Star Tracker

   Para poder fijar la montura al trípode y a la cámara la solución más fácil que se me ocurrió fue añadir unos bloques de madera sujetada con tornillos, aprovechando las ranuras existentes en los perfiles de acero.

   Con los taladros terminados, llegó el momento de curvar la varilla roscada. Ésta debe tener un radio de curvatura exactamente igual al medido entre el eje de la bisagra y el centro de su orificio pasante. En mi caso esto era 170mm, diseñado en el modelo y medido en la pieza real. En otro caso, se deben repetir todos los cálculos posteriores con la nueva medida.

   Las varillas roscadas se venden por lo general en longitudes de 1m. Esto ayuda a doblarla con menos fuerza ya que es muy difícil moldear una varilla corta sin usar máquinas. Para conseguir la curvatura más aproximada a la requerida debemos hacer un patrón que nos guíe cuando doblamos. El patrón consiste en dibujar una circunferencia de radio igual al radio r de la montura (170mm). Éste será el centro de la varilla de diámetro D (6mm). Después dibujaremos dos circunferencias más para guiar el borde exterior e interior de la varilla, esto es una con radio de r+(D÷2) (173mm) y otra con radio de r-(D÷2)  (167mm). Con ello sólo tenemos que doblar poco a poco e ir situando la varilla sobre el patrón centrada entre las circunferencias para ver su exactitud. 

   Una vez acabado el doblado cogí el trozo de varilla con mejor exactitud. No es necesario una varilla larga, con 15 a 20 cm tendremos varias horas de seguimiento. Más tarde explicaré las formulas para averiguar la longitud necesaria dado un tiempo requerido o el tiempo de seguimiento dada una longitud fija. También hay que comprobar que la longitud de la varilla no colisione con el trípode. Después de fijarla con tuercas a la placa superior tuve que forzarla hacia en interior para hacer coincidir la varilla y el orificio de la placa inferior, comprobando que se abre y cierra completamente la montura sin roces de la varilla. Por ultimo inserté la hembra en el engranaje y comprobé el ajuste total de la montura.

Nos movemos

   En Internet se encuentran multitud de diseños de este tipo de montura motorizada que utilizan motores analógicos y circuitos que regulan su velocidad variando el voltaje o bien motores de velocidad fija (típicamente 1 RPM) y ajustan las especificaciones de la montura en base al motor escogido.

   Yo tenía decidido ya los componentes que formarían la parte mecánica de la montura, con lo que tenía acotadas las dimensiones máximas del mecanismo. Debido a esto descarté el uso de un motor analógico (DC) y opté por el uso de motores paso a paso que permiten mayor precisión en el movimiento y control de la velocidad.

   Basado en la premisa de reutilizar en lo posible material del trastero, antes de empezar el modelo 3D, decidí buscar el motor paso a paso adecuado de entre todos los que disponía. Al tratarse de motores desmontados de dispositivos viejos, desconocía las especificaciones de muchos de ellos y otros los pude identificar gracias a la información impresa en el cuerpo del motor (ver 1, 2). Algunos ya disponían de un piñón o engranaje en su eje. En cualquier caso necesitaba un segundo engranaje que controlara la ascensión de la varilla curva.

   Finalmente encontré una conjunto de motor, piñón y engranaje compatibles entre sí y con las medidas necesarias para ajustarse al resto de componentes de mi montura. Pero antes de seguir debía hacer algunos cálculos para averiguar si con todo esto podía conseguir que el sistema alcanzara la velocidad angular precisa. Momento de las matemáticas!

   Ya sabemos que la montura debe girar exactamente a la velocidad de la rotación de la tierra, pero en la dirección opuesta, de modo que las estrellas parezcan estacionarias. El montaje también debe estar en el ángulo necesario según la latitud que nos encontremos como para alinear los ejes de rotación de la Tierra y de la montura. Para la montura diseñada de varilla curva, la velocidad de elevación de la placa superior debe ser constante ya que no nos tenemos que preocupar del error de tangente.

   Pero, ¿cuál es esa velocidad?. El movimiento del cielo es un movimiento continuo alrededor de un punto fijo, el Polo Norte/Sur Celeste. Como sabemos, la Tierra gira una vez al día, lo que significa 360 ° completos en ~ 24 horas. Esto se traduce en aproximadamente 15 ° por hora (360/24 = 15) o 1/4 ° por minuto (360/24/60 = 0,25) . Si elevamos la placa superior a a una velocidad constante de 15 ° / hora, podemos seguir el cielo con bastante precisión.

   Pero para ser más exactos, según Wikipedia, "...el tiempo solar se mide por el movimiento diurno aparente del Sol y el mediodía local se define como el momento en que el Sol se encuentra en su cenit (la sombra proyectada apunta exactamente hacia el norte en el hemisferio norte y hacia el sur en el hemisferio sur).​ Por definición, el tiempo que tarda el Sol en volver a su punto más alto es en promedio 24 horas.

   Sin embargo, las estrellas tienen un movimiento aparente ligeramente distinto. Durante el transcurso de un día, la Tierra se habrá movido un poco a lo largo de su órbita alrededor del Sol, por lo que debe girar una pequeña distancia angular extra antes de que el Sol alcance su punto más alto. En cambio las estrellas están tan alejadas que el movimiento de la Tierra a lo largo de su órbita genera una diferencia apenas apreciable con respecto a su dirección aparente (véase, en cualquier caso, paralaje), por lo que vuelven a su punto más alto en algo menos de 24 h o día solar. Un día sideral medio ocupa alrededor de 23 h y 56 min (es casi 4 minutos más corto que el día solar). Debido a las variaciones en el índice de rotación de la Tierra, el índice de un reloj sideral ideal se desvía de cualquier múltiplo simple de un reloj civil. En la práctica se tiene en cuenta mediante la diferencia UTC−UT1, que se mide empleando radiotelescopios, y se almacena y ofrece al público a través del IERS y del Observatorio Naval de los Estados Unidos.

   Cuando la montura está alineada y en reposo describe una circunferencia idéntica a la que siguen las estrellas en su movimiento relativo, pero con radio menor y dirección opuesta.  Esto es debido a que la montura está sobre la superficie terrestre y se mueve junto al planeta. La Tierra gira en el sentido de la agujas del reloj en el hemisferio norte y en sentido contrario en el sur. Por tanto las estrellas parecen moverse  en el sentido contrario a las agujas del reloj en el hemisferio norte y a favor en el hemisferio sur.

   Para "detener las estrellas" debemos contrarrestar el movimiento terrestre, es decir "detener la Tierra". Pero como eso es realmete dificil de conseguir lo que haremos es hacer que nuestra montura se mueva a la misma velocidad que a Tierra pero en sentido contrario, ya sea en el hemisferio norte o sur.

   Pues toca averiguar a que velocidad se mueve el planeta! Si recordamos los años del colegio, sabemos que un giro del planeta se compone de 360° sexagesimales o 2π radianes y que los realiza en 24h según el horario solar. Pero como lo que nos interesa es seguir a las estrellas debemos regirnos por el reloj sideral, como ya sabemos 23 horas, 56 minutos, 4,0916 segundos y así evitaremos acumular errores en sesiones de fotos largas debido a esos 4 minutos de diferencia.

   Con estos datos ya podemos calcular la velocidad de rotación de la Tierra, sabemos en  23 horas, 56 minutos, 4,0916 segundos recorre 360°, o lo que es lo mismo 360° en  (23)+(56÷60)+(4,0916÷3600)=23,934469 horas. Con una simple regla de tres averiguamos que recorre 360÷23,93446989=15,041068°/h o lo que es lo mismo 2π÷23,93446989=0,262516 rad/h.   Esto corresponde con la velocidad angular de la rotación terrestre 15 grados por hora. 

   El problema es que nuestro motor paso a paso no controla directamente el ángulo de giro de la montura, ni tendría resolución suficiente para conseguir un movimiento continuo tan lento. Típicamente giran entre 7° y 30° por paso y ni se pueden conseguir ángulos intermedios sin un buen tren de engranajes.

   Nuestro montaje hace subir un tornillo curvo, con el mismo radio de curvatura que la montura. Y lo tiene que hacer subir a una velocidad constante que haga que la montura se abra esos 15° por hora. Esto si que lo podemos conseguir gracias al engranaje reductor, el torque del motor y la "ley de la palanca" ya que requerimos menos fuerza de empuje al estar situados en el extremo más alejado de la bisagra.

   Pero, ¿cuál es la velocidad con la que debe girar el motor para conseguir esto? Esta velocidad es la velocidad tangencial o lineal. Sería la distancia que recorre, trazando una curva, el extremo superior del tornillo por unidad de tiempo, recordemos que v=d / t. Debemos pues averiguar la relación entre la velocidad angular y la tangencial.

   Vamos a pintarlo en la pizarra y seguimos...

   Nuestra cámara alineada al eje de rotación de la Tierra, describe una circunferencia de radio r, correspondiente a la distancia entre el eje de la bisagra y el centro del tornillo. En el hipotético caso de que pudiéramos dejar funcionar la montura un día completo, el extremo de la montura recorrería una distancia d correspondiente la la longitud de la circunferencia de radio r, esto es d = 2π r .

   Por otro lado ya hemos visto que v=d ÷ t, por tanto despejando d y combinándolo con lo anterior obtenemos [4]  v=2π r ÷ z, siendo z el tiempo que tarda en girar 2π radianes (un día entero). Esta es la velocidad tangencial de la montura correspondiente a la velocidad angular de la rotación de la Tierra.

   Pero con el sistema de engranajes, la tuerca y el tornillo... ¿cómo queda esto? Pues tenemos que seguir calculando. En este caso vamos modelar la velocidad lineal de ascensión del tornillo a través de nuestro sistema mecánico. Llamaremos M a las revoluciones por unidad de tiempo del motor, la frecuencia, que es lo que intentamos averiguar. Por otro lado tenemos que averiguar la relación de transmisión entre dos engranajes circulares con un determinado número de dientes, matemáticamente se expresa como τ = S÷L, siendo S el número de dientes del engranaje de entrada (motor) y L el número de dientes del engranaje de salida (tornillo). Esta proporción multiplicada por M nos muestra la frecuencia del motor (rotaciones/tiempo) en el lado del tornillo, es decir su velocidad angular. Una vez más tenemos que ver la relación con su velocidad lineal.

   Para ello tenemos que darnos cuenta que por cada giro del engranaje de salida, la tuerca embutida en él hace que el tornillo avance una distancia fija. Esta vendrá determinada por la distancia entre las crestas de los filetes del tornillo. Si, como en mi caso, no tienes claro la métrica del tornillo y sus especificaciones lo mejor es medir esa distancia con la mayor precisión posible y averiguar cuántos giros da por unidad de distancia,  A.

    Ahora, si dividimos las rotaciones por unidad de tiempo del engranaje del tornillo (rotaciones/t) entre  el número de filetes del tornillo por unidad de distancia (rotaciones/d) tendremos, simplificando, la velocidad lineal de movimiento vertical del tornillo. Esto es, usando las formulas anteriores v=(M(S÷L))÷A=MS÷LA.

   Ya tenemos las dos fórmulas que estabamos buscando, la velocidad lineal de la montura girando a la misma velocidad angular que la Tierra (v=2π r ÷ z) y la velocidad de ascensión del tornillo (v=MS÷LA). Pero si nos paramos a pensar representan la misma velocidad. Ambas describen la velocidad a la que se mueve un punto (situado en el centro del tornillo de la placa superior) alrededor de la circunferencia del radio r de nuestra montura. Pues desde aquí resolvemos el problema, ya que como 2π r ÷ z =MS÷LA podemos despejar M que es la incógnita de nuestro proyecto, M=2π r LA ÷ z S.