2021/22 (Sapienza): Topics on Fano varieties.
Timetable: Wednesday 15.30-17.30, Friday 14.30-16.30 (Aula B, Dipartimento di matematica "Guido Castelnuovo").
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Calendar/Diary:
(4/05-3 ore) Perché vogliamo classificare le Fano. Dalle curve canoniche alle varietà di Fano. Il caso delle superfici: la classificazione di Enriques-Kodaira. Definizione di varietà di Fano, e prime proprietà implicate dal vanishing di Kodaira. Generalità sulle Fano: limitatezza e indice. Numerica della classificazione. Superfici a dimensione di Kodaira negativa: perché le superfici rigate e le superfici di Hirzebruch con n>1 non sono Del Pezzo. F_1 è lo scoppiamento di P2 in un punto. Lo scoppiamento di una sottovarietà come zero di un fibrato. I numeri di Hodge di uno scoppiamento tramite l'anello di Grothendieck. Lo scoppiamento di P2 in k punti e di P1 x P1 in (k-1) punti hanno gli stessi invarianti, e sono in effetti isomorfi. Le superfici di Del Pezzo sono birazionalmente P1x P1 e P2 scoppiato in massimo 8 punti in posizione generale.
(6/05- 3 ore) Scoppiamento di P2 in tre punti allineati e immagine anticanonica. Dimensione del sistema pluricanonico con Riemann-Roch. Numero di moduli delle superfici di Del Pezzo. Descrizioni anticanonica delle superfici di Del Pezzo. F1 come divisore (1,1) in P1 x P2 e come scroll cubico. Due modelli per la DP7. Sei modelli per la DP6 e loro equivalenza. Digressioni tecniche: la Grassmanniana, le equazioni e sizigie per Gr(2,n). Il complesso di Eagon-Northcott e un altro lemma di scoppiamento.
(11/05-3 ore) Anti-sezioni della DP6: due Fano 3-folds di grado 6 diverse. La Del Pezzo di grado 5: costruzione dell'anello canonico con Riemann-Roch. La DP5 come sezione iperpiana di Gr(2,5). Tom&Jerry e accenni alla costruzione di Fano con singolarità. Minori di matrici improbabili e Pfaffiani problematici. Modello della Del Pezzo di grado 4 come intersezione di due quadriche in P4. Tutte le DP4 si possono scrivere in questo modo. Digressioni tecniche: un rapido e aggressivo mini-corso sulle classi di Chern. Definizione assiomatica e prime proprietà. Il principio di spezzamento - nessuna pietà per i pletismi. Il carattere di Chern e la classe di Todd. Riemann-Roch usando le classi di Chern.
(13/05-3 ore). La superficie cubica. Le 27 rette - dimostrazione con classi di Chern. Esempio esplicito delle 27 rette nella cubica di Fermat. Tutte le superfici cubiche si possono scrivere come scoppiamento di P2 in sei punti. Anti-proiezione da DP3 a DP4. La DP2: la costruzione dell'anello canonico e il modello come double cover o ipersuperficie quartica in P(1,1,1,2). Altri due modelli: ipersuperficie (non strongly Fano) in P1 x P2 e zero di un fibrato non completamente riducibile in P2 x P6. Digressione tecnica: gli spazi proiettivi pesati.
(18/05 - 3 ore) I residui di Griffiths, nel caso di ipersuperfici e intersezioni complete nel proiettivo. La DP1 come ipersuperficie in un proiettivo pesato. Primo tour in dimensione più alta: risultati di classificazione di Wisniewski, Fujita, Mukai. Introduzione ai modelli di Mukai e presentazione della seconda parte del corso.
(20/05 - 3 ore). La cubica 3-fold: discussione sulla irrazionalità. Cubica 4-fold, K3 associate e problemi di razionalità. Collegamento con la geometria hyperkaehler. I numeri di Hodge di una ipersuperficie cubica in dimensione arbitraria. Varietà di Fano di tipo K3 o Calabi-Yau. L'intersezione completa di due quadriche: i numeri di Hodge, la curva iperellittica associata nel caso dispari. Il caso di due quadriche in P5: superficie abeliana ottenuta come varietà delle rette (conti espliciti). Digressione tecnica: Borel-Bott-Weil, pletismi, regole di Pieri e Littlewood-Richardson. Come calcolare i numeri di Hodge usando BBW e complesso di Koszul. L'uso di Macaulay2 per recuperare la sanità mentale.
(25/05-3 ore) Fano 3-folds come intersezioni complete in P^n e Gr(k,n): la classificazione. Il genere di una Fano 3-fold è limitato da 12 (saltando 11). Il metodo di Mukai per la costruzione delle Fano 3-folds. Formula di moduli per le Fano 3-folds. La varietà delle rette di una Fano 3-folds con rho=i=1 è una curva. Invarianti delle Fano 3-folds di genere basso. Le Gushel-Mukai n-folds, costruzione generale. Le GM ordinarie e speciali. GM 4-folds e collegamento con la geometria hyperkaehler. I numeri di Hodge di una GM attraverso il complesso di Koszul. La curva delle rette di una GM 3-folds. Digressione: fibrati omogenee sulla varietà di bandiere.
(26/05-3 ore) La grassmanniana ortogonale: definizione e costruzione. Gli spinor bundle sulla Grassmanniana ortogonale, e lo spinor embedding di OG+(k,2k). I roof ortogonali. La trialità per OG(k,8). K3 di genere 7 in OG+/-(4,8) e loro equivalenze. Fano 3-fold di genere 7 come intersezione completa in OG+(5,10), e modello alternativo in Gr(2,5). La curva delle rette sulla Fano 3-fold di genere 7. La Fano 3-fold di genere 8: la dualità proiettiva (omologica) e relazione con la cubica 3-fold. Pfaffiani alla riscossa. Ancora sulle hyperkaehler associate.
(27/05-3 ore) Ancora su genere 8: due modelli per la curva delle rette. La grassmanniana simplettica: definizione e prime proprietà. La grassmanniana simplettica SG(3,6) e le sue equazioni nell'immersione di Pluecker degenere. Dualità proiettiva per SG(3,6): lo Jacobiano intermedio di una Fano 3-fold di genere 9 è lo Jacobiano di una quartica piana. La curva delle rette della Fano di genere 9 in funzione di un fibrato irriducibile su SG(2,6). La varietà G2, definizione e proprietà. G2 come esempio particolare di congruenza di rette. Congruenze di rette in dimensioni diverse, e luogo fondamentale associato. Collegamento tra un tri-vettore in V9, G2, la cubica di Coble, una curva iperellittica, una superficie abeliana e un'hyperkaehler come Kummer. Dai diamanti non nasce il niente, dai trivettori nascono le hyperkaehler. Salti e proiezioni. La dualità proiettiva per G2. La curva delle rette sulla Fano di genere 10: il fibrato di Cayley sulla quadrica 5-dimensionale.
(3/06- 3 ore) La fano 3-fold di genere 12. Generalità sulla Grassmanniana tri-simplettica e sua struttura di Hodge nel caso pari e dispari. Comportamento patologico dello spazio dei moduli. Le rette su una Fano di genere 12. Collegamento tra la K3 di genere 12 e l'hyperkaehler di Debarre-Voisin, tramite una Fano 8-fold, 14-fold, 20-fold. Salti e proiezioni. Rette su Fano 3-folds di indice 2 e coniche su Fano 3-folds di indice 1. Fano 3-folds di rango di Picard >1: dal birazionale al biregolare. Il dizionario dei fibrati. Tutte le 105 Fano 3-folds si scrivono come zeri di fibrati su Grassmanniane. Un po' di problemi aperti sulle 3-folds. Qualche idea su come classificare le 4-folds.