NEWS: I risultati del QUINTO APPELLO si possono trovare a questo link.
Potete trovare qui una bozza di soluzioni del quinto appello.
Lo scritto verrà riconsegnato immediatamente prima dell'orale, in data 22/09 (orale: 22 settembre ore 9, aula Bombelli, piazza di Porta San Donato 5)
ESAMI: Primo appello:
Scritto: 16/01/2023 ore 09:00, viale Berti Pichat 5, Aula Magna
Orale: 20/01/2023 ore 09:00, piazza di Porta San Donato 5, Aula Bombelli
Secondo appello:
Scritto: 10/02/2023 ore 09:00, piazza di Porta San Donato 5, Aula Pincherle
Orale: 17/02/2023 ore 09:00, piazza di Porta San Donato 5, Aula Bombelli
Terzo appello:
Scritto: 19/06/2023, ore 09:00, piazza di Porta San Donato 5, Aula Cremona
Orale: 23/06/2023 ore 09:00, piazza di Porta San Donato 5, Aula Bombelli
Quarto appello:
Scritto: 17/07/2023, ore 09:00, viale Berti Pichat 5, Aula Magna
Orale: 20/07/2023, ore 14:30, piazza di Porta San Donato 5, Seminario I, e 21/07/2023 ore 15:00, piazza di Porta San Donato 5, Aula Bombelli.
Regole: Nella prima sessione, chi ha superato il parziale potrà svolgere solo la seconda parte dello scritto in metà del tempo complessivo.
Chi ha superato lo scritto potrà sostenere l'orale entro i due appelli successivi. [Ad esempio, chi ha superato lo scritto del primo appello (gennaio) potrà sostenere l'orale nel primo appello (gennaio), nel secondo appello (febbraio) o nel terzo appello (il primo della prossima sessione).]
Chi non supera l'orale dovrà ripetere lo scritto.
Durante lo scritto, non è consentito consultare libri, appunti, né dispositivi elettronici, con l'unica eccezione di un foglio di appunti A4 scritto a mano.
Diario delle lezioni:
27/9 (SR): Introduzione al corso. Vettori geometrici applicati a un punto dello spazio.
28/9 (EF): I numeri (naturali, razionali, reali). Insiemi e applicazioni tra loro. La non razionalità di sqrt(p). Principio di induzione con esempi. Elementi di calcolo combinatorio: coefficienti binomiali e proprietà.
29/9 (SR): Operazioni lineari tra n-ple di numeri; interpretazione geometrica quando tali numeri sono reali. Funzioni tra insiemi. Gruppi: definizione; esempi familiari; l'elemento neutro è unico; l'inverso di ogni elemento è unico. Campi: definizioni; esempi familiari; 0*a = 0 per ogni elemento a.
30/9 (SR): Definizione di spazo vettoriale. Esempi: spazi di n-ple, polinomi o matrici a coefficienti in un campo; spazi di funzioni a valori in uno spazio vettoriale.
5/10 (SR): Alcune proprietà basilari degli spazi vettoriali (ad esempio il vettore nullo è unico, (-1)v è l'opposto di v per ogni vettore v, ecc.). Sottospazi vettoriali: definizioni, esempi e controesempi. Esercizi.
6/10 (EF): Chiarimenti sugli spazi vettoriali e loro sottospazi. Esempi: matrici, polinomi, etc. La nozione di gruppo. Il gruppo delle permutazioni. Esempio della simmetria di triangolo equilatero.
7/10 (SR): Sistemi lineari e soluzioni; l'insieme delle soluzioni è un sottospazio se e solo se il sistema è omogeneo. Combinazioni lineari di vettori. Sottospazio generato da alcuni vettori.
11/10 (EF): Ancora sulle permutazioni. Aritmetica modulare e campo con p elementi. Il piccolo teorema di Fermat (versione base).
12/10 (EF): Il campo dei numeri complessi. Interpretazione algebrica e geometrica. La formula di Eulero e sue conseguenze.
13/10 (SR): Sottospazi generati: interpretazione geometrica, esempi e osservazioni. Dipendenza e indipendenza lineare: definizioni e formulazioni equivalenti, osservazioni ed esempi. Esercizi.
14/10 (SR): Basi: definizione, basi standard, algoritmo di estrazione di una base. Coordinate: definizione e dimostrazione che è ben posta. Dimensione: definizione e dimostrazione che è ben posta (assumendo un lemma). Esempi ed esercizi.
18/10 (EF): Formula per le radici n-esime dell'unità. Il teorema fondamentale dell'algebra. Esempi&esercizi sugli spazi vettoriali (estrazione di una base)
19/10 (EF): Lo spazio vettoriale dei polinomi ha dimensione infinita. Stratificazione in somma diretta con sottospazi di polinomi omogenei. La dimensione dello spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado d in n variabili: il metodo stars and bars.
20/10 (SR): Caratterizzazione di “base” conoscendo la dimensione (se finita): dimostrazione ed esempi di applicazione. Completamento di basi: descrizione dell’algoritmo, dimostrazione del perché funziona, esempio. Dimensione di un sottospazio. Intersezione e unione di due sottospazi.
21/10 (SR): Sottospazio (“somma”) generato da due sottospazi: definizione, generatori, interpretazione geometrica. Formula di Grassmann. Sottospazi in somma diretta. Matrici e sistemi lineari a scalini. Esempi ed esercizi.
25/10 (SR): Mosse di Gauss, algoritmo di Gauss-Jordan. Prodotto tra matrici. Sistemi lineari in forma matriciale. La differenza di due soluzioni di un sistema lineare è soluzione del sistema omogeneo associato.
26/10 (SR): Sottospazi affini. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare, se non vuoto, è un sottospazio affine. Metodo per calcolare la dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare; metodo per dimostrare che certi insiemi di vettori formano una base e per calcolare le coordinate di un vettore rispetto a tale base; metodo per estrarre basi velocemente da un insieme di n-ple. Esercitazione.
27/10 (EF): Esempi e esercizi su spazi vettoriali e sottospazi: calcolo di dimensione e estrazione di una base di sottospazi dello spazio vettoriale di polinomi di grado limitato.
28/10 (SR): Applicazioni lineari: definizione, proprietà basilari ed esempi. I valori di un'applicazione lineare su una base determinano l'applicazione stessa. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
2/11 (SR): Un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se ha nucleo banale. Teorema della dimensione. Caratterizzazione delle applicazioni lineari K^n --> K^m. Matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a una base del dominio e una del codominio: definizione ed esempi.
3/11 (EF): Sottospazi tagliati da equazioni non lineari su campi appropriati. Il concetto di spazio duale. Esercizi su spazi vettoriali e possibili generalizzazioni della formula di Grassmann.
4/11 (SR): Rango di una matrice: definizione, formulazioni equivalenti, metodo per calcolarlo, applicazione al calcolo della dimensione del nucleo e dell’immagine di un’applicazione lineare K^n --> K^m. La composizione di applicazioni lineari è lineare; prodotto tra matrici e composizione delle applicazioni lineari associate. Isomorfismi. Matrici quadrate invertibili. Alcune conseguenze notevoli del Teorema della Dimensione, tra cui: tutti gli spazi vettoriali su K di dimensione n sono isomorfi a K^n.
8/11 (SR): L'isomorfismo che associa a un vettore le coordinate rispetto a una base ordinata fissata. Matrice del cambiamento di base e relazione con le matrici associate ad un'applicazione lineare rispetto a basi diverse. Endomorfismi. Similitudine tra matrici quadrate: definizione e dimostrazione che è una relazione di equivalenza. Le matrici associate a un endomorfismo sono simili.
9/11 (EF): Matrici nilpotenti. Matrici di permutazioni. Il gruppo simmetrico su 3 elementi come trasformazioni di uno spazio vettoriale (reale e complesso). Cenni alla notazione di autovettore.
10/11 (EF): Ancora sulle matrici di permutazione. Cambio di base di una matrice di permutazione in una matrice diagonale sul campo dei numeri complessi. Definizione del gruppo lineare generale. Il centro di GLn sono i multipli dell'identità. Il centralizzatore di una matrice. Esempi. La strada verso il determinante: il concetto di matrice invertibile. Esempi.
11/11 (SR): Autovalori e autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili. Matrici diagonalizzabili. Calcolo di potenze di matrici diagonalizzabili.
15/11 (SR): Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Spazi di applicazioni lineari. Somma (diretta e non) di più sottospazi. Autospazi. Caratterizzazione della diagonalizzabilità di un endomorfismo in termini dei suoi autospazi. Traccia di un endomorfismo.
16/11 (EF): Esercitazione parziale.
17/11 (SR): Correzione test intermedio. Esistenza di applicazioni lineari con immagine data.
18/11 (EF): Matrici unipotenti. Esempio di applicazioni invertibili e non invertibili. Stratificazione delle matrici in funzione del rango. Il teorema della dimensione del nucleo e dell'immagine. L'idea del determinante come caratterizzazione dell'invertibilità.
22/11 (EF): Esempio di inversa di una matrice. Riepilogo sul gruppo simmetrico. Il segno di una permutazione come omomorfismo di gruppi. La definizione di determinante in termini di permutazioni. Esempio di calcolo per una matrice 2x2.
23/11 (EF): Calcolo del determinante di una matrice 3x3 con le permutazioni. La regola di Sarrus. Definizione di determinante usando la regola di Laplace. Esempi. Definizione di applicazione multilineare alternante. Definizione del determinante come unica applicazione multilineare alternante che sia 1 sull'identità.
24/11 (SR): Determinante di un endomorfismo: definizione e dimostrazione che è ben posta. Polinomio caratteristico di una matrice quadrata: definizione, dimostrazione che è un polinomio, determinazione di alcuni dei suoi coefficienti, dimostrazione che le radici corrispondono agli autovalori, esempi. Polinomio caratteristico di un endomorfismo: due definizioni, dimostrazione che sono ben poste ed equivalenti.
25/11 (SR): Metodo per diagonalizzare matrici. Molteplicità di una radice di un polinomio. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore: definizione e diseguaglianze notevoli. Matrici triangolari: definizione e autovalori. Esempi.
29/11 (SR): Matrici simili hanno stessi autovalori con stesse molteplicità algebriche e geometriche. Teorema di diagonalizzabilità: enunciato, dimostrazione ed esempi di applicazioni. Quando K è un sottoinsieme di C, il determinante (risp. la traccia) di un endomorfismo è il prodotto (risp. la somma) delle radici complesse del polinomio caratteristico. Un endomorfismo di uno spazio vettoriale complesso (risp. reale di dimensione dispari) ha sempre un autovettore.
30/11 (EF): Mosse di Gauss e determinante. Un'applicazione multilineare alternante da V x ...x V (n volte) al campo K è determinata unicamente a meno di uno scalare. Relazione tra la definizione del determinante come applicazione multilineare e le altre definizioni. Il teorema di Binet (con dimostrazione).
1/12 (SR): Trasformazioni lineari del piano e dello spazio: omotetie, rotazioni, riflessioni ortogonali. Trasposizione di matrici; matrici simmetriche e antisimmetriche. Prodotti scalari: definizione, proprietà basilari, il prodotto scalare euclideo, prodotti scalari associati a matrici reali simmetriche.
2/12 (EF): Conseguenze del teorema di Binet. Il rango di una matrice in funzione del determinante dei minori. Calcolo del rango di una matrice non quadrata. Gruppi notevoli di matrici: GL, SL, O, SO, U. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Il determinante di una matrice antisimmetrica dispari è 0 (con dimostrazione).
6/12 (SR): Forme quadratiche su R^n e prodotto scalare associato. Ortogonalità. Tipologie di prodotti scalari (definiti, degeneri, ecc.); analisi dettagliata nel caso in cui il prodotto scalare è associato a una matrice diagonale. Vettori isotropi. Radicale. Esempi vari.
7/12 (SR): Altri esempi notevoli di prodotti scalari. Matrici associate a un prodotto scalare. I prodotti scalari degli elementi di una base determinano il prodotto scalare stesso. Ogni prodotto scalare su R^n è associato a una matrice simmetrica. Congruenza tra matrici simmetriche. Matrici associate allo stesso prodotto scalare sono congruenti. Basi ortogonali e ortonormali. Normalizzazione di una base ortogonale.
13/12 (SR): Sottospazio ortogonale. Teorema di Sylvester e conseguenze. Segnatura di un prodotto scalare e di una matrice simmetrica: definizione; calcolo a partire da una base ortogonale; determinzaione della tipologia di prodotto scalare; due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.
14/12 (SR): Metodo per ottenere informazioni (complete in dimensione 2) sulla segnatura di una matrice simmetrica conoscendo il determinante e le entrate sulla diagonale; esempi. Isometrie tra spazi vettoriali con prodotto scalare: definizione; caratterizzazioni in termini dei vettori di una base o delle matrici associate; la segnatura determina completamente la classe d'isometria.
15/12 (SR): Esempi di sottospazi ortogonali. Un sottospazio e il suo ortogonale non sono sempre in somma diretta, cosa che invece succede se il prodotto scalare è definito. Metodi di calcolo del sottospazio ortogonale. Prodotti scalari definiti positivi: norma, angolo, distanza; la diseguaglianza di Cauchy-Schwartz e alcune conseguenze notevoli.
16/12 (SR): Caratterizzazioni del fatto che due sottospazi in somma diretta generino lo spazio vettoriale (di dimensione finita). Proiezione (ortogonale) su un sottospazio. Coefficienti di Fourier: definizione, formula per la proiezione ortogonale e coordinate. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Esempi.
20/12 (SR): Matrici ortogonali: definizione, caratterizzazioni, proprietà, O(n) ed SO(n), esempi. L'orientazione canonica e le basi positive di R^n. Rotazioni lineari di R^3: definizione, metodo per trovare la matrice associata, esempi. Il prodotto vettoriale in R^3: definizione e proprietà.
21/12: Alcune proprietà e applicazioni del prodotto vettoriale. Prodotti hermitiani, matrici hermitiane. Endomorfismi autoaggiunti. Teorema spettrale e conseguenze notevoli. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile con mosse di Gauss. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se il determinante non è nullo. Esempi.
Sezioni del libro trattate:
Martelli: Capitolo 1: 1.1.1 --> 1.1.9, 1.2.1 --> 1.2.6, 1.3, 1.4, 1.5. Capitolo 2: 2.1, 2.2.1 --> 2.2.12, 2.2.15 --> 2.2.17, 2.3.1 --> 2.3.9. Capitolo 3: 3.1, 3.2.1 --> 3.2.3, 3.3, 3.4.1 --> 3.4.7. Capitolo 4: 4.1, 4.2.1 --> 4.2.5, 4.2.7, 4.3.1 --> 4.3.3, 4.3.5, 4.4, 4.I. Capitolo 5: 5.1, 5.2. Capitolo 7: 7.1, 7.2, 7.3, 7.4.1 --> 7.4.6, 7.5. Capitolo 8: 8.1, 8.2.1 --> 8.2.5. Capitolo 9: 9.1. Capitolo 11: 11.1 --> 11.3
O'Grady: 1.6, Es. 1.18
Esercizi (Martelli): Capitolo 1: tutti tranne 1.3 e 1.8. Capitolo 2: tutti. Capitolo 3: tutti. Capitolo 4: tutti. Capitolo 5: tutti. Capitolo 7: tutti. Capitolo 8: 8.1 --> 8.13, 8.17, 8.18. Capitolo 9: 9.1 --> 9.6, 9.19. Capitolo 11: 11.1, 11.2, 11.4 --> 11.8
Esercizi:
Risultati quarto appello: I risultati del quarto appello (17/07) si possono trovare a questo link. Potete trovare qui una bozza di soluzioni del quarto appello.
Risultati terzo appello: I risultati del terzo appello (19/6) si possono trovare a questo link. Potete trovare qui una bozza di soluzioni del terzo appello.
Risultati secondo appello: I risultati del secondo appello (10/2) si possono trovare a questo link. Potete trovare qui una bozza di soluzioni del secondo appello.
Risultati primo appello: I risultati del primo appello (16/1) si possono trovare a questo link. Potete trovare qui uno sketch delle soluzioni del primo appello
Risultati primo parziale: I risultati del primo parziale si possono trovare a questo link.