Matemáticas

Para alumnos, padres/madres, familiares u otros interesados:

Tenéis en este espacio: CONTENIDOS, orientaciones, pautas, información,.... quincenalmente para realizar el seguimiento o control de la materia de MATEMÁTICAS de 6º curso.

Desde este blog podéis realizar el seguimiento de las UNIDADES o temas del 1º TRIMESTRE.

UNIDAD 1: LOS Nº NATURALES

Segunda quincena de septiembre: habrá una prueba con dos partes (una evaluación predictiva) sobre  contenidos de 5º curso de: cálculo y resolución de problemas.

TEMPORALIZACIÓN UNIDADES:

UNIDAD 1: Está compuesta por contenidos de los 5 bloques (= numeración, operaciones nº naturales, resolución problemas, medida y espacial). 

A partir del 12 de septiembre hasta primera quincena de octubre, unas cuatro semanas.

En la primera quincena de octubre: está programada la prueba escrita, (según curso).

-Contenidos (bloques libro Rutas) de la prueba escrita de la UNIDAD 1: 

-Bloque Numeración (ficha 4, pág:42)

-Bloque de Operaciones (fichas: 1,2,3,8):

Operaciones con nº naturales (=operaciones combinadas, aplicación de la jerarquía de operaciones y sus propiedades: asociativa (+,x), conmutativa (+, X), distributiva y extraer factor común, nº Romanos). 

-Bloque de resolución de problemas (fichas. 1,2,3,) 

Atención a la diversidad: 

Haremos la evaluación inicial y un repaso saberes básicos de la unidad, desde el 12 de septiembre hasta primeros de octubre 2024 y, el diseño y/o programación de los PRE (plan de refuerzo educativo personalizados de la materia) en colaboración con el departamento de Orientación (EO) para aquellos alumnos que así lo precisen. Dispondrán de apoyo dentro y fuera del aula.

Actividades de repaso: (pincha no enlace de abajo)

2ª Quincena de septiembre:

Actividades de repaso de operaciones con nº naturales (suma, resta, multiplicación, división) y operaciones combinadas. Para ello, debemos recordar:

-.La jerarquía de las operaciones combinadas: ¿Qué es?

Es el orden correcto con el que se realizan las operaciones, usualmente se usa cuando se combinan varios operaciones en un mismo problema.

El orden de las operaciones es:

1.- Paréntesis { [ (  ) ] }

2.- Potencias y raíces x²

3.- Multiplicaciones y divisiones ×, ÷ (ojo, de izquierda a derecha)

4.- Sumas y restas +, – (ojo, de izquierda a derecha)

Es importante conocer y saber aplicar la jerarquía de operaciones para poder obtener un resultado correcto. 

1º.- Paréntesis

Primero se realiza cualquier operación que se encuentre dentro del paréntesis (también se respeta la jerarquía dentro del paréntesis si es necesario).

Es importante recordar que las multiplicaciones también pueden ser representadas con paréntesis por lo que estas se harán cuando le toque el turno a la multiplicación.

Ejemplos

• 4 + (12 – 7 ) = 4 + 5 = 9

• (6 + 1 ) – 3 = 7 – 3 = 4

• 7 x (8 – 6) = 7 x 2 = 14

Dentro de los paréntesis también se respeta la jerarquía de operaciones.

2º.-Potencias y raíces

En segundo lugar se tienen las potencias y raíces estas están en el mismo nivel así que cualquier de las dos puede hacerse primero, sin embargo "si están juntas la operación debe realizarse de izquierda a derecha".

3º.-Multiplicaciones y divisiones

En tercer lugar se tienen las multiplicaciones y divisiones estas están en el mismo nivel así que cualquier de las dos puede hacerse primero, sin embargo "si están juntas la operación debe realizarse de izquierda a derecha".

Ejemplos                                                                                                          

• (4 × 3) ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6

• 20 ÷ 5 + 3 × 6 = 4 + 18 = 22

• 6 x 3 – 2 x ( 7 ÷ 7 ) =  18 – 2 x 1= 18 – 2 = 16

4º.- Sumas y restas

En cuarto lugar se tienen las sumas y restas estas también se encuentran en el mismo nivel sin embargo nota que por ser la última operación regularmente se encuentran juntas así que las operación deben realizarse de izquierda a derecha. 

Ejemplos

• 12 – 2 + 5 – 6  = 10 + 5 – 6 = 15 – 6 = 9

• 3 x 5 + 2² – 4 ÷ 4 = 15 + 4 – 1 = 18

Toma en cuenta que a pesar de ser la última operación, si dentro de un paréntesis hay sumas y restas entonces estas se realizaran primero. 

16 – 2 x (8 – 1 + 3 – 4 ) = 16 – 2 x 6 = 16 – 12 = 4

Orden de signos de agrupación ( ), [ ] y { }

Los signos de agrupación se aplican para establecer un orden en las operaciones regularmente  se usan  con operaciones muy largas. El orden con el que se realizan es el siguiente

1.- Paréntesis ( )

2.- Corchetes [ ]

3.- Llaves { }

Esto indica que primero se realizan las operaciones que están dentro de los paréntesis, después las que están dentro de los corchetes y al final los que se encuentran dentro de las llaves, por lo regular se hacen de adentro hacía afuera (recordad, como lo contrario en la fruta, !! la comemos de la semilla hacia fuera !!).

Los NÚMEROS ROMANOS

Cómo se representan:

El sistema de numeración romano posee 4 símbolos principales I, X, C, M, que se corresponden con la unidad (1), la decena (10), la centena (100) y el millar (1.000), y 3 símbolos secundarios V, L, D que se corresponden con 5, 50 y 500. 

El sistema de numeración romano no era posicional, como el que usamos en la actualidad, sino que se basaba en la adición y sustracción.

El número “0” no era conocido por los Romanos, el número cero sólo fue conocido y usado por los árabes posteriormente.

Los números romanos básicos y secundarios y su valor en nuestro sistema de numeración:

I =1        V=5       X=10      L=50       C= 100       D= 500       M=1000

Reglas de los números romanos

Regla de la adicción

Es la regla que se emplea cuando se coloca una letra a la derecha que tenga igual o menos valor que la letra anterior y se le suma a ese valor, veamos ejemplos típicos:

• Primer ejemplo: El número tres (3) en romano se escribe III por adicción de tres unidades I

• Segundo ejemplo: El número seis (6) en romano se escribe VI es una sumatoria así: 5+1=6 ( V+I=VI)

• Tercer ejemplo: El número doce (12) en romano se escribe XII es una sumatoria X+I+I = XII

Otros ejs: 200 = CC, 300 = CCC 700 = DCC

Regla de la sustracción (resta)

Se colocará I, X, C a la izquierda de otra letra que sea de mayor valor y se restan, siguiendo las siguientes condiciones:

• La letra I sólo puede restar a V y a X (resta 1)

Por ejemplo: IV es igual que 5-1 = 4

• La letra X sólo puede restar a la L y a la C (resta 10)

Por ejemplo: XL es igual que 50-10=40

• La letra C solo puede restar a la D y a la M (resta 100)

Por ejemplo: CM 1000-100= 900

499 = (500-100) + (100-90) + (10-1) = (CD)+(XC)+(IX) = CDXCIX

• Las letras D, L y V no se pueden restar a la izquierda.

Por ejemplo el nueve en numeros romanos se escribe IX, es la sustracción del diez X menos el uno I.

Regla de la multiplicación

• Si un número romano tiene sobre él una raya, entonces su valor se multiplica por mil.

  • Ejemplo: IX: el número es 9.000 puesto que es el número romano que representa al 9 y al estar con la raya sobre él se multiplica por mil.

Regla de repetición

• Los números romanos I, X, C y M pueden repetirse hasta tres veces a la hora de escribir un número romano compuesto. Ej CCCLIII lo que es igual a 353

• Los números romanos V, L y D no pueden repetirse nunca.

 Cómo se escriben los números romanos

¿Por ejemplo cómo se escribiría 40 en numeros romanos?

Aplicaríamos la regla de la sustracción

L =50 y X=10 Colocamos la X a la izquierda para restar o sustraer y quedaría XL

 ¿Cómo se escribiría 10.000 en numeros romanos?

En este caso aplicaríamos la regla de la multiplicación

La raya encima de la X supone que tenemos que multiplicar 10 por mil (y el resto de letras no llevará la raya o línea encima).

 Ejemplos de cómo se escriben los números (ojo pondré la raya debajo porque no tengo la opción encima en este teclado)

CM= 900         XL = 40         IV=  4          MDCLXVI= 1.666          CMXLIV= 944           XXIIICDL= 23.450 MMMDXXIIIDXCVIII = 3.523.598 

Para escribir millones (ej: VII con dos rayas encima sería 7 x 1.000 x 1.000 = 7.000.000).

Convertidor de nº ROMANOS:  www.todamateria.com/numeros-romanos/ 

TEMA: POTENCIAS Y RAÍCES

Temporalización posible: Última semana de octubre-1ª quincena de noviembre.

1.-Potencias.

2.-Potencias de base 10.

3.-Descomposición en factores primos.

4.-Aplicar potencias al cálculo de m.c.m. y  m.c.d.

5.-Raiz cuadrada exacta.

6.-Raiz cuadrada entera.

1.-Potencias.

Es una manera abreviada de escribir un producto (multiplicación) de nº iguales (por si mismo). Esta formado por la base (nº que se repite) y el exponente (nº de veces que se repite).

2.-Potencias de base 10:

"Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente". Para escribir números con varios ceros se utilizan las potencias de 10. 

Recuerda: Cualquier  número se puede escribir como suma de sus cifras multiplicadas por potencias de base 10. 

3.-Descomposición en factores primos.

"Realizar la descomposición en factores primos o descomposición factorial de un número es escribirlo como producto de números primos". 

4.-Aplicar potencias al cálculo de mcm y mcd.

Máximo común divisor: 

"El m.c.d. de dos números es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. Si no tienen ningún factor en común el m.c.d. de los números es 1". 

Mínimo común múltiplo:

"El m.c.m. es el producto de todos los factores primos elevados al mayor exponente". 

5.-Raiz cuadrada EXACTA. (cuadrados perfectos, resto 0)

La raíz cuadrada es la operación contraria a elevar al cuadrado. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 64 es 8 porque 82=64 y se escribe √64=8.

El símbolo √  se llama radical y el número que está dentro del radical es el radicando.

Si un número se eleva al cuadrado se obtiene un número cuadrado. Los números cuadrados tienen una raíz cuadrada exacta.

√a=b significa que b2=a

√radicando = raíz cuadrada

Ejemplo: Para calcular la raíz cuadrada de 9, hay que encontrar el número que multiplicado por sí mismo nos da 9. Pensemos un poco que seguro que lo conocemos. ¿Lo tienes ya? ¡exacto! Como seguramente adivinaste, ese número es el 3. Así que la raíz cuadrada de 9 es 3.

Si ya conocemos las potencias, podemos buscar el número que elevado al cuadrado nos da 9, y como 3 al cuadrado es 9, ese número que buscamos es el 3. 

Enlace: Raiz cuadrada 

6.-Raiz cuadrada ENTERA.

Muchos números no tienen raíz cuadrada exacta. En tal caso se calcula la raíz cuadrada entera y habrá un resto.

Por ejemplo, 70 no tiene raíz cuadrada exacta porque 82=64 y 92=81. La raíz cuadrada entera de 70 es 8 y el resto es 70-64=6. √70=8 y resto 6.

Para hacer raíces cuadradas por tanteo buscaremos números que al elevarlos al cuadrado se aproximen al radicando, por ejemplo: raiz cuadrada de 90, será 9, porque 9x9= 81 y resto 9 ( 90 - 81 = 9).

TEMA: LAS FRACCIONES

Temporalización: Segunda quincena de noviembre - primera quincena de diciembre)

1.-Fracciones

1.-Definición: 

"Una fracción representa las partes que tomamos de una unidad dividida en partes iguales". El denominador indica las partes en que dividimos la unidad y el numerador indica las partes que tomamos. 

2.-Tipos de fracciones. Propias, impropias y la unidad. Número mixto.

Fracción propia: Las fracciones con el numerador menor que el denominador se llaman fracciones propias. 

Fracción unidad: el numerador y denominador son iguales. Ej : 5 entre 5 es igual a 1 (unidad)

Fracción impropia: el numerador es mayor que el denominador. Es el resultado es mayor que 1. Ej: 12 entre 5

3.-Fracción de una cantidad.

"Para calcular la fracción de una cantidad, dividimos la cantidad entre el denominador y multiplicamos el resultado por el numerador". 

2.-Fracciones equivalentes. Amplificación, simplificación y fracción irreducible.

Son aquellas que representan la misma cantidad. Podemos obtener fracciones equivalentes multiplicando por el mismo número, el numerador y denominador (se llaman amplificadas) y/o dividiendo el numerador y denominador entre el mismo número, se llaman simplificadas. 

Fracción irreducible: es aquella que no se puede simplificar más (dividir). Recuerda: para hallar la fracción irreducible podemos dividir el numerador y el denominador por su máximo común divisor. 

3.-Comparación de fracciones. Reducir a común denominador ( utilizando el m. c. m.)

Para comparar fracciones con distinto numerador y denominador, las reducimos a común denominador. El denominador común es el m.c.m. (mínimo común múltiplo) de los denominadores. Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

Ten en cuenta: Para reducir las fracciones a común denominador, podemos utilizar cualquier múltiplo de los denominadores.

Las fracciones son más sencillas si utilizamos el mínimo común múltiplo. 

4.-Operaciones con fracciones:

1.-Suma y resta.

1.1.-Con igual denominador

1.2.-Con distinto denominador (debemos uilizar el m.c.m. para obtener denominadores iguales).

Para sumar o restar fracciones reducimos a común denominador. Después, sumamos o restamos los numeradores y escribimos el denominador común. 

2.-Multiplicación. (Recordamos: numerador 1 x numerador 1 y denominador 1 por denominador 2).

3.-División. (Recordamos: numerador 1ª por denominador 2ª entre numerador 2ª por denominador 1ª, es decir, producto CRUZADO.

Recuerda: al dividir dos fracciones se obtiene otra fracción:

• Su numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda.

• Su denominador es el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

Para dividir fracciones utilizamos el producto cruzado.

Importante!!:

Para repasar o consultar algún contenido de fracciones visto en esta unidad, os redirijo al blog de matemáticas donde podéis encontrar más información con ejemplos e imágenes. Haz clic sobre él más abajo:

Blog de matemáticas de 5º y 6º 

Los NÚMEROS ROMANOS

Cómo se representan:

El sistema de numeración romano posee 4 símbolos principales I, X, C, M, que se corresponden con la unidad, la decena, la centena y el millar, y 3 símbolos secundarios V, L, D que se corresponden con 5, 50 y 500. 

El sistema de numeración romano no era posicional, como el que usamos en la actualidad, sino que se basaba en la adición y sustracción.

El número “0” no era conocido por los Romanos, el número cero sólo fue conocido y usado por los árabes posteriormente.

Los números romanos básicos y secundarios y su valor en nuestro sistema de numeración:

I =1        V=5       X=10      L=50       C= 100       D= 500       M=1000

Reglas de los números romanos

Regla de la adicción

Es la regla que se emplea cuando se coloca una letra a la derecha que tenga igual o menos valor que la letra anterior y se le suma a ese valor, veamos ejemplos típicos:

• Primer ejemplo: El número tres (3) en romano se escribe III por adicción de tres unidades I

• Segundo ejemplo: El número seis (6) en romano se escribe VI es una sumatoria así: 5+1=6 ( V+I=VI)

• Tercer ejemplo: El número doce (12) en romano se escribe XII es una sumatoria X+I+I = XII

Regla de la sustracción

Se colocará I, X, C a la izquierda de otra letra que sea de mayor valor y se restan, siguiendo las siguientes condiciones:

• La letra I sólo puede restar a V y a X (resta 1)

Por ejemplo: IV es igual que 5-1 = 4

• La letra X sólo puede restar a la L y a la C (resta 10)

Por ejemplo: XL es igual que 50-10=40

• La letra C solo puede restar a la D y a la M (resta 100)

Por ejemplo: CM 1000-100= 900

• Las letras D, L y V no se pueden restar a la izquierda.

Por ejemplo el nueve en numeros romanos se escribe IX, es la sustracción del diez X menos el uno I.

Regla de la multiplicación

• Si un número romano tiene sobre él una raya, entonces su valor se multiplica por mil.

  • Ejemplo: IX: el número es 9.000 puesto que es el número romano que representa al 9 y al estar con la raya sobre él se multiplica por mil.

Regla de repetición

• Los números romanos I, X, C y M pueden repetirse hasta tres veces a la hora de escribir un número romano compuesto. Ej CCCLIII lo que es igual a 353

• Los números romanos V, L y D no pueden repetirse nunca.

 Cómo se escriben los números romanos

¿Por ejemplo cómo se escribiría 40 en numeros romanos?

Aplicaríamos la regla de la sustracción

L =50 y X=10 Colocamos la X a la izquierda para restar o sustraer y quedaría XL

 ¿Cómo se escribiría 10.000 en numeros romanos?

En este caso aplicaríamos la regla de la multiplicación

La raya encima de la X supone que tenemos que multiplicar 10 por mil (y el resto de letras no llevará la raya o línea encima).

 Ejemplos de cómo se escriben los números (ojo pondré la raya debajo porque no tengo la opción encima en este teclado)

CM= 900         XL = 40         IV=  4          MDCLXVI= 1.666          CMXLIV= 944           XXIIICDL= 23.450 MMMDXXIIIDXCVIII = 3.523.598 

Convertidor de nº ROMANOS:  www.todamateria.com/numeros-romanos/