Corso per la magistrale in matematica tenuto da Enrico Fatighenti.
Il corso si terrà nel secondo semestre, il lunedì (14-16), e il martedì (9-11).
Qualche lunedì (da comunicare) ci sarà lezione extra 13-14 (2/3, --??)
Le date dell'esame sono da concordare con il docente.
L'esame sarà composto di:
3 esercizi a scelta dal foglio di esercizi disponibile su questa pagina, da consegnare in forma scritta 7 giorni prima della data di orale.
Un esame orale, la cui prima parte consisterà in un'esposizione di 1 Tema a scelta, tra quelli disponibili su questa pagina, da comunicare 3 giorni prima. Altri temi sono possili, ma vanno concordati preventivamente. Seguiranno domande sugli argomenti del corso.
Ci sono delle regole che dovete seguire, sia per quanto riguarda gli esercizi che per quanto riguarda il tema di esame. Sono chiaramente indigate nei pdf a seguire.
Lista dei temi già scelti (e non selezionabili ulteriormente): Il teorema di Bott.
Il testo di riferimento è: Complex Geometry, di Daniel Huybrechts, (Universitext). Altri ottimi testi includono Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, di Claire Voisin (Cambridge University Press), e Principles of Algebraic Geometry, di Phillip Griffiths, Joseph Harris (Wiley).
Diario delle lezioni:
16/2: Informazioni sul corso, libri di testo e sulla modalità di esame. Introduzione e motivazione al corso: il confronto tra geometria algebrica, geometria complessa e topologia. Esempi di curve ellittiche e di curve di genere più alto. Esposizione del programma nel dettaglio.
17/2: Definizioni di base del corso: funzioni olomorfe in più variabili, varietà (manifolds) complesse, funzioni olomorfe tra varietà complesse. Esempi: lo spazio proiettivo, definito come quoziente e interpretato come insieme dei sottospazi 1-dimensionali. Notazione dei sottospazi versus quozienti e lo spazio proiettivo duale. Quozienti per altre azioni di C* e per Z (varietà di Hopf). I tori complessi come quoziente.
23/2: Spazio tangente olomorfo e antiolomorfo a una varietà complessa. Luoghi di zeri di funzioni olomorfe, e criterio Jacobiano. Sottoinsiemi e sottovarietà analitiche, e submanifolds complesse. Collegamento con la geometria algebrica: varietà affini e proiettive. Esempi di curve algebriche che sono e non sono complex manifolds. Il concetto di liscezza. Funzioni meromorfe su complex manifolds (resp. razionali su varietà algebriche), con esempio.
24/4: Le varietà algebriche lisce sono complex manifolds, e le complex manifolds proiettive sono algebriche. Non tutte le complex manifolds compatte sono proiettive. I fibrati olomorfi: definizione, funzioni di transizione e condizione di cociclo. Morfismi di fibrati e sezioni olomorfe. Costruzione di fibrati a partire dall'algebra lineare: somma diretta, prodotto tensoriale, duale, prodotti simmetrici e alternanti. Il determinante di un fibrato. Nucleo e immagine di fibrati in presenza di morfismi dal rango costante. Successioni esatte lunghe e corte di fibrati. Il fibrato pullback.
2/3 (180'): Le costruzioni di fibrati vettoriali a partire dalle funzioni di transizione: sottofibrato e fibrato quoziente, somma diretta, duale, tensore, potenze alternanti, pullback. Definizione del gruppo di Picard (e dimostrazione del fatto che sia un gruppo). Il fibrato tangente olomorfo, a partire dalle funzioni di transizione. Il fibrato cotangente e il fibrato canonico. La successione esatta corta tangente-normale. La formula di aggiunzione. Il fibrato tautologico su P^n, e sue funzioni di transizione. I fibrati O_X(k) su P^n e su una sottovarietà proiettiva.
3/3: Fasci: introduzione e motivazione. Definizione di prefascio su uno spazio topologico. Condizioni di località e incollamento e definizione di fascio. Esempi: (pre)fasci costanti, fasci di funzioni C^k e olomorfe su una varietà complessa - l'esempio di O_X. Il fascio delle sezioni di un fibrato olomorfo (come fascio di O_X - moduli). Morfismi di fasci: il nucleo di un morfismo di fasci è un fascio. Spiga di un fascio e relazione con la fibra. La fascificazione di un prefascio (definizione). Nozione di morfismo iniettivo/suriettivo di fasci in termine di spighe, e successioni esatte.
9/3 (180'): Fasci liberi, localmente liberi, coerenti. I fasci localmente liberi sono in corrispondenza naturale con i fibrati vettoriali. Pushforward di un fascio. Il fascio di ideali di una sottovarietà, e sequenza esatta associata. Il rango di un fascio. La successione esponenziale. Il fascio O* non è un fascio di O_X-moduli. Fasci fiacchi, e risoluzione canonica di Godement (solo enunciato). Definizione di coomologia di un fascio. Coomologia di fasci tramite risoluzioni acicliche. Indipendenza della coomologia di un fascio dalla risoluzione aciclica scelta (con dimostrazione). la definizione di caratteristica di Eulero-Poincaré di un fascio.
10/3: Il complesso di de Rham e di Dolbeault. La coomologia del fascio R è isomorfa alla coomologia di de Rham. Lemma di Poincaré e de-bar Poincaré (solo enunciato). I fasci fini sono aciclici. I fasci coerenti hanno coomologia finita dimensionale, e si annulla in grado superiore alla dimensione della varietà. La coomologia di Cech: costruzione e definizioni. Identificazione del gruppo di Picard di X con H^1(O*). Divisori e fibrati lineari: il caso di P1. Il divisore associato a una funzione razionale, e suo cociclo (banale) associato.
16/3 (180'): Ancora sul caso di P1, divisori di grado 0 e di qualsiasi grado, divisori principali e fibrati lineari associati. L'esempio del divisore D=P. La struttura di gruppo dei divisori su P1 ("con le mani"). Il fibrato lineare O(D). Dall'esempio di P1 al caso generale: i divisori di Cartier su una varietà complessa. Successione esatta di fasci associata ai divisori di Cartier, e divisori di Cartier principali. Il fibrato lineare O_X(D) associato a un divisori di Cartier. Definizione di Car(X) e isomorfismo tra Car(X) e Pic(X) quando X è proiettiva (o irriducibile). Divisori di Weil, definizione e prime proprietà. I divisori effettivi.
17/3: Ordine di annullamento di una funzione olomorfa in un'ipersuperficie (con teoremi di preparazione e divisione di Weierstrass - solo enunciato). Divisori di Weil principali e definizione di gruppo di classe Cl(X). Omomorfismo di gruppi tra Pic(X) e Cl(X). Isomorfismo nel caso di complex manifolds. Differenza tra Cl(X) e Pic(X) in casi singolari: il cono quadrico 2-dimensionale (e sua Q-fattorialità), il cono quadrico 3-dimensionale. Esempio (extra) degli spazi proiettivi pesati. Interpretazione di Pic(X) come elementi in H^2(X,Z) (tramite la successione esponenziale), e spiegazione con la dualità di Poincaré.
13/4 (180'): Commenti sulla equivalenza lineare di divisori di Weil. Il fibrato lineare O_X(D) associato a un divisore di Weil D. Pullback di divisori di Weil, e relazione tra divisori di Weil, Cartier e fibrati lineari. Successione del fascio di ideali nel caso di un divisore D in X. La nozione di sistema lineare completo associato a un divisore. Identificazione tra il sistema lineare completo associato a D e la proiettificazione dello spazio di sezioni di O_X(D). Il luogo base di un fibrato lineare. Mappa associata a un fibrato lineare. La mappa associata a un fibrato lineare con sezioni è olomorfa al di fuori del luogo base. Fibrati lineari ampi e molto ampi.
14/4: La coomologia dei fibrati O(d) su P^n - enunciato generale e dimostrazione del caso H^0. I fibrati O(d) su P^n sono privi di luogo base. Descrizione della mappa di Veronese in coordinate, e dimostrazione del fatto che sia un'immersione chiusa. Le equazioni di Veronese.
20/4 (180'): Immersione di Veronese di P1 di grado 2. Ogni conica liscia piana è biolomorfa a P1. Mappe associati a sistemi lineari non completi di O(2). La terza Veronese di P1: la cubica gobba. La cubica gobba nonè un'intersezione completa. Proiezioni di una cubica gobba da una secante e da una tangente su una cubica piana nodale e cuspidale. Proiezioni viste come immagini di morfismi associati a sistemi lineari non completi. Il caso della superficie di Veronese in P5.
21/4: L'immersione di Segre. Prima definizione, coordinate-free. L'immersione di Segre come mappa associata al fibrato olomorfo O(1,1) su Pn x Pm. Equazioni della varietà di Segre. Immersione di Segre di P1 x P1 come quadrica liscia in P3. Calcolo delle due famiglie di rette sulla superficie di Segre.
27/4 (180'): La Grassmanniana. Definizione in termini di sottospazi. Biezione tra Gr(k,V) e Gr(n-k, V*). Costruzione dell'immersione di Pluecker. La grassmanniana come luogo dei tensori totalmente decomponibili. La grassmanniana come varietà complessa, e le sue carte. Il caso di G(2,4) come quadrica in P5. Le equazioni della grassmanniana G(2,n).
28/4: Calcolo del fibrato canonico di P^n, con dimostrazione. La successione di Eulero sullo spazio proiettivo. Fibrato tautologico e quoziente sulle Grassmanniane, e successione tautologica. Il fibrato tangente alla Grassmanniana è Hom(U,Q). Calcolo delle sezioni globali del fibrato tangente a P^n. Definizione di proiettificato di un fibrato vettoriale.
4/5 (180'): La successione di Eulero relativa per il proiettificato di un fibrato vettoriale su una varietà. Il fibrato canonico di un proiettificato di un fibrato. La coomologia dell'O(1) relativo. Il fibrato canonico del prodotto di spazi proiettivi. Fibrato normale a un'ipersuperficie e formula di aggiunzione: il caso di un'intersezione completa liscia. Il complesso di Koszul (solo enunciato). Calcolo delle sezioni del canonico per un'ipersuperficie liscia di Pn in funzione del grado. Il genere di una curva piana e la formula genere-grado. Per una curva piana vale h0(K)=h1(O). Calcolo del genere per una curva spaziale di grado (2,3). L'esempio di Horrocks-Mumford (solo enunciato). Lo scoppiamento, idee e motivazione. Lo spazio totale del fibrato tautologico su Pn come scoppiamento dell'origine in C^n+1. Scoppiamento di spazi proiettivi in sottospazi lineari, prima parte.
5/5: Scoppiamento di spazi proiettivi in sottospazi lineari, seconda parte, con interpretazione come proiettificato di un fibrato. Costruzione dello scoppiamento in generale (solo enunciato). Il canonico dello scoppiamento, e la restrizione di O_X(E) al divisore eccezionale. Un esempio concreto: lo scoppiamento di P2 in un punto. Calcolo del canonico tramite formula dello scoppiamento e formula di aggiunzione, e sezione di O_X(E). L'anticanonico di P2 scoppiato in un punto, e il sistema lineare delle cubiche piane passanti per quel punto.
11/5 (180'): Scoppiamento di P2 in un punto, e sistema lineare delle coniche per il punto. Le superfici di Hirzebruch. Superfici di Hirzebruch come scoppiamenti. Discussione dell'ampiezza del fibrato anticanonico per lo scoppiamento di P2 in un numero finito di punti. Enunciati del teorema di fattorizzazione debole e di risoluzione di singolarità di Hironaka. Un esempio: desingolarizzazione di una cubica piana nodale, e relazione con la cubica gobba. Il calcolo differenziale su varietà complesse. Strutture quasi complesse sul fibrato tangente reale. Fibrato tangente olomorfo e antiolomorfo. I fibrati delle (p,q) forme C^infinito. Il complesso di Dolbeault, e la coomologia (p,q) - identificazione con la coomologia q-esima del fascio Omega^p. Metrica hermitiana su una varietà complessa, e forma fondamentale associata. L'operatore star di Hodge, Laplaciano e altri operatori differenziali su varietà complesse.
12/5: Definizione di varietà di Kaehler. Esempi, e identificazione della metrica di Fubini-Study con la classe iperpiana in P^n e calcolo del gruppo di Picard di P^n. Il concetto di approssimazione proiettiva di varietà Kaehler. Identità di Kaehler (senza dimostrazione) sul Laplaciano. Forme armoniche e loro scomposizione (p,q). Scomposizione della forme C^infty globali in termini di esatte, armoniche, co-esatte. Identificazione tra le (p,q) forme armoniche e i gruppi di coomologia di Dolbeault. Il teorema di scomposizione di Hodge nel caso Kaehler. Numeri di Hodge e diamante di Hodge. Il diamante di Hodge di una curva, e relazione con genere e caratteristica di Eulero.
18/5: Enunciato della dualità di Serre. Il teorema (1,1) di Lefschetz (con dimostrazione). Il Néron-Severi di una varietà, e il suo Pic^0. Invarianza dei numeri di Hodge in famiglia e non costanza del rango di Picard. I teoremi della sezione iperpiana di Lefschetz e di imersione di Kodaira (solo enunciati). La congettura di Hodge (solo enunciato). Le classi di Chern di un fibrato - costruzione "stile-Fulton". Gli assiomi delle classi di Chern "stile-Grothendieck". Conseguenze degli assiomi delle classi di Chern. Il calcolo della classe totale di Chern del fibrato tangente di Pn. Relazione con il fibrato anticanonico. Il teorema di Gauss-Bonnet-Chern (solo enunciato). Il caso di una quartica in P3: calcolo della caratteristica di Eulero e del suo diamante di Hodge.