SONLU CİSİMLER ÜZERİNDE POLİNOMLAR

AYHAN Dİl ve ENİS KAYA

Bu yazının amacı sonlu cisimler üzerindeki tek değişkenli polinom halkasının oluşturduğu yapının, tamsayılar halkası ile gösterdiği uyumu (ve biraz da farklılıkları) ortaya koymaktır. Göreceğiz ki bir birinden oldukça uzak gibi gözüken bu iki yapı, aslında birbirlerine çok benziyorlar.

Mümkün olduğunca ifadeleri açmaya, örnekler vermeye çalıştığımız yazımızın, cebirin temel kavramlarını (grup, halka, cisim, homomorfizma vb) ve sayı kuramının temel kavramlarını (Öklid algoritması, Bézout özdeşliği vb) bilen herkese hitap edeceğini umuyoruz. Diğer taraftan, okuyucuyu konuda tutmak adına, yazının muhtelif yerlerine küçük alıştırmalar serpiştirdik. Bu alıştırmaları mutlaka çözün, el kirletmeden matematiği anlamak mümkün değil!

Birinci kısımda işin biraz tarihçesinden bahsettikten sonra bazı temel bilgileri hatırlatıp, ikinci kısımda sonlu cisimler hakkındaki temel özelliklerden bahsediyoruz. Üçüncü, dördüncü ve beşinci kısımda ilk paragrafta bahsettiğimiz benzerlikleri (ve farklılıkları) ele alıyoruz. Altıncı kısımda konunun nasıl devam ettiği hakkında birkaç not vererek yazımızı tamamlıyoruz. Ek olan yedinci kısımdaysa, yazının bir parçasında ihtiyacımız olan ‘yerel halka’ isimli objeden bahsediyoruz.

Keyifli okumalar!