Algebra Lineare Astronomia

Diario delle lezioni:

26/09 (SR): Introduzione al corso. Vettori geometrici applicati a un punto dello spazio. Operazioni lineari tra n-ple di numeri; interpretazione geometrica quando tali numeri sono reali. Operazioni lineari tra matrici.
27/09 (EF): Introduzione agli insiemi, notazioni e proprietà. Le costruzioni dei numeri interi e razionali. Le relazioni di equivalenza. Definizione di applicazioni di insiemi iniettive e suriettive. Due insiemi hanno la stessa cardinalità se e solo se esiste una biezione.
28/09 (EF): Insiemi numerabili e più che numerabili (esempi: Q, R). Il concetto di dimostrazione per assurdo (esempio: sqrt(p) è irrazionale). Il concetto di dimostrazione per induzione. Esempi combinatorici: il coefficiente binomiale, e il binomio di Newton.
29/09 (SR): Funzioni tra insiemi. Gruppi: definizione; esempi familiari; l'elemento neutro è unico; l'inverso di ogni elemento è unico. Campi: definizioni; esempi familiari; 0*a = 0 per ogni elemento a.
3/10 (EF): Riepilogo sui gruppi. Il concetto di anello, con esempi. Un campo è in particolare un dominio. Aritmetica modulare: l'esempio di Z/nZ.
5/10 (SR): Definizione di spazio vettoriale. Esempi: spazi di n-ple, polinomi o matrici a coefficienti in un campo; spazi di funzioni a valori in uno spazio vettoriale. Alcune proprietà basilari degli spazi vettoriali (ad esempio il vettore nullo è unico, (-1)v è l'opposto di v per ogni vettore v, ecc.). Sottospazi vettoriali: definizioni, esempi e controesempi.
6/10 (SR): Esempi di sottospazi, interpretazione geometrica. Esercitazione su spazi vettoriali. Sistemi lineari: soluzioni, matrici associate. Prodotto tra matrici.
10/10 (EF): La struttura di anello di Z/nZ. Z/pZ è un campo se e solo se p è primo (con dimostrazione). Il piccolo teorema di Fermat (senza dimostrazione). Il concetto di permutazione: il gruppo simmetrico. Introduzione e prime proprietà.
11/10 (SR): Proprietà distributiva del prodotto tra matrici. Sistemi lineari: forma matriciale, sistema lineare omogeneo associato, insieme delle soluzioni come sottospazio affine. Combinazioni lineari di vettori, sottospazio generato da alcuni vettori.
12/10 (SR): Sottospazi generati: interpretazione geometrica, esempi e osservazioni. Dipendenza e indipendenza lineare: definizioni e formulazioni equivalenti, osservazioni ed esempi. Esercizi.
13/10 (SR): Basi: definizione, basi standard, algoritmo di estrazione di una base. Coordinate: definizione e dimostrazione che è ben posta. Dimensione: definizione e dimostrazione che è ben posta (assumendo un lemma). Esempi ed esercizi.
17/10 (EF): L'anello delle matrici come esempio di non dominio. Ancora sul gruppo simmetrico. Riepilogo, prime proprietà. Notazione in cicli. Scomposizione di un ciclo nel prodotto di trasposizioni. Il gruppo simmetrico non è abeliano per n>2. Il gruppo simmetrico su 3 elementi come simmetrie del triangolo equilatero. Il gruppo diedrale su 4 elementi, e presentazione per ogni n.
18/10 (EF): Ancora sul gruppo simmetrico e la scomposizione in trasposizioni di una permutazione. Il segno di una permutazione. Esempi. Il campo dei numeri complessi. C come spazio vettoriale su R. La parte reale e immaginaria di un numero complesso, e il modulo.
19/10 (SR): Caratterizzazione di “base” conoscendo la dimensione (se finita): dimostrazione ed esempi di applicazione. Completamento di basi: descrizione dell’algoritmo, dimostrazione del perché funziona, esempio. Dimensione di un sottospazio. Intersezione e unione di due sottospazi. Sottospazio generato da due sottospazi: definizione, generatori, interpretazione geometrica. Formula di Grassmann: enunciato.
20/10 (SR): Formula di Grassmann: dimostrazione. Matrici e sistemi lineari a scalini, mosse di Gauss, algoritmo di Gauss-Jordan.
24/10 (EF): Le coordinate polari di un numero complesso. Passaggio dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane e viceversa. La formula di Eulero (senza dimostrazione). Esempi e esercizi con coordinate polari. Il teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Nozione di campo algebricamente chiuso.
25/10 (EF): Soluzioni in C dell'equazione z^n=a. Il caso delle radici n-esime dell'unità. Le radici n-esime dell'unità formano un gruppo, isomorfo al gruppo degli interi modulo n. Generatori del gruppo delle radici dell'unità.
26/10 (SR): Somma diretta di due sottospazi. Metodo per dimostrare che certi insiemi di vettori formano una base e per calcolare le coordinate di un vettore rispetto a tale base; metodo per estrarre una base velocemente da un insieme di n-ple. Esercitazione.
27/10 (SR): Applicazioni lineari: definizione, proprietà basilari ed esempi. I valori di un'applicazione lineare su una base determinano l'applicazione stessa. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
31/10 (EF): Correzione di esercizi di complementi di algebra (fine modulo). Complementi di algebra lineare: esempi e eserczi su complemento di un sottospazio vettoriale (non unico), e su (sotto)spazi vettoriali di polinomi, in una e più variabili.
2/11 (SR): Caratterizzazione del fatto che due sottospazi decompongano uno spazio vettoriale di dimensione finita in somma diretta. Proiezioni e riflessioni. Un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se ha nucleo banale. Teorema della dimensione.
3/11 (SR): Caratterizzazione delle applicazioni lineari K^n --> K^m. Matrici associate a un'applicazione lineare: definizione ed esempi. Rango di una matrice: definizione, formulazioni equivalenti, metodo per calcolarlo, applicazione al calcolo della dimensione del nucleo e dell’immagine di un’applicazione lineare K^n --> K^m. La composizione di applicazioni lineari è lineare; prodotto tra matrici e composizione delle applicazioni lineari associate. Definizione di isomorfismo tra spazi vettoriali. L'inversa di un isomorfismo è lineare.
7/11 (EF): Lo spazio vettoriale dei polinomi omogenei in più variabili. Definizione e prime proprietà. Calcolo della dimensione tramite il metodo stars&bars. Isomorfismi tra spazi vettoriali di polinomi omogenei e non. Esercizi su sottospazi di spazi di polinomi e estrazione di una base.
8/11 (EF): Esercizi su sottospazi di spazi di polinomi e determinazione di una base, anche usando Grassmann.
9/11 (SR): Matrici associate a isomorfismi. Matrici quadrate invertibili. Alcune conseguenze notevoli del Teorema della Dimensione, tra cui: tutti gli spazi vettoriali su K di dimensione n sono isomorfi a K^n. L'isomorfismo che associa a un vettore le coordinate rispetto a una base ordinata. Proprietà delle matrici associate a un'applicazione lineare.
10/11 (SR): Matrice del cambiamento di base e relazione con le matrici associate a un'applicazione lineare rispetto a basi diverse. Endomorfismi. Similitudine tra matrici quadrate: definizione e dimostrazione che è una relazione di equivalenza. Le matrici associate a un endomorfismo sono simili. Autovalori e autovettori.
14/11 (EF): Esercizio su possibile generalizzazione di Grassmann. Matrici nilpotenti. L'indice di nilpotenza è invariante per cambiamento di base. Ogni matrice nilpotente può essere trasportata tramite cambiamento di base in una matrice strettamente triangolare superiore.
15/11 (EF): La non commutatività dell'anello delle matrici. Il centro delle matrici (anche come sottogruppo delle matrici invertibili) e il centralizzatore di un elemento. Matrici simmetriche, antisimmetriche e alternanti. Differenza tra caratteristica 2 e non 2. Matrici simmetriche e antisimmetriche formano un sottospazio, calcolo della dimensione e dimostrazione che sono in somma diretta (in caratteristica non 2).
16/11 (SR): Omotetie e matrici associate. Endomorfismi diagonalizzabili. Matrici diagonalizzabili. Calcolo di potenze di matrici diagonalizzabili.
17/11 (SR): Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Spazi di applicazioni lineari. Somma (diretta e non) di più sottospazi. Autospazi. Caratterizzazione della diagonalizzabilità di un endomorfismo in termini dei suoi autospazi. Traccia di un endomorfismo.
21/11 (SR): Determinante di un endomorfismo: definizione e dimostrazione che è ben posta. Polinomio caratteristico di una matrice quadrata: definizione, dimostrazione che è un polinomio, determinazione di alcuni dei suoi coefficienti, dimostrazione che le radici corrispondono agli autovalori, esempi. Polinomio caratteristico di un endomorfismo.
22/11 (EF): Il determinante. Prima definizione usando il gruppo simmetrico. Il caso esplicito 2x2 e 3x3. La regola di Sarrus. Seconda definizione usando la regola di Laplace. Il calcolo della matrice inversa tramite la matrice dei cofattori.
23/11 (SR): Diagonalizzazione. Molteplicità di una radice di un polinomio. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore: definizione e diseguaglianze notevoli. Matrici triangolari: definizione e autovalori. Matrici simili hanno stessi autovalori con stesse molteplicità algebriche e geometriche.
24/11 (SR): Teorema di diagonalizzabilità: enunciato, dimostrazione ed esempi di applicazioni. Quando K è un sottoinsieme di C, il determinante (risp. la traccia) di un endomorfismo è il prodotto (risp. la somma) delle radici complesse del polinomio caratteristico. Un endomorfismo di uno spazio vettoriale complesso (risp. reale di dimensione dispari) ha sempre un autovettore. Trasformazioni lineari del piano e dello spazio: omotetie, rotazioni, riflessioni ortogonali.
28/11 (SR): Riepilogo su matrici e applicazioni lineari, anello degli endomorfismi e gruppo degli automorfismi. Trasposizione di matrici; matrici simmetriche e antisimmetriche. Prodotti scalari: definizione, proprietà basilari, il prodotto scalare euclideo, prodotti scalari associati a matrici reali simmetriche. Forme quadratiche e prodotto scalare associato.
29/11 (EF): Applicazioni multilineari, applicazioni alternanti. Definizione di determinante come unica applicazione multilineare alternante nel campo che valga 1 sull'identità. Proprietà elementari. Mosse di Gauss e determinante. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo. Come passare dalla terza alla prima definizione di determinante.
30/11 (SR): Il prodotto scalare euclideo e quello lorentziano. Ortogonalità. Tipologie di prodotti scalari (definiti, degeneri, ecc.); analisi dettagliata nel caso in cui il prodotto scalare è associato a una matrice diagonale. Vettori isotropi. Radicale. Esempi vari.
1/12 (SR): Matrici associate a un prodotto scalare. I prodotti scalari degli elementi di una base determinano il prodotto scalare stesso. Ogni prodotto scalare su K^n è associato a una matrice simmetrica. Congruenza tra matrici simmetriche. Matrici associate allo stesso prodotto scalare sono congruenti. Basi ortogonali e ortonormali. Normalizzazione.
5/12 (EF): Dimostrazione dell'unicità del determinante. Il teorema di Binet e suoi corollari. Il gruppo lineare. Il determinante di una matrice antisimmetrica di taglia dispari è zero. Calcolo del rango di una matrice tramite i determinanti dei minori.
6/12 (SR): Consegna parziali. Sottospazio ortogonale. Teorema di Sylvester e conseguenze. Segnatura di un prodotto scalare (risp. di una matrice simmetrica). Determinazione della segnatura tramite una base ortogonale (risp. quando la matrice è diagonale).
7/12 (SR): La segnatura determina la tipologia di prodotto scalare ed è un invariante completo di congruenza. Metodo per ottenere informazioni (complete in dimensione 2) sulla segnatura di una matrice simmetrica conoscendo il determinante e le entrate sulla diagonale; esempi. Isometrie: definizione; caratterizzazioni in termini dei vettori di una base o delle matrici associate; il gruppo delle isometrie; matrici ortogonali e gruppo ortogonale; la segnatura è un invariante completo d'isometria.
12/12 (SR): Esempi di sottospazi ortogonali. Un sottospazio e il suo ortogonale non decompongono sempre lo spazio in somma diretta, cosa che invece succede se il prodotto scalare è definito. Metodi di calcolo del sottospazio ortogonale. Prodotti scalari definiti positivi: norma, diseguaglianza di Cauchy-Schwartz e alcune conseguenze notevoli, angoli.
13/12 (SR): Prodotti scalari definiti positivi: distanza, proiezione ortogonale, coefficienti di Fourier e basi ortogonali, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Esempi.
14/12 (SR): Matrici ortogonali: definizione, caratterizzazioni, proprietà, O(n) ed SO(n), esempi. L'orientazione canonica e le basi positive di R^n. Rotazioni ortogonali di R^3: definizione, metodo per trovare la matrice associata, esempi. Il prodotto vettoriale in R^3: definizione e proprietà.
15/12 (SR): Alcune proprietà e applicazioni del prodotto vettoriale. Prodotti hermitiani, matrici hermitiane. Endomorfismi autoaggiunti.
19/12 (SR): Teorema spettrale e conseguenze notevoli. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile con mosse di Gauss. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se il determinante non è nullo. Teorema di Rouché-Capelli e conseguenze (cenni). Esercitazione.

Sezioni del libro trattate (Martelli): Capitolo 1: tutto tranne 1.3.2 e 1.II. Capitolo 2: tutto. Capitolo 3: tutto tranne 3.2.7, 3.4.9, 3.4.10 (ma 3.2.4 --> 3.2.7 affrontato blandamente). Capitolo 4: tutto. Capitolo 5: tutto. Capitolo 7: circa tutto tranne 7.4.7. Capitolo 8: 8.1, 8.2.2, 8.2.5. Capitolo 9: 9.1. Capitolo 11: tutto tranne Teorema 11.3.5

Esercizi libro (Martelli): Capitolo 1: tutti. Capitolo2: tutti. Capitolo 3: tutti. Capitolo 4: tutti. Capitolo 5: tutti. Capitolo 7: tutti. Capitolo 8: 8.1 --> 8.13, 8.15, 8.17, 8.18. Capitolo 9: 9.1, 9.2. Capitolo 11: tutti.

Note della parte del corso di EF.

Versione 5 - 8/2.