Corso per la magistrale in matematica tenuto da Enrico Fatighenti.
Il corso si terrà nel secondo semestre, il lunedì (14-16), e il martedì (9-11).
Qualche lunedì (da comunicare) ci sarà lezione extra 13-14 (2/3, --??)
Le date dell'esame sono da concordare con il docente.
L'esame sarà composto di:
3 esercizi a scelta dal foglio di esercizi disponibile su questa pagina, da consegnare in forma scritta 7 giorni prima della data di orale.
Un esame orale, la cui prima parte consisterà in un'esposizione di 1 Tema a scelta, tra quelli disponibili su questa pagina, da comunicare 3 giorni prima. Altri temi sono possili, ma vanno concordati preventivamente. Seguiranno domande sugli argomenti del corso.
Ci sono delle regole che dovete seguire, sia per quanto riguarda gli esercizi che per quanto riguarda il tema di esame. Sono chiaramente indigate nei pdf a seguire.
Lista dei temi già scelti (e non selezionabili ulteriormente)
Il testo di riferimento è: Complex Geometry, di Daniel Huybrechts, (Universitext). Altri ottimi testi includono Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, di Claire Voisin (Cambridge University Press), e Principles of Algebraic Geometry, di Phillip Griffiths, Joseph Harris (Wiley).
Diario delle lezioni:
16/2: Informazioni sul corso, libri di testo e sulla modalità di esame. Introduzione e motivazione al corso: il confronto tra geometria algebrica, geometria complessa e topologia. Esempi di curve ellittiche e di curve di genere più alto. Esposizione del programma nel dettaglio.
17/2: Definizioni di base del corso: funzioni olomorfe in più variabili, varietà (manifolds) complesse, funzioni olomorfe tra varietà complesse. Esempi: lo spazio proiettivo, definito come quoziente e interpretato come insieme dei sottospazi 1-dimensionali. Notazione dei sottospazi versus quozienti e lo spazio proiettivo duale. Quozienti per altre azioni di C* e per Z (varietà di Hopf). I tori complessi come quoziente.
23/2: Spazio tangente olomorfo e antiolomorfo a una varietà complessa. Luoghi di zeri di funzioni olomorfe, e criterio Jacobiano. Sottoinsiemi e sottovarietà analitiche, e submanifolds complesse. Collegamento con la geometria algebrica: varietà affini e proiettive. Esempi di curve algebriche che sono e non sono complex manifolds. Il concetto di liscezza. Funzioni meromorfe su complex manifolds (resp. razionali su varietà algebriche), con esempio.
24/4: Le varietà algebriche lisce sono complex manifolds, e le complex manifolds proiettive sono algebriche. Non tutte le complex manifolds compatte sono proiettive. I fibrati olomorfi: definizione, funzioni di transizione e condizione di cociclo. Morfismi di fibrati e sezioni olomorfe. Costruzione di fibrati a partire dall'algebra lineare: somma diretta, prodotto tensoriale, duale, prodotti simmetrici e alternanti. Il determinante di un fibrato. Nucleo e immagine di fibrati in presenza di morfismi dal rango costante. Successioni esatte lunghe e corte di fibrati. Il fibrato pullback.
2/3 (180'): Le costruzioni di fibrati vettoriali a partire dalle funzioni di transizione: sottofibrato e fibrato quoziente, somma diretta, duale, tensore, potenze alternanti, pullback. Definizione del gruppo di Picard (e dimostrazione del fatto che sia un gruppo). Il fibrato tangente olomorfo, a partire dalle funzioni di transizione. Il fibrato cotangente e il fibrato canonico. La successione esatta corta tangente-normale. La formula di aggiunzione. Il fibrato tautologico su P^n, e sue funzioni di transizione. I fibrati O_X(k) su P^n e su una sottovarietà proiettiva.
(3/3): Fasci: introduzione e motivazione. Definizione di prefascio su uno spazio topologico. Condizioni di località e incollamento e definizione di fascio. Esempi: (pre)fasci costanti, fasci di funzioni C^k e olomorfe su una varietà complessa - l'esempio di O_X. Il fascio delle sezioni di un fibrato olomorfo (come fascio di O_X - moduli). Morfismi di fasci: il nucleo di un morfismo di fasci è un fascio. Spiga di un fascio e relazione con la fibra. La fascificazione di un prefascio (definizione). Nozione di morfismo iniettivo/suriettivo di fasci in termine di spighe, e successioni esatte.