14 de Julho às 15:00

Em busca dos zeros perdidos: a Hipótese de Riemann e a música dos primos

A Hipótese de Riemann (HR) afirma que os zeros da função Zeta estão na recta vertical . Este é talvez o mais importante, e seguramente o mais famoso, problema em aberto na Matemática. Tem implicações extraordinárias, a primeira das quais – que levou à sua introdução por Riemann – é o facto de a distribuição dos números primos ter um equilíbrio óptimo entre aleatoriedade e regularidade. Num sentido matematicamente preciso, à la Fourier, a Hipótese de Riemann assegura a harmonia da música dos primos.

Para além disso, tem impacto em muitas outras áreas: há dezenas de resultados demonstrados supondo que a Hipótese de Riemann é verdadeira. Por outro lado, ela admite generalizações formalmente análogas a outros contextos, como L-funções de Dirichlet ou L-funções automórficas. Saber se a HR é verdadeira nesses contextos teria implicações profundas.

Mas para isso teríamos de saber se a Hipótese de Riemann básica é ou não verdadeira. E até hoje, apesar de enormes esforços de grandes matemáticos (e do Prémio do Milénio, de um milhão de dólares) a Hipótese de Riemann continua a ser… uma hipótese.

16 de Julho às 15:00

Uma breve introdução à teoria da regularidade em equações diferenciais parciais

Na teoria das equações diferenciais parciais (EDPs), uma das questões fundamentais é entender quão suaves são as soluções de uma equação. A teoria da regularidade busca investigar propriedades como continuidade e diferenciabilidade das soluções, desempenhando um papel central na análise moderna de EDPs. Nesta apresentação, faremos uma introdução às principais ideias da teoria da regularidade, discutindo por que essas propriedades são importantes e como elas influenciam o estudo qualitativo das soluções. A exposição será voltada a exemplos e  intuições, buscando fornecer uma visão geral da área.