Projecto 1 - Rank-Metric Codes and Their Parameters

Error-correcting codes play a central role in ensuring reliable communication in modern digital systems. Among the various types of codes studied in coding theory, rank-metric codes provide a different perspective by measuring the distance between data using the rank of matrices rather than the usual Hamming distance.

This project offers an introductory overview of rank-metric codes, focusing only on the fundamental concepts. We will explore how matrices over finite fields can be used to represent codewords, and how the notion of rank distance defines a natural metric on this space. Basic parameters such as the dimension of a code and its minimum rank distance will also be introduced.

The goal of this project is to build an intuitive understanding of these concepts through simple examples, without delving into advanced theoretical results. By the end of the project, students will gain a first exposure to an important modern topic in coding theory.

Projecto 2 - Support in Rank-Metric Codes

In classical coding theory, the notion of support of a codeword describes the positions where the codeword is nonzero and plays a fundamental role in understanding the structure ofcodes. In the context of rank-metric codes, this concept is generalized using linear algebra, leading to a richer and more geometric interpretation.

This project introduces the concept of support for rank-metric codes in an elementary way.

Instead of focusing on positions, the support of a codeword is defined as a vector space generated by the rows or columns of a matrix. This allows us to study codes through subspaces rather than individual coordinates.

We will explore how the support of a single codeword and of a subcode are defined, and how these notions help describe the structure of rank-metric codes.

Projecto 4 - Modelos  Matemáticos em Epidemiologia:

Inserção de heterogeneidade

Doenças infecciosas existem há milhares e milhares de anos, antes até do aparecimento da humanidade. É portanto natural que nós humanos comecemos a questionar as origens da doença e a forma como esta se transmite. A dinâmica das doenças infecciosas é precisamente o que descreve o termo "epidemiologia".

Considerando-se uma população de uma certa espécie, não é esperado que os seus indivíduos sejam todos iguais: por exemplo: alguns indivíduos podem ser (parcialmente ou totalmente) imunes a uma certa doença infecciosa enquanto outros não são. A população humana, por exemplo, é notoriamente heterogénea!

Sendo assim, como podemos nós tomar em conta a heterogeneidade aquando da construção de um modelo epidemiológico? Que técnicas são usadas no estudo dos modelos obtidos? 

Para responder a estas questões, recomenda-se a leitura do 2º capíıtulo de [3] (baseado em [2]). Um bom artigo introdutório à ´area de modelos matem´aticos em epidemiologia ´e [1].

Projecto 9 - Teoria dos Números transcendentes

A medida de irracionalidade de um número real quantifica quão bem esse número pode ser aproximado por fracções racionais. Intuitivamente, mede até que ponto existem aproximações inesperadamente boas por razões entre inteiros, isto é, aproximações muito mais precisas do que aquilo que seria normalmente de esperar. Números com medida de irracionalidade pequena resistem a aproximações racionais excepcionalmente boas; números com medida elevada admitem aproximações invulgarmente eficazes.

Neste contexto, os números quadráticos, como a raiz quadrada de dois ou a razão de ouro, têm a medida mínima possível entre os irracionais e são, num sentido rigoroso, dos números mais difíceis de aproximar por fracções. Mais geralmente, um célebre teorema de Roth mostra que todos os números algébricos irracionais partilham esse mesmo comportamento mínimo. Já no caso de números transcendentes, o panorama é muito mais variado: o número de Euler, também tem medida mínima, enquanto existem números transcendentes especialmente construídos, como os números de Liouville, cuja medida de irracionalidade é arbitrariamente grande.

Do ponto de vista geométrico e probabilístico, surge um contraste notável. O conjunto dos números cuja medida de irracionalidade excede ligeiramente o valor mínimo, por exemplo valores do tipo dois mais epsilon, tem medida de Lebesgue nula, ou seja, é invisível do ponto de vista probabilístico: escolhendo um número real ao acaso, a probabilidade de pertencer a esse conjunto é zero. No entanto, esse mesmo conjunto continua a possuir estrutura fractal rica, sendo a sua dimensão de Hausdorff dada explicitamente por uma expressão simples em função desse parâmetro. Assim, conjuntos excepcionais podem ser simultaneamente raros e geometricamente complexos.

Finalmente, uma das facetas mais elegantes desta teoria é que se podem construir números com praticamente qualquer medida de irracionalidade desejada. Usando fracções contínuas e escolhendo cuidadosamente os seus coeficientes, é possível controlar a qualidade das aproximações racionais sucessivas e produzir exemplos explícitos com determinado comportamento. Os pré-requisitos são triviais, mas é necessário bastante proatividade pois é um tema que conjuga ideias clássicas da aproximação diofantina e as suas aplicações a geometria fractal e teoria dos números.

Projecto 11 - O que é que a Lógica e o Pictionary têm em comum?

É comum que, ao ouvirmos falar em lógica, sejamos imediatamente remetidos para axiomas, regras formais de inferência e tabelas de verdade. 

 A realidade é que existem várias maneiras de caracterizar uma lógica semanticamente. Dois dos paradigmas mais comuns são a Semântica de Modelos, baseada em estruturas e valores de verdade, e a Semântica Prova-Teórica, onde o significado dos conectivos é dado em termos de demonstrações. Uma outra opção é a Semântica de Jogos.

O objetivo deste projeto é exatamente explorar como a Semântica de Jogos pode ser utilizada para determinar a validade de fórmulas em Lógica Clássica, comparando esta abordagem com outros paradigmas semânticos. Vamos também investigar o que torna um jogo ”intrinsecamente” clássico e de que forma podemos introduzir pequenas modificações que permitam descrever outras lógicas, como a lógica intuicionista.

Projecto 13 - A digression towards dynamical systems

Dynamical systems theory studies the qualitative and asymptotic behavior of systems evolving under deterministic laws, at the intersection of analysis, geometry, topology, and probability. This course offers an introduction to discrete dynamical systems through the study of iterated maps and their fundamental properties, including orbits, invariant sets, recurrence, and topological conjugacy. Classical examples such as circle rotations, the doubling map, and the Smale horseshoe serve as guiding models illustrating the rich range of phenomena arising in discrete dynamics, from quasi-periodic motion to hyperbolic dynamics and chaos. Particular emphasis is placed on developing mathematical intuition while introducing some of the central concepts and techniques of modern dynamical systems theory.