Programa

La percolación se puede entender como la destrucción aleatoria de una gráfica inicial; se puede elegir destruir las conexiones entre los vértices (percolación de aristas) o los vértices mismos (percolación de sitios). El área de percolación surgió en la década de los 60 del siglo pasado y se han establecido muchas propiedades del fenómeno de percolación que son comunes a distintas gráficas iniciales; a estos fenómenos se les conoce como comportamientos universales. En este curso plantearemos el modelo de percolación en algunas gráficas representativas. Analizaremos los primeros resultados en el área, introduciendo las herramientas probabilistas que se usan frecuentemente al estudiar modelos estocásticos combinatorios. En particular, revisaremos las técnicas del primer y segundo momento. Sólo se asumirá que las y los estudiantes cuentan con un primer curso de gráficas y de probabilidad.

La probabilidad ha estado íntimamente ligada al estudio de los números primos desde los tiempos de Gauss. En este curso, expondremos algunos teoremas y heurísticas del siglo anterior (Teoremas de Landau, de Erdös-Kac y de Billingsley) que resaltan esta relación. Nos enfocaremos en resultados y técnicas de la teoría de la probabilidad, como la independencia (tanto exacta como asintótica),  el Teorema Límite Central, la ley de los eventos raros (aproximación Poisson) y el análisis del Uniform Stick Breaking Process y de la distribución de Poisson-Dirichlet.