XLVIII Semana de la Matemática, PUCV.
Dimension d’orbites géodésiques divergentes en moyenne, Séminaire de Théorie Ergodique, IRMAR, Université de Rennes 1, France.
Recurrencia y escape de órbitas geodésicas en superficies hiperbólicas, Coloquio de Matemáticas, Universidad de Chile, Chile.
El lema del Ping-Pong, Coloquio de Licenciatura, PUCV, Chile.
Intermediate entropy property: old and new, Seminario Dinámica Porteña / Seminario de Sistemas Dinámicos de Santiago, PUCV / USACH-UCh-PUC, Chile.
Un conteo dinámico, Semana de la Matemática, PUCV, Chile.
Ergodic optimization in negative curvature, Valpo in Rio: a dynamical afternoon, PUC-Rio, Brasil.
Ergodic optimization in negative curvature, Dynamical Systems and Applications, Universidad del Bio-Bio, Chile.
Ground states at zero temperature in negative curvature, Jornadas Matemáticas de la Zona Sur, Universidad de Magallanes, Chile.
Del plano Euclideano al disco de Poincaré, Coloquio de Licenciatura, PUCV, Chile.
Geometría hiperbólica y dinámica del flujo geodésico, Jornadas Matemáticas UV, Universidad de Valparaíso, Chile.
Ground states at zero temperature in negative curvature, Dynamical Day, Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile.
Una aproximación discreta a la aplicación conforme de Riemann, Coloquio de Licenciatura, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
En torno a la entropía de flujos geodésicos en curvatura negativa, Coloquio, Universidad de Chile, Chile.
Distribución de órbitas periódicas y entropía de endomorfismos racionales en la esfera (en conjunto con V. Matus de la Parra), Seminario de Postgrado, Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile.
Estimaciones de la entropía para flujos geodésicos en curvatura negativa, Días de caos y sistemas dinámicos, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
Escape de masa y formalismo termodinámico en curvatura negativa, Jornadas Matemáticas de la Zona Sur, Universidad Austral de Chile, Chile.
Cortando, apilando e intercambiando intervalos, Seminario Dinámica Porteña Junior, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
Thermodynamical formalism and zero temperature in negative curvature, EDAI Seminar, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil.
Formalisme thermodynamique et température nulle en courbure négative, Séminaire de Théorie Ergodique, Université de Rennes 1, Francia.
Amount of failure of upper-semicontinuity of entropy for the geodesic flow on hyperbolic surfaces, Encuentro de geometría y dinámica holomorfa-aritmética, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
Dinámica de la familia cuadrática (en conjunto con R. Saghin y F. Valenzuela), Semana de la Matemática, Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile.
Entropía de difeomorfismos en variedades Riemannianas, Seminario de Postgrado, Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile.
Desigualdad de Ruelle para difeomorfismos en variedades no compactas, Simposio de investigadores jóvenes en dinámica y geometría, Universidad de la Frontera, Chile.
Un problema de aproximación numérica y dinámica del flujo geodésico, Seminario Dinámica Porteña Junior, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
Contraejemplos a la desigualdad de Ruelle, Seminario Dinámica Porteña, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
Autour de l'entropie des difféomorphismes de variétés non compactes, Soutenance de thèse, Université de Rennes 1, Francia.
Escape of mass and entropy for the geodesic flow in negative curvature, Geometry seminar, ETH Zurich, Suiza.
Perte de masse sur la surface modulaire, Groupee de travail Géométrie et Systèmes Dynamiques, Université de Rennes 1, Francia.
L'inégalité de Ruelle sur les variétés non-compactes, Groupe de travail de Théorie Ergodique, Université Paris-Sud, Francia.
Contre-exemples à l'inégalité de Ruelle dans le cas non-compact, Séminaire de Probabilités et Théorie Ergodique, Université Picardie Jules Verne, Francia.
L'inégalité de Ruelle pour le flot géodésique en courbure négative, Séminaire de Systèmes Dynamiques, Probabilités et Statistique, Université de Bretagne Occidentale, Francia.
L'inégalité de Ruelle pour le flot géodésique en courbure négative, Séminaire de Géométrie, Université de Nantes 1, Francia.
Contre-exemples à l'inégalité de Ruelle dans le cas non-compact, Séminaire de Théorie Ergodique, Université de Rennes 1, Francia.
Formalisme thermodynamique dans la surface modulaire, Séminaire PAMPERS, Université de Rennes 1, Francia.
Uniformisation par empilements, XIII Journées Louis Antoine, Université de Rennes 1, Francia.
La desigualdad de Ruelle para el flujo geodésico en curvatura negativa, Seminario de Sistemas Dinámicos, Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile.
Principe variationnel et groupes Kleiniens, Groupe de Travail Rennes-Nantes, Université de Nantes 1, Francia.
Introduction à l'entropie, Groupe de Travail Rennes-Nantes (doctorants), Université de Rennes 1, Francia.
Estimations de l'entropie pour un système dynamique différentiable, Séminaire PAMPERS, Université de Rennes 1, Francia.
Principio variacional y grupos Kleinianos, Seminario de Sistemas Dinámicos, Universidad de Santiago de Chile, Chile.
Principio variacional y grupos Kleinianos, Seminario Dinámica Porteña, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
Medidas de Bowen-Margulis y ergodicidad del flujo geodésico, Seminario de Postgrado, Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile.
Le théorème de Hopf-Tsuji-Sullivan, Groupe de Travail Rennes-Nantes, Université de Nantes 1, Francia.
El teorema del polígono de Poincaré, Seminario de Postgrado, Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile.
Entropía y la fórmula de Pesin, Seminario de Sistemas Dinámicos, Universidad de Santiago de Chile, Chile.
Lyapunov exponents and entropy of diffeomorphisms on compact manifolds, Soutenance Master 2, Université Pierre et Marie Curie, Francia.
El teorema de la curva de Jordan, Conversando de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile.
Superficies de Riemann, Taller de Iniciación Científica, Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile.
Medidas invariantes para el flujo horocíclico, Programa de Visitas Nacionales, Pontificia Universidad Católica de Chile (2024), Chile.
Ergodic theory of geodesic flows on negatively curved manifolds, Crossroad Between Dynamical Systems and Group Actions, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
Grupos Fuchsianos, flujos geodésicos y dimensión al infinito, Encuentro de Geometría Compleja y Dinámica Holomorfa-Aritmética versión online (2020), Chile.
Ergodic theory in negative curvature, Universidade Federal do Rio de Jaineiro (2018) Brasil.
Dinámica del flujo geodésico en curvatura negativa, LXIII Colloquium: Celebrating Rafael Labarca's 60th Birthday, Universidad de Santiago de Chile (2017) Chile.
Dinámica del flujo geodésico en curvatura negativa, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso (2016) Chile.