[1,1,1,1](n)
1: [empty]
2: [empty]
3: [empty]
[1,1,1,1][1,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1]
3: [1,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][1,1,1,1]
3: [1,1,1,1][1,1,1,1][1,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][1,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][1,1,1,1][1,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][2,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][2,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][2,1,1,1][2,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][4,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1][4,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][5,1,1,1](n) [simulates the common limit of Y sequence, equivalent to Y(1,3)]
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][4,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][4,1,1,1][8,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][5,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][5,1,1,1][14,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1][24,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1][23,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1][23,1,1,1][99,1,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1](n) [this effectively beats the regular Y sequence]
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1]
4: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1][24,1,1,1]
5: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1][24,1,1,1][120,1,1,1]
6: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1][24,1,1,1][120,1,1,1][720,1,1,1]
Follow the factorial sequence
[1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,1,1,1][1,2,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,1,1,1][1,2,1,1][1,1,1,1][1,2,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][1,2,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][1,2,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][1,2,1,1][6,1,1,1][1,2,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][2,2,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,2,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,2,1,1][1,2,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][1,3,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,2,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,2,1,1][6,2,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][1,4,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,3,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,3,1,1][6,4,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][1,5,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,4,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,4,1,1][6,8,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][1,6,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,5,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,5,1,1][6,14,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][1,6,1,1][1,24,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,6,1,1][2,23,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,6,1,1][2,23,1,1][6,99,1,1]
[1,1,1,1][1,1,2,1](n)
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,6,1,1]
[1,1,1,1][1,2,2,1](n)
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,2,1,1]
3: [1,1,1,1][2,2,1,1][6,6,1,1]
[1,1,1,1][1,1,2,1][1,1,3,1](n)
1: [1,1,1,1][1,1,2,1]
2: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,2,1]
3: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,2,1][1,6,2,1]
[1,1,1,1][1,1,2,1][1,1,4,1](n)
1: [1,1,1,1][1,1,2,1]
2: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,3,1]
3: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,3,1][1,6,4,1]
[1,1,1,1][1,1,2,1][1,1,5,1](n)
1: [1,1,1,1][1,1,2,1]
2: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,4,1]
3: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,4,1][1,6,8,1]
[1,1,1,1][1,1,2,1][1,1,6,1](n)
1: [1,1,1,1][1,1,2,1]
2: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,5,1]
3: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,5,1][1,6,14,1]
[1,1,1,1][1,1,1,2](n)
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][1,1,1,2]
3: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,6]
[1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,3](n)
1: [1,1,1,1][1,1,1,2]
2: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,2]
3: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,2][1,1,6,2]
[1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,4](n)
1: [1,1,1,1][1,1,1,2]
2: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,3]
3: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,3][1,1,6,4]
[1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,5](n)
1: [1,1,1,1][1,1,1,2]
2: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,4]
3: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,4][1,1,6,8]
[1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,6](n)
1: [1,1,1,1][1,1,1,2]
2: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,5]
3: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,5][1,1,6,14]
Limit of FAAAT(n)
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][1,1,1,1]
3: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,6]
4: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,6][1,1,1,24]
5: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,6][1,1,1,24][1,1,1,120]
6: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,6][1,1,1,24][1,1,1,120][1,1,1,720]
Follow the factorial sequence
...
We can do the limit above and that's the limit of my recent humorous notation. That limit is WAY GREATER THAN the limit of Y sequence extensions such as YY sequence and ω-Y sequence. But it could not beat the Loader's D function there. It is ill-defined and it doesn't make any sense with the comparison.