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Elias Rego (AGH University of Krakow, Polônia)
Elias Rego (AGH University of Krakow, Polônia)
TÍTULO: Shadowing Local e Entropia.
RESUMO: A propriedade de shadowing é uma propriedade global de sistemas dinâmicos, com profundas conexões com a teoria da estabilidade, teoria hiperbólica e aplicações. Recentemente, versões locais dessa propriedade têm sido introduzidas, ampliando suas possibilidades de estudo. Neste trabalho, investigamos os pontos e medidas positivamente sombreáveis, destacando suas implicações para a dinâmica caótica, com ênfase na teoria da entropia. Mostraremos que o shadowing local é uma ferramenta poderosa na construção de semi-ferraduras, permitindo, assim, alcançar flexibilidade de entropia em sistemas dinâmicos que possuem classes recorrentes formadas por pontos sombreáveis. Este trabalho é fruto de uma colaboração com Piotr Oprocha
Vanessa Ramos (UFMA)
Vanessa Ramos (UFMA)
TÍTULO: Estados de equilíbrio para a uma classe de atratores não-uniformemente hiperbólicos.
RESUMO: Medidas invariantes que maximizam a pressão topológica de um sistema dinâmico, denominadas estados de equilíbrio, fornecem informações relevantes sobre o comportamento estatístico de órbitas típicas. Apesar de muitos avanços na área, a teoria dos estados de equilíbrio no contexto não-uniformemente hiperbólico ainda está longe de ser bem compreendida. Nesta palestra abordaremos o problema de existência e unicidade de estados de equilíbrio associados a uma classe de atratores não-uniformemente hiperbólicos e potenciais Hölder contínuous. Além da unicidade, deduziremos boas propriedades estatísticas e topológicas para o estado de equilíbrio do atrator.
Esse é um trabalho em colaboração com Giovane Ferreira (UFMA).
Carlos Gustavo Moreira (IMPA)
Carlos Gustavo Moreira (IMPA)
TÍTULO: Complexidade de palavras infinitas e crescimento de linguagens hereditárias extensíveis
RESUMO: Caracterizamos as funções de complexidade de palavras infinitas (e subshifts) módulo a relação de equivalência assintótica em que duas funções não decrescentes $f, g:\mathbb N\to\mathbb N$ são equivalentes se houver uma constante $C\ ge 1$ tal que $f(n)\le C\cdot g(Cn)$ e $g(n)\le C\cdot f(Cn)$ para cada $n\in\mathbb N$. A função de complexidade de cada sequência não (pré-)periódica é estritamente crescente, submultiplicativa e cresce pelo menos linearmente. Provamos que, reciprocamente, toda função que satisfaça essas condições (basta assumir que $f$ não é decrescente, $f(n)\ge n+1$ e $f(2n)\le f(n)^ 2$, para todo $n\in\mathbb N$) é assintoticamente equivalente à função de complexidade de uma palavra infinita recorrente (equivalentemente, de um subshift recorrente). A prova baseia-se numa construção algorítmica explícita, que utiliza certos ‘conjuntos de Cantor de números inteiros’, cujos ‘gaps’ correspondem a blocos de zeros. Provamos também que toda função submultiplicativa não decrescente é assintoticamente equivalente, módulo um termo de erro multiplicativo linear, à função de complexidade de um subshift minimal (associado a uma palavra infinita).
Este é um trabalho conjunto com Be'eri Greenfeld e Efim Zelmanov.
Harold Erazo (IMPA)
Harold Erazo (IMPA)
TÍTULO: Espectros de Markov e Lagrange: o ínfimo de M\L.
RESUMO: Os espectros de Markov e Lagrange são conjuntos da reta que possuem uma estrutura fractal rica e complexa que aparecem naturalmente no estudo de aproximações diofantinas. Por meio da dinâmica simbólica, esses objetos fornecem uma conexão frutífera entre os Sistemas dinâmicos e a Teoria de Números. Em 1880, em sua tese de mestrado, Markov provou que ambos espectros coincidem antes do 3. Nesta palestra, entre outros resultados, mostraremos que esse resultado deixa de ser verdade logo depois de 3: para qualquer $\varepsilon>0$ os espectros são diferentes em $(3,3+\varepsilon)$. Em particular inf(M\L) = 3.
Eduardo Santana (UFAL)
Eduardo Santana (UFAL)
TÍTULO: Estados de Equilíbrio para Sistemas Zooming Abertos
RESUMO: Os sistemas zooming foram introduzidos por Pinheiro em [2] e os sistemas zooming abertos foram introduzidos em [3] e uma estrutura de Markov adaptada a buracos especiais foi construída. Nocontexto de mapas não-uniformemente expansores e os chamados potenciais hiperbólicos, possivelmente com a presença de um conjunto crítico, os autores provaram finitude de estados de equilíbrio em [1]. Os sistemas zooming generalizam os mapas não-uniformemente expansores ao permitir contrações além do contexto exponencial. Para sistemas zooming abertos (veja [3]), possivelmente com a presença de um conjunto crítico/singular, nós provamos a existência de uma quantidade finita de estados de equilíbrio ergódicos zooming para potenciais zooming que sejam tamb´em Holder contínuos, ou que pelo menos tenham o potencial induzido localmente Holder. Entre os exemplos de potenciais zooming estão os chamados potenciais hiperbólicos e também o que chamamos de potenciais pseudo-geométricos ϕ_t = −t log[J_µ(f)], onde J_µ(f) é o Jacobiano da medida de referência. Nós provamos finitude de estados de equil´ ıbrio para contrações bem gerais, além do contexto exponencial. Então, nossos resultados generalizam a estrutura de Markov em [2] para o contexto de sistemas zooming abertos e o resultado principal em [1]. Além disso, provamos que os potencias zooming contínuos coincidem com os potenciais hiperbólicos e, provando que o potencial nulo é zooming, obtemos finitude de medidas de máxima entropia.
[1] J. F. Alves, K. Oliveira, E. Santana, Equilibrium States for Hyperbolic Potentials via Inducing Schemes, arXiv: 2003.11620
[2] V. Pinheiro, Expanding Measures, Annal. de l’Inst. Henri Poincaré , 28, 889 (2011).
[3] E. Santana, Equilibrium States for Open Zooming Systems, arXiv: 2010.08143
[4] M. Viana, Multidimensional NonHyperbolic Attractors, Pub. Math. de l’Inst. des Haut. Étud. Scient., 85, 1, 62 (1997).
Fagner Rodrigues (UFRGS)
Fagner Rodrigues (UFRGS)
TÍTULO: Alguns resultados acerca dos conceitos de emergência para sistemas Dinâmicos
RESUMO: Recentemente, Bochi e Berger introduziram um conceito para quantificar a complexidade estatística de um sistema: a emergência topológica de um mapa contínuo de um espaço métrico compacto $X$, que avalia o tamanho do espaço de medidas de probabilidade invariantes Borel $f$-ergódicas. Para ilustrar sua importância, eles provaram, entre outros resultados gerais igualmente interessantes para difeomorfismos em superfícies, que para mapas $C^{1+\alpha}$ expansivos conformes e que admitem um conjunto básico hiperbólico $\Lambda$, a emergência topológica é a maior possível, ou seja, igual à dimensão da caixa superior de $\Lambda$.
Isso significa que, quando $\mathrm{\overline{dim}_B}\, \Lambda > 0$, o número de medidas de probabilidade ergódicas distintas de $\varepsilon$ cresce super-exponencialmente em relação ao parâmetro $\varepsilon$. Nosso primeiro objetivo nesta palestra é caracterizar apresentar as principais definições, resultados e ideias apresentadas no trabalho de Bochi-Berger e também aqueles obtidos em colaboração recente com M. Carvalho, P. Varandas e L. Backes acerca da emergência para sistemas dinâmicos aleatórios.
José Costa Santana (UFMA)
José Costa Santana (UFMA)
TÍTULO: Semi rigidez de expoentes de Lyapunov em dimensões superiores
RESUMO: Apresentamos alguns resultados sobre difeomorfismos parcialmente hiperbólicos no toro de dimensão d (d > 2) que são homotópicos um difeomorfismo de Anosov linear A. Neste contexto, dado um difeomorfismo parcialmente hiperbólico f, como acima, mostramos que a soma dos expoentes de Lyapunov positivos de f é limitada pela soma dos expoentes de Lyapunov positivos de A. Mostraremos isso também para difeomorfismos não uniformemente hiperbólicos com decomposição dominada, em particular para exemplos descritos por C. Bonatti e M. Viana.
Este é um trabalho em colaboração com Ali Tahzibi.
Joas Rocha (UFRPE)
Joas Rocha (UFRPE)
TÍTULO: Medidas de máxima entropia para difeomorfismos em T^3
RESUMO: A entropia topológica é um importante invariante topológico quantificador da complexidade de um sistema dinâmico. Nesta palestra vamos falar sobre as medidas de máxima entropia para a classe dos difeomorfismos C^2 parcialmente hiperbólicos no toro T^3 com folhas centrais compactas. Mais especificamente, vamos contar o número de tais medidas sob certas hipóteses.
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