Corso per la magistrale in matematica tenuto da Enrico Fatighenti e Nicola Pagani.
Il corso si terrà nel secondo semestre, il lunedì (14-16 Tonelli), e il martedì (9-11 Vitali).
Le date dell'esame sono da concordare con i docenti (da evitare 9-13 Giugno e 14-26 Luglio).
L'esame sarà composto di:
3 esercizi a scelta dal foglio di esercizi disponibile su questa pagina (di cui almeno uno marcato con (*)), da consegnare in forma scritta 7 giorni prima della data di orale.
Un esame orale, la cui prima parte consisterà in un'esposizione di 1 Tema a scelta, tra quelli disponibili su questa pagina, da comunicare 3 giorni prima. Altri temi sono possili, ma vanno concordati preventivamente. Seguiranno domande dei docenti sugli argomenti del corso.
Il testo di riferimento è: Complex Geometry, di Daniel Huybrechts, (Universitext). Altri ottimi testi includono Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, di Claire Voisin (Cambridge University Press), e Principles of Algebraic Geometry, di Phillip Griffiths, Joseph Harris (Wiley).
Diario delle lezioni (1-11: Nicola Pagani, 12-26: Enrico Fatighenti):
17/2: Introduzione generale al corso. Ricapitolazione della definizione di varieta' liscia reale (e di varieta' olomorfa). Lo spazio tangente. Fibrati vettoriali. Il fibrato tangente.
18/2: Prefasci e fasci di gruppi abeliani. Fascificazione di un prefascio. Risoluzioni con fasci fiacchi. Definizione di coomologia di fascio. Sequenza esatta lunga in coomologia associata ad una sequenza esatta corta di fasci.
24/2: Teorema di Weil-deRham (=la coomologia di fascio si puo' calcolare con qualsiasi risoluzione aciclica). Esempio: il fascio costante e' aciclico su uno spazio semplicemente connesso. Esempi: la risoluzione con cocatene singolari, e la risoluzione di de Rham. Coomologia di Cech. Teorema: la coomologia di Cech associata ad un buon ricoprimento coincide con la coomologia di fascio.
25/2: La caratteristica di Eulero di un fascio. Richiami di funzioni olomotfe in una variabile. La definizione di funzione olomorfa C^n ->C. La formula integrale di Cauchy. Il teorema di Hartogs. Il teorema di preparazione di Weierstrass.
4/3: Principio di identita' e del massimo. Il teorema di estensione di Riemann. Funzioni olomorfe Cn -> Cm. Funzioni biolomorfe. I teoremi della funzione inversa/implicita olomorfi.
5/3: Sottovarieta' lisce e analitiche. Il fascio di anelli delle funzioni olomorfe. La divisione di Weierstrass. Il fascio locale e' UFD e Noetheriano. Corollario 1.1.19. Funzioni meromorfe. Strutture quasicomplesse e complessificazione di uno spazio vettoriale reale.
10/3: Forme differenziali locali: spazio tangente olomorfo e antiolomorfo. Differenziale come somma di differenziale olomorfo e antiolomorfo. Primi risultati su varieta' complesse. Esempi: intersezioni complete nello spazio affine, spazi proiettivi e intersezioni complete in spazi proiettivi. Tori complessi. Definizioni di sottovarieta' complesse e analitiche e di varieta proiettive.
11/3: Successione esatta corta di una sottovarieta'. Fibrati vettoriali (olomorfi). Operazioni con fibrati. Sottofibrati. Tangente e cotangente olomorfo. I numeri di Hodge. Il fibrato normale a una sottovarieta' complessa.
17/3: Fibrati in rette. Fibrato tautologico. Interpretazione come H1 delle funzioni olomorfe non nulle. Funzioni meromorfe.
18/3: Chiarimento su morfismi di fibrati e di fasci, e successioni esatte di fasci e fibrati. Divisori. Divisore associato a una funzione meromorfa. Omomorfismo Div(X) -> Pic(X) e suo nucleo.
31/3: Sezioni globali di fibrati in rette. Un divisore e'effettivo se e solo se ammette una sezione globale. L'immagine di Div(X) in Pic(X) e' generata dai divisori effettivi. La mappa allo spazio proiettivo indotta da un fibrato in rette, ben definita eccetto che nei punti base. Fibrati ampi e molto ampi.
1/4: Programma della seconda parte del corso. Divisori e fibrati lineari su P^n: il caso dei fibrati di tipo O(d). Lo spazio delle sezioni globali dei fibrati O(d) su P^n, come spazio vettoriale di polinomi omogenei (con dimostrazione). La coomologia dei fibrati lineari O(d) (senza dimostrazione per i>0).
7/4: La mappa di Veronese, come mappa associata ai fibrati O(d) su P^n, scrittura in coordinate e libera da coordinate. La mappa di Veronese è priva di punti base per ogni d, ed è un isomorfismo sull'immagine. Le equazioni di Veronese, in generale e i casi n=1, d=2,3 nel dettaglio. Il caso della cubica gobba: la cubica gobba non è un'intersezione completa.
8/4: Proiezioni della cubica gobba in P2: il caso della proiezione da un punto su una secante, e proiezione da un punto su una tangente. In entrambi i casi si ottiene una cubica singolare, e questi sono tutti i casi possibili. Il genere come ostruzione alla proiezione liscia della curva razionale normale. Il caso della superficie di Veronese, e proiezione liscia su un iperpiano. Le varietà di Severi e il collegamento con le algebre di divisione.
14/4: L'applicazione di Segre: la versione coordinate-free, e la definizione in coordinate. L'applicazione di Segre come associata al fibrato lineare O(1,1) sul prodotto. Le equazioni della varietà di Segre. Interpretazione algebrica e orbite di GL(V) x GL(W). Il caso di P1 x P1. Ogni quadrica liscia in P3 è biolomorfa a P1 x P1. Rette su una quadrica, le due rigature. La grassmanniana: prima definizione. La grassmanniana dei k spazi in V e corrispondenza con la grassmanniana degli (n-k) spazi in V*.
15/4: Immersione di Plücker della Grassmanniana, versione coordinate-free e con coordinate. La grassmanniana come luogo dei tensori totalmente decomponibili, e come quoziente del gruppo lineare. Mappe associate a fibrati olomorfi di rango qualsiasi e grassmanniane. Aperti principali della grassmanniana. Grado della grassmanniana e numeri di Catalan. Il caso di Gr(2,4) e la quadrica di Plücker. Equazioni di Gr(2,n),e pfaffiani di matrici antisimmetriche.
28/4: Il fibrato canonico di P^n, definizione e spiegazione. Il canonico di P^n è O(-n-1). Strumenti usati per la dimostrazione: la successione di Eulero per P^n. Il fibrato tautologico e il fibrato quoziente alla grassmanniana, e successione di Eulero su Gr(k,n). Il fibrato tangente a Gr(k,n). Esempio di calcolo: le sezioni globali del fibrato tangente a P^n: dimensione e interpretazione come algebra di Lie.
29/4: Il proiettificato di un fibrato e la successione di Eulero relativa. Il fibrato canonico della proiettificazione di un fibrato. Esempi: il fibrato canonico del prodotto di spazi proiettivi, la varietà di bandiere Fl(1,2,3). Il fibrato normale a un'ipersuperficie, con collegamenti alla formula di aggiunzione. Fibrato normale a un'intersezione completa. Sottovarietà con fibrato normale restrizione da un fibrato sullo spazio ambiente. Il complesso di Koszul. L'esempio di Horrocks-Mumford di una superficie abeliana come sottovarietà di P4, non intersezione completa, con fibrato normale restrizione di un fibrato dallo spazio ambiente (senza dimostrazione)
5/5: Lo spazio delle sezioni del canonico di una ipersuperficie e di una intersezione completa. Il genere di una curva piana e di una curva spaziale (l'esempio di curva di genere 4 in P3). Lo scoppiamento, idea inuitiva e motivazione. Lo scoppiamento di un punto in C^(n+1) come spazio totale del fibrato tautologico su P^n. Lo scoppiamento di un sottospazio lineare di uno spazio proiettivo: analisi delle proiezioni e descrizione come proiettificato di un fibrato. Il caso dello scoppiamento di P2 in un punto. Le superfici di Hirzebruch, caso base.
6/5: Lo scoppiamento di una varietà complessa in una sottovarietà complessa, metodologia generale. Il divisore eccezionale di uno scoppiamento. Il fibrato canonico di uno scoppiamento, e la restrizione di OX(E) a E. Il caso dello scoppiamento di P2 in un punto: divisore eccezionale calcolato in due modi. L'anticanonico dello scoppiamento di P2 in un punto è ampio. Il caso di P2 scoppiato in più punti, con accenno al caso di punti in posizione generale.
12/5: Il teorema di fattorizzazione debole, e risoluzioni di singolarità (solo enunciati). Un esempio: la risoluzione di una cubica nodale tramite o scoppiamento del piano nell'origine. Il calcolo differenziale su varietà complessa: motivazione e introduzione. Il fibrato tangente olomorfo a partire dalla complessificazione del fibrato tangente reale. Fasci e fibrati delle (p,q) forme, operatori differenziali de e de-bar. Isomorfismo tra 0-esimo gruppo di coomologia delle p-forme olomorfe e forme in A^(p,0) nel nucleo di de-bar. Quadrato di d (e de, de-bar) su una varietà complessa. Lemma di de-bar Poincaré e risoluzione tramite de-bar del fascio delle p-forme olomorfe. I gruppi di coomologia di Dolbeault e isomorfismo con gruppi di coomologia dei fasci.
13/5: Definizione di metrica hermitiana su una varietà complessa, e forma fondamentale associata. Operatori differenziali su varietà complesse: operatore star di Hodge, aggiunti di d, de e de-bar e loro laplaciani. Definizione di varietà Kaehler. Esempi non compatti e compatti: C^n, D^n, tori complessi. Spazio proiettivo (con metrica di Fubini-Study) e sottovarietà proiettive lisce. Approssimazione proiettiva di varietà Kaehler. L'esempio di Voisin di varietà Kaehler senza approssimazione proiettiva (solo idea). Identità di Kaehler sul laplaciano. Forme armoniche, scomposizione (p,q) sulle forme armoniche. Dualità "tipo-Serre" per forme armoniche.
19/5: Scomposizione sulle forme di tipo (p,q). Il teorema di scomposizione di Hodge, e la dualità di Serre. Le simmetrie di Hodge. Il diamante di Hodge e il caso di curve e superfici. Il gruppo di Picard di P^n è Z. Il teorema (1,1) di Lefschetz. Il Néron-Severi e il Pic^0. Il Pic^0 come toro complesso. Enunciato della congettura di Hodge. Il rango di Picard non è costante in famiglia.
20/5: Teorema della sezione iperpiana di Lefschetz e teorema di immersione di Kodaira (solo enunciati). Le classi di Chern: costruzione stile-Fulton (sketch) e approccio assiomatico. Conseguenze degli assiomi delle classi di Chern. La classe totale di Chern dello spazio proiettivo. La prima classe di Chern di Pn e collegamento con la formula di aggiunzione. Il teorema di Gauss-Bonnet-Chern (solo enunciato). Il caso dello spazio proiettivo.
26/5: La caratteristica di Eulero di una superficie liscia quartica in P3 tramite Gauss-Bonnet-Chern. Il principio di spezzamento, e le radici di Chern. Esempi di applicazioni: prima classe di Chern di potenze simmetriche e alternanti. Il carattere di Chern e la classe di Todd di un fibrato olomorfo. Proprietà del carattere di Chern, e primi termini dell'espansione come polinomio nelle classi di Chern. Il teorema di Hirzebruch-Riemann-Roch (enunciato).
27/5: Discussione del teorema di HRR. Il caso delle curve, e riduzione alla forma classica del teorema di Riemann-Roch, con e senza la dualità di Serre. Il grado del divisore canonico è 2g-2. Annullamento dell'H1(L) su una curva con L di grado abbastanza positivo. Costruzione tramite RR della mappa associata a L=np su una curva di genere 1: sestica in P(1,2,3), rivestimento doppio di P1, cubica in P2 e così via. Riduzione da HRR alla formula di Riemann-Roch per superfici. La formula di Noether. La caratteristica di Eulero di una superficie semplicemente connessa e a canonico banale. Definizione di superficie K3. Riemann-Roch nel caso delle superfici K3, tramite annullamento di Kodaira. Il grado di una superficie K3, ed alcuni esempi di superfici K3 (S,L), con L^2=2g-2 in grado basso.